Дифференциальное исчисление функций

СОДЕРЖАНИЕ

 

	Стр
Глава I.	Пределы
Глава 2.	Дифференциальное исчисление функций одной независимой переменной
	§1.	Понятие производной
	§2.	Основные правила дифференцирования. Дифференцирование основных элементарных функций.
	§3.	Дифференцирование сложной функции
	§4.	Производные высших порядков
	§5.	Дифференциал функции
	§6.	Применение производной при решении прикладных задач
Глава 3.	Исследование функций методами дифференциального исчисления
§1.	Интервалы монотонности функции
	§2.	Экстремум функции
Глава 4.	Неопределенный интеграл
	§1.	Непосредственное интегрирование
	§2.	Интегрирование способом подстановки (методом замены переменной)
	§3.	Интегрирование по частям
	§4.	Применение неопределенного интеграла при решении прикладных задач
Глава 5.	Определенный интеграл
	§1.	Определенный интеграл и его непосредственное интегрирование
	§2.	Приложение определенного интеграла для вычисления площадей плоских фигур
	§3.	Приложение определенного интеграла к решению физических задач.
Глава 6.	Дифференциальные уравнения
	§1.	Основные понятия
	§2.	Уравнения с разделяющимися переменными
	§3.	Однородные дифференциальные уравнения
	§4.	Задачи на составление дифференциальных уравнений
Глава 7.	Элементы теории вероятностей и математической статистики
	§1.	Основные понятия
	§2.	Числовые характеристики распределения случайных величин
	§3.	Нормальный закон распределения случайных величин
	§4.	Генеральная совокупность. Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке
	§5.	Интервальная оценка. Интервальная оценка при малой выборке. Распределение Стьюдента
	§6.	Проверка гипотез. Критерии значимости.
	§7.	Элементы корреляционного и регрессионного анализа.
		7.1. Характер взаимосвязи между признаками
		7.2. Проведение корреляционного анализа с помощью коэффициента парной корреляции
		7.3. Элементы регрессионного анализа
Лабораторные работы по статистической обработке результатов
	1.	Статистическая обработка данных измерения роста
	2.	Задания для проведения статистического анализа совокупности данных
Приложение.
	П1.	Правила приближенных вычислений
	П1.1	Запись приближенных чисел
	П1.2.	Правила округления
	П1.3.	Вычисление с приближенными числами
Ответы.
Список литература

 

 

«Никакой достоверности нет в науках там, где нельзя приложить ни одной из математических наук, и в том, что не имеет связи с математикой»

Леонардо да Винчи,

G.36v (Записная книжка, 186 страница)

Глава 1

 

ПРЕДЕЛЫ

Постоянная является пределом функции в точке , если их разность во всех точках, кроме , по абсолютному значению остается меньше бесконечно малого положительного числа e.

Если для <e, то .

Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах:

Если существуют и то

¯ ±

¯ ×

¯ (при ≠0).

 

Используют также следующие пределы:

- первый замечательный предел

- второй замечательный предел.

 

Иногда в процессе отыскания предела при замене аргумента определенным значением функция получает выражение или - неопределенность. Хотя это выражение не имеет определенного смысла, функция может иметь конечный предел при данном стремлении аргумента. Это становится очевидным, если функцию преобразовать: разложить ее на множители, или поделить на аргумент, или умножить на сопряженное выражение, и т.д.

Например:

ü при замене преобразовывается в неопределенность .

Раскрыть неопределенность можно, поделив все члены выражения, стоящего под знаком предела, на высшую степень аргумента, то есть на :

= .

 

ü - неопределенность.

Раскрыть данную неопределенность можно, разложив выражения, стоящие в числителе и знаменателе под знаком предела, на множители, то есть:

ü - неопределенность.

Умножив и поделив выражение, стоящее под знаком предела, на сопряженное выражение , получаем следующее выражение:

= .

 

Найти следующие пределы:

 

1.1. . (Ответ: 3)	1.6. . (Ответ: 9/2)
1.2. . (Ответ: 1000)	1.7. . (Ответ: 1/3)
1.3. . (Ответ: - )	1.8. . (Ответ: )
1.4. . (Ответ: )	1.9. . (Ответ: 1)
1.5. . (Ответ: 0)	1.10. . (Ответ: 4)
1.11. . (Ответ: 0)	1.21. . (Ответ: 1/2)
1.12. . (Ответ: 0)	1.22 . (Ответ: 0,6)
1.13. . (Ответ: 1/3)	1.23. . (Ответ: 4)
1.14. . (Ответ: 1/2)	1.24. . (Ответ: 0)
1.15. . (Ответ: 0)	1.25. . (Ответ: 4)
1.16. . (Ответ: 1/4)	1.26. . (Ответ: e=2,718)
1.17. . (Ответ: )	1.27. . (Ответ: 1)
1.18. . (Ответ: 3)	1.28. . (Ответ: e^3)
1.19. . (Ответ: 1)	1.29. . (Ответ: 1/2)
1.20. . (Ответ: 3)	1.30. . (Ответ: 1/3)

Глава 2

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ

Понятие производной

Пусть и - два значения аргумента, а и - соответствующие значения функции . Тогда разность называется приращением аргумента, а разность = - приращением функции на отрезке .

