Числовые ряды. Теоремы сравнения.

Определение. Числовой ряд – пара последовательностей и где числа - первый, второй…н-ный член ряда. - первой, второй…н-ной частичной суммой ряда.

Теорема (признак сравнения). Если члены ряда не больше соответствующих членов ряда то есть и второй ряд сходится, то сходится и первый.

Доказательство. Обозначим частичные суммы, как и Из условия следует, что

Так как второй ряд сходится, то существует предел его частичной суммы

Так как члены ряда положительны, то

Итак, мы доказали, что частичные суммы ограничены. Отсюда, они имеют предел

Очевидно, что

Аналогично: Если члены ряда не меньше соответствующих членов ряда то есть и второй ряд расходится, то расходится и первый.

Доказательство. Так как члены положительны, то частичная сумма ряда возрастает при возрастании n. Получаем

Так как то есть ряд расходится.

24. Свойства сходящихся рядов. 1. Если ряд сходится, то 2. Теорема1. Если сходится ряд, получившийся из данного ряда отбрасыванием нескольких его членов, то сходится и сам данный ряд. Обратно, если сходится данный ряд, то сходится и ряд, получившийся из данного отбрасыванием нескольких членов, т.е. на сх. ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов. Доказательство. Пусть сумма n первых членов ряда. -сумма k отброшенных членов, - сумма членов ряда, входящих в сумму и не входящих в Тогда имеем: Тогда имеем: ,где -постоянное число, не зависящее от n. Из последнего соотношения , что если ,то и , если ,то , а это и доказывает справедливость теоремы. 3. Теорема2. Если ряд сходится и его сумма =s, то ряд , где с - какое-либо фиксированное число, также сходится и его сумма=cs. Доказательство. Обозначим n-ую частичную сумму ряда через , а ряда через .Тогда Отсюда ясно, что предел n-й частичной суммы ряда , т.к. Следовательно, ряд сходится, и его сумма = cs. 4.Теорема 3. Если ряды и сходятся и их суммы равны и , то ряды и также сходятся и их суммы. Они равны + и - . Доказательство. Докажем сходимость ряда . Обозначая его n-ую частичную сумму через , а n-е частичные суммы рядов и соответственно через и , получим:

Переходя в этом равенстве к пределу при , получим .

Т.о.,ряд сходится и его сумма равна . Ряды и говорят, что они получены в результате почленного сложения (или вычитания) рядов и .

Теорема (признак Коши).

Теорема. Если в ряде с положительными членами величина имеет предел при , т.е. то:

1. ряд сходится, при l<1,

2. ряд расходится при l>1.

Доказательство. 1. Пусть l<1. Рассмотрим q, при котором

Начиная с некоторого N () выполняется неравенство

Отсюда следует, что или для всех

Рассмотрим 2 ряда:

Второй ряд сходится, так как его члены образуют убывающую геометрическую прогрессию.

2. Пусть l>1. С некоторого n=N будет иметь место неравенство или

Ряд расходится, так как его общий член не стремится к нулю (все члены больше 1).

Замечание. Как и в признаке Даламбера случай требует дополнительного исследования. Среди рядов, удовлетворяющих этому условию, могут встретиться как сходящиеся, так и расходящиеся ряды.

 

27. Теорема (признак Даламбера).

Теорема. Если в ряде с положительными членами отношение последующего члена к предыдущему при имеет предел, т.е. то:

1.ряд сходится, при l<1,

2. ряд расходится при l>1,

3. теорема не дает ответа при l=1.

Доказательство. 1. Пусть l<1. Рассмотрим q, при котором

Начиная с некоторого N () выполняется неравенство

Действительно, так как величина стремится к то разность между ними равняется

Начиная с любого N, получаем систему неравенств:

Складывая таким образом члены последовательности, приходим к выводу, что перед нами геометрическая прогрессия со знаменателем

2. Пусть l>1. Из равенства следует, что при будет иметь место неравенство Это означает, что члены ряда возрастают, поэтому ряд расходится.

Замечание1. Ряд будет расходиться и том случае, когда Это следует из неравенства

Замечание2. Если но отношение то Ряд расходится.

 

Интегральный признак сходимости.

Теорема. Пусть члены ряда положительны и не возрастают, то есть и пусть f(x) – такая непрерывная невозрастающая функция, что Тогда если несобственный интеграл сходится/расходится, то сходится/расходится и ряд.

Доказательство.

Примечание автора. Необходимы 2 графические иллюстрации.

Из первого графика очевидно

Из второго - откуда

Рассмотрим первый случай (сходится). Предположим, что интеграл сходится , то есть имеет конечное значение. Частичная сумма остается ограниченной при всех значениях n. Но при увеличении n она возрастает, так как все члены положительны. Следовательно, ряд сходится.

Рассмотрим второй случай (расходится). Предположим, что Это значит, что при возрастании n неограниченно возрастает интеграл Тогда в силу неограниченно возрастает. Следовательно, ряд расходится.

Замечание. Ни признак Даламбера, ни признак Коши не решают вопроса о сходимости этого ряда, так как предел равен единице.