Универсальная тригонометрическая замена.

Применяется для

Выражаем затем через тригонометрические формулы выражаем значения синуса и косинуса:

Примечание. Если тригонометрические функции в четных степенях, проще делать замену:

 

Интегрирование тригонометрических функций.

а. m-нечетное =>

б. n-нечетное =>

в. m и n-четные => формулы понижения степени.

 

Несобственные интегралы от неограниченной функции. Свойства.

Определение. Если существует конечный предел то этот предел называют несобственным интегралом от функции на промежутке и обозначают так

Пусть определена и непрерывна при а при функция либо не определена, либо терпит разрыв. В этом случае нельзя говорить об интеграле как о пределе интегральных сумм, так как непрерывна на отрезке поэтому предел может и не существовать.

Интеграл от функции, терпящей разрыв в точке c, определяется следующим образом:

Если предел, стоящий справа, существует, то интеграл несобственный сходящийся, иначе расходящийся.

Если функция имеет разры в левом конце отрезка то по определению

Если разрыв в некоторой точке (внутри отрезка), то полагают (если оба стоящих справа интеграла существуют).

Замечание. Если функция. определенная на отрезке имеет внутри отрезка конечное число точек разрыва то интеграл определяется так: (если каждый из интегралов в правой части сходится). Если же хотя бы один из них расходится, то - расходящийся.

Для определения сходимости несобственных интегралов от различных функций могут быть применены теоремы, аналогичные теоремам для оценки интегралов с бесконечными пределами.

Теорема1. Если на отрезке функции и разрывны в точке с, причем во всех точках выполняется и если сходится, то сходится и

Теорема2. Если на отрезке функции и разрывны в точке с, причем во всех точках выполняется и если расходится, то расходится и

Теорема3. Если - функция знакопеременная на отрезке разрывная только в точке с, и несобственный интеграл от абсолютной величины этой функции сходится, то сходится также интеграл от самой функции.

_________________________________________

В качестве функции, с которыми сравнивают функции под знаком интеграла, часто берут (при интеграл сходится, при расходится).

 

 

Интеграл, зависящий от параметра.

Определение. Функция называется интегралом, зависящим от параметра

При изменении параметра меняется значение интеграла. Это и доказывает, что интеграл, зависящий от параметра – функция.

Доказательство. Предположим, что и есть непрерывные функции. Найдем производную по параметру х.

А это и есть

Или все это можно представить в другой форме – формула Лейбница

Гамма-функция.

Определение. Функция на промежутке

Интеграл, определяющий гамма-функцию, несобственный по бесконечному промежутку. При подынтегральная функция терпит разрыв при

Теорема. Гамма-функция определена и непрерывна для любых

Доказательство. Разобьем интеграл на сумму двух интегралов:

Рассмотрим Для любого существует что Тогда для любого и для любого x из окрестности выполняется неравенство

Функция интегрируема на этом отрезке. Следовательно, для любого интеграл сходится и функция непрерывна при любом

Рассмотрим Из формулы Тэйлора с остаточным членом в форме Лагранжа:

При для любого Подберем n так, чтобы Значит при справедливо неравенство

Функция интегрируема на отрезке. Следовательно, при любом интеграл сходится и функция непрерывна при любом

____

Имеют место следующие утверждения:

1. При любом неотрицательном х

Доказывается интегрированием по частям.

2.

3. При любом натуральном n

4.

Нахождение площади в декартовых координатах.

Если на отрезке [a,b] функция то площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой осью Ох и прямыми х=а, х=b.

Если

Если функция меняет знак на отрезке, то интеграл по всему отрезку разбиваем на сумму интегралов по частичным отрезкам.

Примечание автора. Обязательны 2 графические иллюстрации.

Если нужно вычислить площадь области, ограниченной кривыми х=а, х=b, будем иметь:

Кривая может быть задана уравнениями в параметрической форме