Основные свойства неопределенного интеграла

 

1. или

 

2.

 

3.

 

4.

 

Таблица простейших интегралов
1.		7.
2.		8.
3.		9.
4.		10.
5.		11.
6.		12.

 

Проинтегрировать функцию значит найти её неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование основано на прямом использовании основных свойств неопределенного интеграла и таблицы простейших интегралов.

 

Рассмотрим следующие примеры:

 

1). Найти интеграл

.

Разделив почленно числитель на знаменатель, разложим подынтегральную функцию на слагаемые, после чего проинтегрируем каждое из полученных выражений:

 

Через С обозначен результат суммирования всех произвольных постоянных, получающихся при интегрировании каждого слагаемого.

 

2). Вычислить интеграл

 

Представим подынтегральную функцию следующим образом:

Тогда

 

3). Найти интеграл

 

Представим подынтегральную функцию в таком виде:

 

Подставим полученное выражение:

 

 

4). Вычислить интеграл

 

Преобразуем подынтегральную функцию таким образом:

 

Подставляя полученную функцию, вычисляем интеграл:

 

Используя правила интегрирования и таблицу интегралов найти следующие интегралы:

 

 

4.1		4.11
4.2		4.12
4.3		4.13
4.4		4.14
4.5		4.15
4.6		4.16
4.7		4.17
4.8		4.18
4.9		4.19
4.10		4.20

 

Интегрирование способом подстановки

(метод замены переменной).

 

Способ подстановки заключается в том, чтобы, преобразовав подынтегральную функцию, свести интеграл к табличному виду.

 

Например:

 

1). Найти интеграл

Подстановка 2x=U приводит рассматриваемый интеграл к табличному, причем dU=2dx Þ

Тогда

 

Возвращаясь к первоначальной переменной интегрирования х, окончательно получим:

.

2). Найти интеграл

.

Полагая , имеем . Из полученного .

Тогда

 

3). Найти интеграл

.

Применим подстановку , следовательно .

Тогда данный интеграл примет вид

.

4). Найти интеграл

.

Подстановка приводит данный интеграл к табличному виду, причем , значит .

Запишем интеграл, используя подстановку

Методом подстановки найти следующие интегралы:

 

4.21		4.31
4.22		4.32
4.23		4.33
4.24		4.34
4.25		4.35
4.26		4.36
4.27		4.37
4.28		4.38
4.29		4.39
4.30		4.40

 

Интегрирование по частям.

С помощью формулы интегрирования по частям

где u, v –дифференцируемые функции, зависящие от х, нахождение интеграла сводится к отысканию более простого интеграла .

Например:

1). Найти интеграл

.

Положим

,

тогда

.

Отсюда

.

Используя формулу интегрирования по частям, получим

2). Найти интеграл

Полагая

найдем

Отсюда

3). Найти интеграл

.

Полагая

получим

Тогда интеграл примет вид:

 

Используя формулу интегрирования по частям, найти следующие интегралы:

4.41		4.47
4.42		4.48
4.43		4.49
4.44		4.50
4.45		4.51
4.46		4.52

 

§4. Применение неопределенного интеграла при решении прикладных задач.

Рассмотрим задачи.

1). Шкив вращается вокруг оси под действием момента сил М, который меняется с течением времени по закону М=Аt, А - известная постоянная величина. Найти угловую скорость w и угол поворота jшкива в любой момент времени, если в начальный момент шкив был неподвижен. Момент инерции шкива равен I.

Используем для решения основное уравнение динамики вращения тела

Отсюда .

Угловую скорость находим интегрированием последнего выражения, т.е.

Постоянную интегрирования С найдем из начальных условий, т.е. из условия, что при t =0, w=0. Получаем, что С =0. Таким образом, угловая скорость в любой момент времени равна

.

Учитывая, что угловая скорость и угловой путь связаны формулой

,

найдем угловой путь

,

где С- постоянная интегрирования, которая вновь определяется из начального условия: при t =0, w=0, значит С ₁=0. Следовательно, угол поворота шкива в любой момент времени равен

2). Скорость тела через t с после начала движения равна V =(4 t +5) м/с. Определить путь, пройденный телом за t с после начала отсчета.

Учтя, что , получим . Тогда

.

Постоянную интегрирования найдем из начального условия, что при t =0 тело покоилось, следовательно С =0. Тогда окончательно имеем

S =2 t ²+5 t (м).

 

Решить следующие задачи.

 

4.78 Скорость тела через t с после начала движения равна V=V ₀ +at ( м/с). Определить путь, пройденный телом за это время.

4.79 Скорость прямолинейного движения тела в любой момент времени t равна V= 3 t ² + 4 t (м/с). Найти расстояние, пройденное телом в любой момент времени от начала отсчета, если через 2 с оно равно 15 м.

4.80 В любой момент времени ускорение тела а = (м/с²).Найти зависимость пройденного пути от времени движения, зная, что тело начинает двигаться из состояния покоя с начальной скоростью 3 м/с.

4.81 В любой момент времени скорость тела V= p×cosp t ( м/с). Найти закон движения тела, зная, что в момент времени t =2с пройденное от начала отсчета расстояние равно4 м.

4.82 Сила, действующая на тело в направлении движения, меняется со временем по закону F =6 t (Н). Найти скорость тела в любой момент времени, зная, что в момент начала отсчета она была равна 1 м/с. Масса тела 3 кг.

4.83 На диск действует постоянный вращающий момент силы М =2Н×м. Найти закон изменения угловой скорости и угла поворота диска с течением времени, если в начальный момент времени угловая скорость была 30 рад/с, а угол поворота равен нулю. Момент инерции диска 0,02кг×м².

4.84 Ток в цепи, содержащей конденсатор, меняется по закону

I = I_max sinw t (А), где I_max и w- постоянные величины. Как изменяется со временем заряд конденсатора, если в момент времени, когда ток максимален, заряд равен нулю?

4.85 Скорость тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью V ₀, определяется по формуле V = V ₀- gt (м/с). На каком расстоянии от начального положения будет находиться тело через t с после броска?

 

Глава 5

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