Интегральный синус. Свойства.

Определяется формулой:

Подынтегральная функция непрерывна, если доопределить ее так:

Так как функция «синус» нечетная, несложно понять, сто и интегральный синус – тоже нечетная.

Взяв вторую производную, и подставив значение получаем:

Следовательно, в точках, где k>0 и четные И k<0 и нечетные – минимумы функции. где k<0 и четные И k>0 и нечетные – максимумы.

Примечание автора. Обязательна графическая иллюстрация.

Интегральный логарифм.

Специальная функция, определяемая интегралом Этот интеграл не выражается в конечной форме через элементарные функции. Если то интеграл понимается в смысле

Он был введен в матем. анализ Эйлером.

Известно, что для больших положительных функций, растет как

Интегрирование рациональных дробей.

Требуется вычислить интеграл от рациональной дроби.

Правильная или неправильная?

Если неправильная, представляем ее в виде многочлена М(х) и правильной дроби

Правильную представляем в виде суммы простейших дробей.

Интегрирование всякой рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена и нескольких простейших дробей.

Возможны 4 случая:

1.Корни знаменателя действительны и различны.

2. Корни знаменателя действительные, причем некоторые из них кратные:

После данного преобразования дроби интегрируются.

3. Корни знаменателя – комплексные, различные.

Разложение и последующее интегрирование аналогично второму случаю.

4. Корни знаменателя – комплексные кратные.

Разложение и последующее интегрирование аналогично трем предыдущим случаем.

Несобственные интегралы по неограниченному промежутку. Теоремы сравнения.

Определение. Если существует конечный предел то этот предел называют несобственным интегралом от функции на промежутке и обозначают так

Говорят, что в этом случае интеграл существует/сходится. Если при не имеет конечного предела, то говорят что он расходится/не существует.

Во многих случаях достаточно установить сходится или расходится данный интеграл и оценить его значение. Для этого применяют теоремы сравнения.

Теорема1. Пусть тогда несобственные интегралы и

сходятся или расходятся одновременно. Если сходятся, то справделиво равенство

Доказательство. Следует из аддитивности определенного интеграла по промежутку.

Теорема2. Если F – первообразная к функции f на отрезке то остается справедливой формула Ньютона-Лейбница в виде

Определение. Если интеграл сходится, то сходится и

Последний интеграл – абсолютно сходящийся.

 

Формула прямоугольников

Дана непрерывная функция на отрезке [a,b]. Требуется вычислить определенный интеграл Разделим отрезок на n равных частей длины точками Обозначим через значения f(x) в этих точках,т.е.

Составим суммы:

Каждая из этих сумм – интегральная сумма для f(x) на отрезке [a,b] и поэтому приближенно вычисляет интеграл.

или

Суть метода прямоугольников для отрезка [a,b] проиллюстрирована на рисунке, при этом площадь под кривой f(x) заменена суммой площадей заштрихованных прямоугольников.

Примечание. Чем больше число шагов n, тем незначительнее ошибка при вычислении интеграла.

 

Формула трапеций.

Эта формула является более точной по сравнению с формулой прямоугольников, что объясняется заменой ступенчатой линии на вписанную ломаную.

 

 

y₁ у₂ у_n

 

a x₁ x₂ b x

 

Геометрически площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей вписанных трапеций.

Площади вписанных трапеций вычисляются по формулам:

После приведения подобных слагаемых получаем формулу трапеций:

Число n выбирается произвольно. Чем больше оно будет, тем меньше будет шаг тем с большей точностью вычисляется значение интеграла.

 

Выбор числа шагов при заданной точности.

Вычислить приближенное значение с заданной точностью означает, что выполняется неравенство: - приближенное значение, - заданная погрешность.

При вычислениях интеграла погрешность учитывается следующим образом: М – наибольшее значение модуля второй производной на заданном отрезке.

 

 

Методы рационализации.

Подстановка Эйлера.

Рассмотрим интеграл где .Такой интеграл приводится к интегралу от рациональной функции нового переменного с помощью следующих подстановок Эйлера.

Первая подстановка Эйлера.

Если a>0, то полагаем:

Возьмем для определенности знак +. Получаем , откуда

, т.е. оказывается рациональной функцией от t. Так как ,x,dx выражаются рационально через t,то преобразуется в интеграл от рациональной функции от t.

Вторая подстановка Эйлера.

Если с>0, то полагаем: Берем для определенности знак +. . Отсюда .Т.к. dx и тоже выражаются рационально через t то, подставляя значения х, и dx в интеграл мы сведем его к интегралу от рациональной функции от t.

Третья подстановка Эйлера.

Пусть и – действительные корни трехчлена .Полагаем: = Так как = ,то Отсюда .Т.к. dx и тоже рационально зависят от t, то данный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции от t.

Замечание1. Третья подстановка Э.применима не только при а<0,но и при a>0-лишь бы многочлен имел 2 действительных корня.

Замечание 2. Заметим, что для приведения интеграла к интегралу от рациональной функции достаточно первой и третьей подстановок Э. Рассмотрим трехчлен .Если ,то корни трехчлена действительны, и применима 3 подстановка Эйлера. Если , то в этом случае и, трехчлен имеет знак, совпадающий со знаком a. Чтобы был действительным, нужно, чтобы 3член был положительным, a>0.В этом случае применима первая подстановка.