Понятие дифференциала функции . Приближенные вычисления с помощью дифференциала.

Ответ:

Пусть функция у=ƒ(х) имеет в точке х отличную от нуля производную.

Тогда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать D у/D х=ƒ'(х)+α, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=ƒ'(х)•∆х+α•∆х.

Таким образом, приращение функции ∆у представляет собой сумму двух слагаемых ƒ'(х)•∆х и а•∆х, являющихся бесконечно малыми при ∆x→0. При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с ∆х, так как а второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем ∆х:

Поэтому первое слагаемое ƒ'(х)· ∆х называют главной частью приращения функции ∆у.

Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)):

dy=ƒ'(х)•∆х. (1)

Дифференциал dу называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у=х.

Так как у'=х'=1, то, согласно формуле (24.1), имеем dy=dx=∆x, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dх=∆х.

Поэтому формулу (1) можно записать так:

dy=ƒ'(х)dх, (2)

иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Из формулы (2) следует равенство dy/dx=ƒ'(х). Теперь обозначение

производной dy/dx можно рассматривать как отношение дифференциалов dy и dх.

Приближенные вычисления с помощью дифференциала функции.

Пример:

Пример 7.23 Пусть требуется приближённо вычислить значение

Рассмотрим функцию

и будем трактовать числа как малые отклонения на , , от "круглых" значений .

Поскольку

то дифференциал функции равен

Значение функции в точке равно значения частных производных равны

Поэтому

и

Производная сложной функции. Производная обратной функции.

Ответ:

Сложная функция.

Обратная функция.

Примеры:

ых

Вывод табличных производных.

Ответ:

Нахождение производной для tgx

Правило вычисления производных от суммы, произведения,

Частного функций.

Ответ:

Производные высших порядков. Механический смысл второй производной.

Ответ:

Механический смысл 2-й производной.

Вывод: производная 2 порядка выражает скорость, 3 порядка ускорение.

Теорема Ферма, геометрический смысл теоремы Ферма.

Ответ:

Если функция имеет производную и в точке имеет экстремум, то значение производной в этой точке равно 0.

Доказательство

Пусть - точка минимума. Тогда при . Значение выражения . Значит, . Рассмотрим теперь , при этом также , и выражение . Значит, правая производная .

Следовательно . Теорема доказана.

 

Геометрический смысл теоремы Ферма Существует такая точка , в которой касательная параллельна оси Ox. Замечания В точке экстремума может не быть производной. Пример: , - точка минимума, но .

2. Равность нулю производной - необходимое условие существования экстремума, но не достаточное. То есть производная может быть равной 0 и вне точки экстремума. Пример: , но точка 0 - не экстремум.

 

Теорема Ролля, геометрический смысл теоремы Ролля.

Ответ:

 

Теорема Лагранжа. Геометрический смысл теоремы Лагранжа.

Ответ:

Теорема:

 

Геометрический смысл.

23. Многочлены Маклорена, Тейлора порядка N для функции имеющей производные N+1 порядка в данной точке. Примеры.

Ответ:

Достаточные условия возрастания (убывания) дифференцируемой функции на отрезке.

Ответ:

Понятие экстремума функции. Достаточное условие существование экстремума функции в точке.

Ответ:

Понятие выпуклости вверх, вниз графика функции.

Точки перегиба.

Ответ:

Нахождение пределов функции по правилу Лопиталя.

Понятие первообразной функции. Свойства первообразных.

Ответ:

Свойства:

Понятие неопределенного интеграла. Понятие о неберущихся интегралах.

Ответ: