Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Одной независимой переменной

Поиск

Понятие производной

Пусть и - два значения аргумента, а и - соответствующие значения функции . Тогда разность называется приращением аргумента, а разность = - приращением функции на отрезке .

Производной от функции по аргументу называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

Или

Примечание.

Производная обозначается также как (Читается «дэ игрек по дэ икс».) Штрихом производная обозначается только в том случае, если она берется по .

Отыскание производной называется дифференцированием функции.

Исходя из определения производной, можно найти производную любой дифференцируемой функции.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Найти производную функции

(1)

Дадим приращение , тогда получит приращение :

,

отсюда

.

Функция задается формулой (1). Тогда

=

=

Находим отношение приращения функции к приращению аргумента:

= .

Найдем предел этого отношения при :

= ()=

Следовательно, по определению производной

2. Найти производную функции

(2)

Находим приращение функции отсюда

= и

=

Таким образом,

Итак,

3. Найти производную функции

(3)

Находим приращение функции

Воспользуемся формулой

Отсюда

и

= .

Итак,

=

 

 

Исходя из определения производной, найти производные следующих функций:

2.1. (Ответ: - ) 2.5. (Ответ: )
2.2. (Ответ: ) 2.6. . (Ответ: )
2.3. (Ответ: ) 2.7. . (Ответ: )
2.4. Ответ: ) 2.8. . (Ответ: 6(x-1))

 

 

Основные правила дифференцирования.

Дифференцирование основных элементарных функций.

Основные правила дифференцирования

Пусть C –постоянная, - функции, имеющие производные, тогда:

1.

2.

3.

4.

5.

Таблица производных

основных элементарных функций

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.

Применяя формулы и правила дифференцирования, найдем производную функции:

Запишем данную функцию следующим образом:

 

Тогда

В качестве следующего примера найдем производную от функции

.

 

Для нахождения производной воспользуемся правилом нахождения производной от произведения двух функций:

 

И, наконец, рассмотрим еще один пример: нахождение производной частного от деления двух функций

.

Для нахождения производной воспользуемся пятым правилом из раздела «Основные правила дифференцирования». Тогда

 

Найти производные следующих функций:

 

2.9. . (Ответ: 6(x-1)) 2.10. . (Ответ: )
2.11. . (Ответ: 2x(24x2+1)) 2.12. . (Ответ: )
2.13. . (Ответ: ) 2.14. . (Ответ: )
2.15. . (Ответ: ) 2.16. . (Ответ: )
2.17. . (Ответ: 4 ) 2.18. . (Ответ: )
2.19. . (Ответ: ) 2.20. . (Ответ: )
2.21. . (Ответ: ) 2.22. . (Ответ: )
2.23. . (Ответ: ) 2.24. (Ответ: )
2.25. . (Ответ: ) 2.26. (Ответ: . ()
2.27. (Ответ: . () 2.28. . (Ответ: )
2.29. . (Ответ: ) 2.30. . (Ответ: - )
2.31. . (Ответ: ) 2.32.   (Ответ: )
2.33. . (Ответ: ) 2.34. . (Ответ: - )
2.35. . (Ответ: ) 2.36. . (Ответ: )
2.37. . (Ответ: 0) 2.38. . (Ответ: )
2.39. . (Ответ: ) 2.40. (Ответ: )
2.41. . (Ответ: ) 2.42. . (Ответ:
2.43. . (Ответ: ) 2.44. (Ответ: )
2.45. (Ответ: . ) 2.46. . (Ответ: )
2.47. . (Ответ: ) 2.48. . (Ответ: )  
2.49. . (Ответ: ) 2.50. . (Ответ: )
2.51. . (Ответ: ) 2.52. . (Ответ: )
2.53. . (Ответ: ) 2.54. . (Ответ: )
2.55. . (Ответ: ) 2.56. . (Ответ: )  
2.57. . (Ответ: ) 2.58. . (Ответ: )
2.59. . (Ответ: ) 2.60. . (Ответ: )
2.61. . (Ответ: ) 2.62. . (Ответ: )
2.63. (Ответ: ) 2.64. . (Ответ: )
2.65. . (Ответ: ) 2.66. . (Ответ: )
2.67. . (Ответ: ) 2.68. . (Ответ: )
2.69. . (Ответ: )   2.70. . (Ответ: )
2.71. . (Ответ: ) 2.72. (Ответ: )
2.73. . (Ответ: ) 2.74.[1] (Ответ: )
2.75. . (Ответ: ) 2.76. (Ответ: )
2.77. . (Ответ: ) 2.78. (Ответ: )
2.79.[2] (Ответ: ) 2.80.[3] (Ответ: )
         

 

Дифференцирование сложной функции.

 

Пусть и - дифференцируемые функции. Тогда сложная функция есть также дифференцируемая функция, причем

.

Это правило распространяется на цепочку из любого конечного числа дифференцируемых функций: производная сложной функции равна произведению производных функций, ее составляющих.

Рассмотрим несколько примеров нахождения производной сложной функции.

Пример 1.

Положим , где .

Тогда

.

 

Пример 2.

.

Обозначим . Тогда .

По правилу дифференцирования сложной функции имеем:

.

 

Пример 3.

.

Обозначим . Тогда .

По правилу дифференцирования сложной функции имеем:

= .

 

Пример 4.

.

Положим . Тогда .

.

 

Пример 5.

.

Если , то . Следовательно

.

 

Пример 6.

.

Положим , где , а .

Получаем

= .

 

Пример 7.

<1.

Если то , следовательно,

Выполним алгебраические преобразования и получим окончательно

.

Пример 8.

Имеем

Найти производные следующих сложных функций:

 

2.81. (Ответ: ) 2.82. (Ответ: )
2.83. (Ответ: ) 2.84. (Ответ: )
2.85. (Ответ: ) 2.86. (Ответ: )
2.87. (Ответ: ) 2.88. (Ответ: )
2.89. (Ответ: ) 2.90. (Ответ: )
2.91. (Ответ: ) 2.92. (Ответ: )
2.93. (Ответ: ) 2.94. (Ответ: )
2.95. (Ответ: ) 2.96. (Ответ: )
2.97. (Ответ: ) 2.98. (Ответ: )
2.99. (Ответ: )   2.100. (Ответ: )
2.101. (Ответ: ) 2.102. (Ответ: )
2.103. (Ответ: ) 2.104. (Ответ: )
2.105. (Ответ: ) 2.106. (Ответ: )  
2.107. (Ответ: ) 2.108. (Ответ: )
2.109. (Ответ: ) 2.110. (Ответ: )
2.111. (Ответ: ) 2.112. (Ответ: )
2.113. (Ответ: ) 2.114. (Ответ: )
2.115. (Ответ: ) 2.116. (Ответ: )
2.117. (Ответ: ) 2.118. (Ответ: )
2.119. (Ответ: ) 2.120. (Ответ: )
2.121. (Ответ: ) 2.122. (Ответ: )
2.123. (Ответ: ) 2.124. (Ответ: )
2.125. (Ответ: ) 2.126. (Ответ: )

 

Производные высших порядков

Производная второго порядка (вторая производная) от функции есть производная от ее производной, т.е.

.

Производная третьего порядка (третья производная) от функции есть производная от ее второй производной:

Вообще производная n-го порядка (n-я производная) функции есть производная от ее (n-1)-й производной.

Рассмотрим пример.

Найти третью производную от функции .

Дифференцируя данную функцию, получим . Дифференцируя производную , найдем: . Отсюда третья производная .

 

Найти производные второго порядка от функций:

 

 

2.127. (Ответ: ) 2.128 (Ответ: )
2.129. (Ответ: ) 2.130. (Ответ: )
2.131. (Ответ: ) 2.132. (Ответ: )
2.133. (Ответ: ) 2.134 (Ответ: )  
         

 

Найти производные третьего порядка от функций:

 

2.135. (Ответ: ) 2.136. (Ответ: )
2.137. (Ответ: ) 2.138. (Ответ: )  
2.139. (Ответ: ) 2.140. (Ответ: )

Дифференциал функции

 

Дифференциалом (первого порядка) функции называется главная часть ее приращения, линейная относительно приращения аргумента.

Дифференциалом аргумента называется приращение этого аргумента:

Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента:

 

Основные свойства дифференциала.

 

1. , где С=const

2.

3.

4.

5. ,

6.

 

Если приращение аргумента мало по абсолютной величине, то и . Полученное выражение позволяет использовать дифференциал функции для приближенных вычислений.

Дифференциалом второго порядка функции называется дифференциал от дифференциала первого порядка: . Аналогично определяется дифференциал третьего и более высоких порядков.

Используя определение дифференциала, рассмотрим ряд примеров.

1. Найти приращение и дифференциал функции при и =0,01. Каковы абсолютная и относительная погрешности, которые допускаются при замене приращения функции ее дифференциалом?

Имеем

= .

Найдем дифференциал функции:

.

Абсолютная погрешность

.

Относительная погрешность

.

2. Найти дифференциалы первого и второго порядков функции .

Имеем

- дифференциал первого порядка,

- дифференциал второго порядка.

3. Вычислить приближенное значение .

Рассмотрим функцию . Полагая , и применяя формулу , получаем

.

4. Вычислить приближенное значение площади круга, радиус которого равен 3,02 м.

Воспользуемся формулой . Полагая R =3, , имеем

.

Следовательно, площадь круга радиуса 3,02м имеет приближенное значение

.

5. Вычислить приближенно .

Рассмотрим функцию и положим x=8,

Тогда, воспользовавшись формулой ,

найдем

.

.

Таким образом, »2,0008.

6. На сколько увеличилось ребро куба, если объем его изменился с 27 м3 до 27,2 м3?

Если - ребро куба, то его объем . Задача сводится к отысканию приращения функции при и .

Приращение найдем, исходя из приближенного равенства

. Подставляем соответствующие значения и получаем

(м).

 

Найти дифференциалы следующих функций:

 

2.141. (Ответ: )   2.142. (Ответ: )  
2.143 (Ответ: )     2.144. (Ответ )

Найти дифференциалы первого, второго и третьего порядков.

 

2.145. Ответ: ; ; .
2.146. Ответ: ; ; .
2.147. Ответ: ; ; .  
2.148. Ответ: ; ; .

 

2.149. Найти приращение и дифференциал функции при и Вычислить абсолютную и относительную погрешности, которые получаются при замене функции ее дифференциалом. (Ответ: ; ; ).

2.150. Вычислить и для функции



Поделиться:


Познавательные статьи:




Последнее изменение этой страницы: 2016-06-26; просмотров: 547; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 52.14.255.122 (0.01 с.)