Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда.

Определение. Знакочередующийся ряд – ряд, у которого любые рядом стоящие члены имеют противоположные знаки.

Теорема. Если в знакочередующемся ряде члены таковы, что и то ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена.

Доказательство. Рассмотрим сумму первых членов исходного ряда: Так как выражения в скобках положительные. Следовательно, и возрастает с возрастанием

Запишем сумму в другом виде: Каждая скобка здесь также положительна. В результате вычисления получим число, меньшее то есть

Таким образом: S возрастает с возрастанием m и ограничена сверху. причем

Теперь докажем, что «нечетные» частичные суммы также стремятся к пределу S. Для этого выражается и аналогично записывается предел

Следовательно, ряд сходится.

Замечание. Теорема Лейбница справедлива, еси неравенства выполняются, начиная с некоторого N.

 

 

Абсолютная сходимость. Свойства абсолютно сходящихся рядов.

Определение. Если ряд сходится, то говорят, что ряд сходится абсолютно. Если сходится, но расходится, то говорят, что ряд сходится условно.

Теорема. Если ряд сходится, то и ряд сходится.

Доказательство. Запишем ряды почленно

1.

2.

Пусть -сумма первого ряда, -сумма второго ряда. -сумма всех положительных, - сумма абсолютных величин.

равняется разности и , -их сумме.

По условию имеет предел

и - положительные возрастающие величины, меньшие .

Они имеют пределы и .

имеет предел . Ряд сходится.

Замечание. Если ряд сходится абсолютно, при любой перестановке его членов новый ряд будет по-прежнему сходиться и иметь ту же сумму.Если же ряд сходится условно, то всегда можно найти такую перестановку, что новый ряд будет сходиться к любому числу или даже станет расходящимся.

Для исследования абсолютной сходимости часто применяются признаки Коши и Даламбера, которые в этом случае имеют следующий вид.

Теорема (признак Даламбера). Если в ряде с положительными членами отношение последующего члена к предыдущему при имеет предел, т.е. то:

1.ряд АБСОЛЮТНО сходится, при l<1,

2. ряд расходится при l>1.

Теорема (признак Коши). Если в ряде с положительными членами величина имеет предел при , т.е. то:

1. ряд АБСОЛЮТНО сходится, при l<1,

2. ряд расходится при l>1.

Примечание автора. Доказательств двух последних теорем приведены в ответах на предыдущие вопросы.

Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа.

Формула Тэйлора выглядит следующим образом:

остаточный член. Для тех значений х, которых остаточный член мал, многочлен дает приближенное значение функции f(x).

Наша задача – оценить величину остаточного члена.

где Q – некоторая функция, подлежащая определению.

Рассмотрим вспомогательную функцию от t

Найдем производную и преобразуем ее:

Заметим, что и

Подставляя, получаем:

Это – так называемая форма Лагранжа для остаточного члена.

Так как заключено между х и а, то его можно представить как

Степенные ряды.

Определение. Степенной ряд – функциональный ряд вида

где - постоянные числа (коэффициенты ряда).

Область сходимости степенного ряда всегда является некоторый интервал, который, в частности, может вырождаться в точку.

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится (расходится) при некотором значении то он абсолютно сходится (расходится) при всяком значении х, для которого

Доказательство. Так как, по предположению, числовой ряд сходится то общий член при Это значит, что существует такое положительное число М, что все члены по абсолютной величине меньше М.

Перепишем ряд в следующем виде:

Рассмотрим ряд из абсолютных величин его членов:

Члены этого ряда меньше соответствующих членов ряда

При последний ряд представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем и, следовательно, сходится. Отсюда сходится и

Это значит, что ряды и сходятся абсолютно.

___

Нетрудно будет доказать и второй случай (когда ряд расходящийся).

Доказательство. Пусть в некоторой точке ряд расходится. Тогда он будет расходиться в любой точке, удовлетворяющей условию

___

Теорема Абеля позволяет судить о расположении точек сходимости и расходимости степенного ряда. Если - точка сходимости, то весь интервал заполнен точками абсолютной сходимости и наоборот.

 

Теорема (о строении области сходимости степенного ряда). Областью сходимости степенного ряда является интервал с центром в начале координат.

Определение. Интервал сходимости степенного ряда – интервал от –R до +R, что для всякой точки х, лежащей внутри, ряд сходится, и притом абсолютно, а для точек вне интервала – ряд расходится. Число R – радиус сходимости ряда.

Отметим, что у некоторых рядом интервал сходимости вырождается в точку (R=0), у других охватывает всю ось Ох

Теорема. Степенной ряд мажорируем на любом отрезке целиком лежащем внутри интервала сходимости.

Определение. Ряд называется мажорируемым, если каждый его член по абсолютной величине не больше соотвествующего члена некоторого сходящегося числового ряда с положительными членами.

Доказательство. По условию а потому ряд (с положительными членами) сходится. Но при члены ряда по абсолютной величине не больше соответствующих членов ряда

Следовательно, ряд мажорируем на отрезке

Следствие1. На всяком отрезке, целиком лежащем внутри интервала сходимости, сумма степенного ряда есть непрерывная функция.

Это связано с тем, что члены ряда – непрерывные функции от х. Тогда и сумма этого ряда есть непрерывная функция.

Следствие2. Если пределы интегрирования лежат внутри интервала сходимости, то интеграл от суммы ряда равен сумме интегралов от членов ряда. Так как область интегрирования можно заключить в отрезок