Непрерывность функции в точке и на интервале. Свойства непрерывных функций.

Ответ:

Непрерывность функции в точке.

Пусть функция f (x) определена в некоторой окрестности O (x ₀) точки x ₀ (включая саму точку x ₀).

Функция f (x) называется непрерывной в точке x ₀, если существует

 

 

Lim f (x), равный значению функции f (x) в этой точке:

x → x 0   Lim f (x) = f (x 0), x → x 0   (1) т.е.   " O (f (x 0) $ O (x 0) x Î O (x 0) Þ f (x) Î O (f (x 0).

Замечание. Равенство (1) можно записать в виде:

lim f (x) = f (lim x),   x → x 0 x → x 0

т.е. под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.

Пусть Δ x = x − x ₀ — приращение аргумента, Δ y = f (x) − f (x ₀)

— соответствующее приращение функции.

Необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке

Функция y = f (x) непрерывна в точке х₀ тогда и только тогда, когда

lim Δ y = 0. Δ x → 0

(2)

 

Непрерывность функции на интервале.

Определение:

Пусть f - некоторая функция, D(f)- ее область определения и - некоторый (открытый) интервал (может быть или ) Назовём функцию непрерывной на интервале , если непрерывна в любой точке , то есть для любого существует (в сокращённой записи:

Свойства непрерывных функций

Теорема 1. Сумма непрерывных функций есть функция непрерывная.

Доказательство. Пусть функции и непрерывны в точке a. Тогда

Согласно свойству пределов функций существование пределов функций и гарантирует существование предела их суммы. При этом

что и требовалось доказать.

Свойство. Сумма конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.

Доказательство. Каждую пару непрерывных функций можно заменить одной непрерывной функцией. Затем каждую пару полученных непрерывных функций можно заменить одной непрерывной функцией. В конечном итоге останется одна непрерывная функция.

Теорема 2. Произведение непрерывных функций есть функция непрерывная.

Свойство. Произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная.

Теорема 3. Частное от деления непрерывных функций есть функция непрерывная – за исключением точек, в которых знаменатель обращается в нуль.

Теорема 4. Любая элементарная функция непрерывна в области своего определения.

Для доказательства этой теоремы нужно показать, что для любого числа a из области определения элементарной функции выполняется условие

Продемонстрируем справедливость теоремы на некоторых конкретных примерах.

1. Пусть , где n – целое положительное число. Тогда

Первый член в правой части этого равенства представляет собой бесконечно малую функцию при x → a и, следовательно,

1. Покажем, что показательная функция является непрерывной в каждой точке a. Действительно,

Теорема 5. Пусть функция непрерывна на промежутке [ a, b ] и принимает на его концах значения разных знаков. Тогда на этом промежутке существует такая точка c, в которой .

Действительно, непрерывность функции на некотором промежутке означает отсутствие скачков функции на этом промежутке. Другими словами, принимает все значения, заключенные между ее минимальным и максимальным значениями на промежутке [ a, b ], одним из которых является нулевое значение.

 

 

 

Первый замечательный предел.

1 замечательный предел.

Возьмем круг радиуса 1, обозначим

радианную меру угла MOB через Х.

Пусть 0 < X < π/2. На рисунке |АМ| = sin x, дуга МВ численно равна

центральному углу Х, |BC| = tg x. Тогда

Разделим все на и получим:

Т.к. , то по признаку существования пределов следует .

Понятие предела функции на бесконечности.

Предел функции на бесконечности. Пусть задана функция у = f(x) с неограниченной сверху областью определения. Число b называется пределом данной функции при х, стремящемся к плюс бесконечности, если для любого числа существует такое положительное число М, что при всех значениях аргумента х из области определения, таких, что x > M, выполняется неравенство | f(x) – b | < e. Запись этого факта:

Если область определения данной функции неограниченна снизу, то число b называется пределом данной функции при х, стремящемся к минус бесконечности, если для любого числа e < 0 существует такое положительное число М, что при всех значениях аргумента х из области определения, таких, что x < –M, выполняется неравенство | f(x) – b | < e. Записывается это так:

Второй замечательный предел

Пусть х→∞. Каждое значение х заключено между двумя положительными

целыми числами:

Если x→∞, то n→∞, тогда

По признаку о существовании пределов: