Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Правила дифференцирования функцийСодержание книги
Поиск на нашем сайте
Пусть - дифференцируемые функции, . Тогда
Производная функции, ее геометрический и физический смысл. Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует. у f(x)
f(x0 +Dx) P М Df f(x0) Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функции. , где a - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)). Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке. Уравнение касательной к кривой: Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной. Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения. Соответственно, вторая производная функции- скорость изменения скорости, т.е. ускорение. Производная сложной функции. Теорема. Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f. Тогда Пример. Найти производную функции . Сначала преобразуем данную функцию: Пример. Найти производную функции . Пример. Найти производную функции Пример. Найти производную функции Исследование функций с помощью производной. Возрастание и убывание функций. Теорема. 1) Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f¢(x) ³ 0. 2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f¢(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b]. Точки экстремума. Определение. Функция f(x) имеет в точке х1 максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х1. Функция f(x) имеет в точке х2 минимум, если f(x2 +Dx) > f(x2) при любом Dх (Dх может быть и отрицательным). Очевидно, что функция, определенная на отрезке может иметь максимум и минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Нельзя также путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на отрезке – это понятия принципиально различные. Определение. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума. Теорема. (необходимое условие существования экстремума) Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х1 и точка х1 является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке. Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю. Теорема. (Достаточные условия существования экстремума) Пусть функция f(x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит критическую точку х1, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х1). Если при переходе через точку х1 слева направо производная функции f¢(x) меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х1 функция f(x) имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”- то функция имеет минимум. Пример. Найти асимптоты и построить график функции . 1) Вертикальные асимптоты: y®+¥ x®0-0: y®-¥ x®0+0, следовательно, х = 0- вертикальная асимптота. 2) Наклонные асимптоты: Таким образом, прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой. Построим график функции: Пример. Найти асимптоты и построить график функции . Прямые х = 3 и х = -3 являются вертикальными асимптотами кривой. Найдем наклонные асимптоты: y = 0 – горизонтальная асимптота.
Пример. Найти асимптоты и построить график функции . Прямая х = -2 является вертикальной асимптотой кривой. Найдем наклонные асимптоты. Итого, прямая у = х – 4 является наклонной асимптотой.
Схема исследования функций Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать: 1) Область существования функции. 2) Точки разрыва. (Если они имеются). 3) Интервалы возрастания и убывания. 4) Точки максимума и минимума. 5) Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения. 6) Области выпуклости и вогнутости. 7) Точки перегиба.(Если они имеются). 8) Асимптоты.(Если они имеются). 9) Построение графика.
Применение этой схемы рассмотрим на примере. Пример. Исследовать функцию и построить ее график. Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥). В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой. Областью значений данной функции является интервал (-¥; ¥). Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1. Находим критические точки. Найдем производную функции Критические точки: x = 0; x = - ; x = ; x = -1; x = 1. Найдем вторую производную функции . Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках. -¥ < x < - , y¢¢ < 0, кривая выпуклая - < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая -1 < x < 0, y¢¢ > 0, кривая вогнутая 0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая 1 < x < , y¢¢ > 0, кривая вогнутая < x < ¥, y¢¢ > 0, кривая вогнутая Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках. -¥ < x < - , y¢ > 0, функция возрастает - < x < -1, y¢ < 0, функция убывает -1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает 0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает 1 < x < , y¢ < 0, функция убывает < x < ¥, y¢¢ > 0, функция возрастает
Видно, что точка х = - является точкой максимума, а точка х = является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно 3 /2 и -3 /2. Про вертикальные асимптоты было уже сказано выше. Теперь найдем наклонные асимптоты. Итого, уравнение наклонной асимптоты – y = x. Построим график функции:
Пример. Найти Решение. Применяя формулы дифференцирования произведения и частного получим Подставим в производную Замечание. Здесь и далее используются формулы дифференцирования, приведенные в конце пособия. Пример. . Найти Решение. Применим правило дифференцирования сложной функции: если то В данном случае поэтому Тогда Пример Вычислить Решение. Это показательно-степенная функция. Преобразуем её в показательную, используя свойства логарифмов: Получившуюся функцию дифференцируем как сложную Тогда Найти асимптоты кривой Решение. Асимптоты бывают вертикальные и наклонные. Прямая является вертикальной асимптотой кривой если Прямая является наклонной асимптотой кривой если существуют конечные пределы Так как знаменатель дроби никогда не обращается в 0 (D =-3<0), значит, не существует точек, обращающих саму дробь в бесконечность, и вертикальных асимптот нет. Ищем наклонные асимптоты: Тогда наклонная асимптота имеет вид Задача 40. Найти интервалы убывания функции Решение. Функция убывает, если , и возрастает, если Найдем Определим знаки производной и промежутки монотонности функции:
Итак, функция убывает на интервале .
|
||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-14; просмотров: 424; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.138.179.120 (0.007 с.) |