Производной от функции по аргументу называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

Или

Примечание.

Производная обозначается также как (Читается «дэ игрек по дэ икс».) Штрихом производная обозначается только в том случае, если она берется по .

Отыскание производной называется дифференцированием функции.

Исходя из определения производной, можно найти производную любой дифференцируемой функции.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Найти производную функции

(1)

Дадим приращение , тогда получит приращение :

,

отсюда

.

Функция задается формулой (1). Тогда

=

=

Находим отношение приращения функции к приращению аргумента:

= .

Найдем предел этого отношения при :

= ()=

Следовательно, по определению производной

2. Найти производную функции

(2)

Находим приращение функции отсюда

= и

=

Таким образом,

Итак,

3. Найти производную функции

(3)

Находим приращение функции

Воспользуемся формулой

Отсюда

и

= .

Итак,

=

 

Исходя из определения производной, найти производные следующих функций:

2.1. (Ответ: - )	2.5. (Ответ: )
2.2. (Ответ: )	2.6. . (Ответ: )
2.3. (Ответ: )	2.7. . (Ответ: )
2.4. Ответ: )	2.8. . (Ответ: 6(x-1))

 

 

Производные высших порядков

Производная второго порядка (вторая производная) от функции есть производная от ее производной, т.е.

.

Производная третьего порядка (третья производная) от функции есть производная от ее второй производной:

Вообще производная n-го порядка (n-я производная) функции есть производная от ее (n-1)-й производной.

Рассмотрим пример.

Найти третью производную от функции .

Дифференцируя данную функцию, получим . Дифференцируя производную , найдем: . Отсюда третья производная .

 

Найти производные второго порядка от функций:

 

 

2.127.	(Ответ: )	2.128	(Ответ: )
2.129.	(Ответ: )	2.130.	(Ответ: )
2.131.	(Ответ: )	2.132.	(Ответ: )
2.133.	(Ответ: )	2.134	(Ответ: )

 

Найти производные третьего порядка от функций:

 

2.135.	(Ответ: )	2.136.	(Ответ: )
2.137.	(Ответ: )	2.138.	(Ответ: )
2.139.	(Ответ: )	2.140.	(Ответ: )

Дифференциал функции

 

Дифференциалом (первого порядка) функции называется главная часть ее приращения, линейная относительно приращения аргумента.

Дифференциалом аргумента называется приращение этого аргумента:

Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента:

 

Основные свойства дифференциала.

 

1. , где С=const

2.

3.

4.

5. ,

6.

 

Если приращение аргумента мало по абсолютной величине, то и . Полученное выражение позволяет использовать дифференциал функции для приближенных вычислений.

Дифференциалом второго порядка функции называется дифференциал от дифференциала первого порядка: . Аналогично определяется дифференциал третьего и более высоких порядков.

Используя определение дифференциала, рассмотрим ряд примеров.

1. Найти приращение и дифференциал функции при и =0,01. Каковы абсолютная и относительная погрешности, которые допускаются при замене приращения функции ее дифференциалом?

Имеем

= .

Найдем дифференциал функции:

.

Абсолютная погрешность

.

Относительная погрешность

.

2. Найти дифференциалы первого и второго порядков функции .

Имеем

- дифференциал первого порядка,

- дифференциал второго порядка.

3. Вычислить приближенное значение .

Рассмотрим функцию . Полагая , и применяя формулу , получаем

.

4. Вычислить приближенное значение площади круга, радиус которого равен 3,02 м.

Воспользуемся формулой . Полагая R =3, , имеем

.

Следовательно, площадь круга радиуса 3,02м имеет приближенное значение

.

5. Вычислить приближенно .

Рассмотрим функцию и положим x=8,

Тогда, воспользовавшись формулой ,

найдем

.

.

Таким образом, »2,0008.

6. На сколько увеличилось ребро куба, если объем его изменился с 27 м³ до 27,2 м³?

Если - ребро куба, то его объем . Задача сводится к отысканию приращения функции при и .

Приращение найдем, исходя из приближенного равенства

. Подставляем соответствующие значения и получаем

(м).

 

Найти дифференциалы следующих функций:

 

2.141.	(Ответ: )	2.142.	(Ответ: )
2.143	(Ответ: )	2.144.	(Ответ )

Найти дифференциалы первого, второго и третьего порядков.

 

2.145.	Ответ: ; ; .
2.146.	Ответ: ; ; .
2.147.	Ответ: ; ; .
2.148.	Ответ: ; ; .

 

2.149. Найти приращение и дифференциал функции при и Вычислить абсолютную и относительную погрешности, которые получаются при замене функции ее дифференциалом. (Ответ: ; ; ).

