Первообразная и неопределенный интеграл.

Первообразная и неопределенный интеграл.

Понятие первообразной и неопределенный интеграл

Определение. Функция называется первообразной функцией для функции на промежутке , если в каждой точке этого промежутка .

Пример. является первообразной для , т.к. .

Можно заметить, что если для функции существует первообразная , то она не является единственной. Возвращаясь к примеру, видно, что и функции , и вообще ( - некоторое число) являются первообразными для функции . Таким образом можно сформулировать следующую теорему.

Теорема. Если и - первообразные для функции на некотором промежутке , то найдется такое число , что будет справедливо равенство:

.

Из данной теоремы следует, что, если - первообразная для функции , то выражение вида , где - произвольное число, задает все возможные первообразные для .

Определение. Совокупность всех первообразных функции на промежутке называется неопределенным интегралом от функции и обозначается , где - знак интеграла, - подынтегральная функция, - подынтегральное выражение.

Таким образом:

,

где - некоторая первообразная для , произвольная постоянная.

Определение. Операция нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием этой функции.

Свойства неопределенного интеграла

1) Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. .

□ Доказательство. Дифференцируя левую и правую части равенства , получаем: .■

2) Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е. .

□ Доказательство. По определению дифференциала и свойству 1 имеем: ■

3) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е. .

□ Доказательство. Рассматривая функцию как первообразную для некоторой функции , можно записать: и на основании дифференциал неопределенного интеграла , откуда .■

4) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. , где - некоторое число.

5) Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е. .

Метод замены переменной, интегрирование по частям.

Интегрирование - действие, обратное дифференцированию, то каждому правилу дифференцирования должно соответствовать некоторое правило интегрирования.

Пусть и - дифференцируемые функции от х. Имеем: , откуда .

Интегрируя обе части последнего равенства, получим: , или

.

Это и есть формула интегрирования по частям.

Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение представляется каким-либо образом в виде произведения двух множителей и (последний обязательно содержит ) и согласно формуле данное интегрирование заменяется двумя:

1) при отыскании из выражения для ;

2) при отыскании интеграла от .

Может оказаться, что эти два интегрирования легко осуществляются, тогда как заданный интеграл непосредственно найти трудно.

Правило интегрирования по частям нередко позволяет довести интегрирование до конца.

Интегральная сумма определенный интеграл, его геометрический смысл

Пусть на отрезке задана функция (рис. 10.1).

Разобьем отрезок на элементарных отрезков точками , где . На каждом отрезке разбиения выберем некоторую точку и положим , где . Сумму вида будем называть интегральной суммой для функции на отрезке .

Обозначим через максимальную из длин отрезков , т.е. .

Определение. Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел интегральной суммы при , т.е.

. (10.1)

- нижний предел, - верхний предел, - подынтегральная функция, - подынтегральное выражение.

Замечание 1. Переменную под знаком интеграла можно обозначать любой буквой: и т. д.

Замечание 2. В отличие от неопределенного интеграла , который представляет семейство функций (первообразных), определенный интеграл есть определенное число.

Геометрический смысл определенного интеграла.

Пусть на отрезке задана неотрицательная функция . Тогда площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , прямыми , и осью абсцисс (рис.10.2) численно равна определенному интегралу от функции на .

Формула ньютона-лейбница

Формула Ньютона-Лейбница.

Теорема. Пусть функция непрерывна на отрезке и - любая первообразная для на . Тогда определенный интеграл от функции на отрезке равен приращению первообразной на этом отрезке, т.е.

.

Значение определённого интеграла равно разности значений любой первообразной от подынтегральной функции, взятых при верхнем и нижнем пределах интеграла.

Другими словами, Значение определённого интеграла равно приращению любой первообразной от подынтегральной функции на интервале интегрирования.

Формула Ньютона-Лейбница позволяет находить определённый интеграл, обходя суммирование, при помощи первообразных функций.

 

Несобственные интегралы

Частные производные

Основные понятия. Частные производные

Определение. Пусть имеется переменных величин и каждому набору их значений из некоторого множества соответствует одно вполне определенное значение переменной величины из множества . тогда говорят, что задана функция нескольких переменных .

Переменные называются независимыми переменными или аргументами, - зависимая переменная. Множество называется областью определения функции, множество - областью значений функции.

Функцию двух переменных будем обозначать как .

Определение. Графиком функции двух переменных называется множество точек трехмерного пространства (), аппликата которых связана с абсциссой и ординатой функциональным соотношением . График представляет собой некоторую поверхность в трехмерном пространстве.

Первообразная и неопределенный интеграл.