2.150. Вычислить и для функции при и (Ответ: ; ).

2.151. Найти приращение и дифференциал функции при и Вычислить абсолютную и относительную погрешности, которые получаются при замене функции ее дифференциалом.

(Ответ: ; ; ; ).

2.152. На сколько измениться сторона квадрата, если его площадь уменьшится с 16 м² до 15,82 м²? (Ответ:0,0225 м)

2.153. Найти приближенное значение объема шара радиусом R=2,01 м. (Ответ:34,04 м³).

2.154. Найти приближенное значение . (Ответ: )

2.155. Найти приближенное значение .(Ответ:2,999)

2.156. Найти приближенное значение .(Ответ:1,035)

2.157. Найти приближенное значение . (Ответ:0,88)

2.158. Поверхностная энергия жидкости рассчитывается по формуле: . Здесь - энергия единицы площади, равная коэффициенту поверхностного натяжения, - площадь свободной поверхности жидкости. Найти изменение поверхностной энергии мыльного пузыря при увеличении его радиуса с 5 см до 5,2 см (площадь поверхности сферы ). Коэффициент поверхностного натяжения мыльной воды в условиях данной задачи принять равным 0,04 Дж/м² . (Ответ: Дж).

2.159. Резиновый шар наполняется газом. Найти приближенно абсолютное и относительное изменение поверхности шара при увеличении его радиуса от 10,0 см до 10,5 см.

(Ответ: м²; )

 

2.160. Период колебания математического маятника , где м/с², а см. Найти изменение периода колебаний при уменьшении длины на 1 см. (Ответ: с)

2.161. Разность потенциалов между внутренней частью клетки и внешней средой обусловлена различием концентрации ионов внутри и вне клетки. Величина этой разности потенциалов в милливольтах для одновалентных ионов при температуре 18⁰ определяется формулой , где .

Рассчитать изменение при увеличении от 20 до 22. Учесть, что . (Ответ: мВ).

 

 

Прикладных задач

Производная от функции , вычисленная при значении аргумента , представляет собой скорость изменения этой функции относительно независимой переменной в точке .

В частности, если зависимость между пройденным путем и временем при прямолинейном движении выражается формулой , то скорость движения в любой момент времени есть , а ускорение, т.е. скорость изменения скорости движения, .

Например.

1. Точка движется прямолинейно по закону . выражается в метрах, а - в секундах. (Обратите внимание на то, что коэффициенты при соответствующих степенях имеют разную размерность. Не забывайте, что если слева стоят «метры», то и каждое слагаемое в правой части должно тоже иметь размерность «метры»). Найти скорость и ускорение движения через 1 с после начала движения.

Глава 3

 

Решение.

Найдем производную заданной функции: .

При >0 - функция возрастает,

при <0 - функция убывает,

при >0 - функция возрастает,

при <0 - функция убывает.

2. Найти интервалы возрастания и убывания функции , если .

Решение.

Найдем производную заданной функции: . В промежутке производная >0 поэтому функция возрастает, а в промежутках и производная <0 – функция убывает.

3. Определить характер монотонности функции в промежутке .

Решение.

Найдем производную: . При производная >0 функция возрастает. При производная >0 – функция возрастает. Следовательно, функция возрастает во всей области определения.

 

 

Решить следующие задачи.

3.1. Убедиться, что функция в интервале < <3 убывает.

3.2. Определить интервалы убывания и возрастания функции . (Ответ: при x<0 функция убывает, при x>0 - возрастает.)

3.3. Определить, при каких значениях функция убывает.

(Ответ: при любом функция убывает).

3.4. Проверить, во всем ли интервале функция возрастает. (Ответ: при функция убывает).

3.5. Определить интервал возрастания функции . (Ответ: при x>0 функция возрастает).

3.6. Найти интервалы возрастания и убывания функции . (Ответ: в интервале и функция возрастает; в интервале - убывает).

3.7. Найти интервалы монотонности функции . (Ответ: интервал возрастания , интервал убывания )

 

Экстремум функции

Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если существует такая окрестность точки , что для всех этой окрестности выполняется неравенство < (максимум) или > (минимум).

Точки максимума и минимума функции называются точками ее экстремума, а значение функции в точке максимума (минимума) – максимумом (минимумом), или экстремумом функции.

Правило отыскания экстремумов функции:

1. Вычислить производную .

2. Составить уравнение =0 и найти его корни, которые являются критическими точками функции.

3. Установить знак производной слева и справа от критической точки.

Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с плюса на минус (вторая производная при этом меньше нуля), то в критической точке она имеет максимум.

Если производная в критической точке меняет знак с минуса на плюс (вторая производная при этом больше нуля), то функция в этом точке имеет минимум.

Рассмотрим примеры.

1. Исследовать на экстремум функцию .

Решение.

Находим первую производную заданной функции: . Приравниваем ее нулю и определяем критические точки: , значение является критической точкой. Определяем знак при переходе через критическую точку. Если , то