Свойство2. Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых.

Доказательство.

Свойство3. Если на отрезке [a,b], где а<b, функции f(x) и j(х) удовлетворяют условию то

Доказательство. Рассмотрим разность

Каждая разность

Сл-но, неотрицательно каждое слагаемое, неотрицательны вся сумма и весь предел.

Свойство4. Если m и М – наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a,b] и то

Доказательство. По условию

Подставляя 2 последние выражения в неравенство получаем исходное неравенство.

Свойство5 (теорема о среднем). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то на этом отрезке найдется такая точка что справедливо равенство:

Доказательство. Пусть a<b, m – наименьшее значение функции, М – наибольшее значение f(x) на отрезке [a,b]. Тогда получаем

Отсюда где

Так как функция непрерывна на отрезке, то она принимает все промежуточные значения, заключенные между m и М. Следовательно, при некотором значении будет то есть

Примечание автора. Доказательство приведено и в одном из следующих вопросов.

Свойство6. Для любых трех чисел a,b,c справедливо равенство если все эти три интеграла существуют.

Доказательство. Допустим сначала, что и составим интегральную сумму для функции f(x) на отрезке [a,b].

Так как предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения отрезка, будем разбивать отрезок так, чтобы точка с была точкой деления. Тогда

Переходя к пределу при получим исходное соотношение.

Если на основании доказанного или

Поэтому имеем

Аналогично доказывается это свойство при любом взаимном расположении трех точек.

Свойство определенного интеграла – теорема о среднем. Обобщенная теорема о среднем.

Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то на этом отрезке найдется такая точка что справедливо равенство:

Доказательство. Пусть a<b, m – наименьшее значение функции, М – наибольшее значение f(x) на отрезке [a,b]. Тогда получаем

Отсюда где

Так как функция непрерывна на отрезке, то она принимает все промежуточные значения, заключенные между m и М. Следовательно, при некотором значении будет то есть

Геометрический смысл теоремы. Величина определенного интеграла при f(x) ³ 0 равна площади прямоугольника, имеющего высоту f(c) и основание (b–a).

Обобщенная теорема о среднем. Если функции f(x) и j(x) непрерывны на отрезке

[a,b], и функция j(х) знакопостоянна на нем, то на этом отрезке существует точка

e, такая, что

Замена переменной в определенном интеграле.

Теорема. Пусть f(x) – непрерывная функция на отрезке а

Если выполняются условия: и непрерывны на отрезке а определена на этом отрезке, то

Доказательство.

Из равенства правых частей следует равенство левых.

Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Теорема. Если функции u и v непрерывно дифференцируемы на отрезке [a,b], справедливо равенство

Доказательство. Так как функции u и v дифференцируемы, получаем

Это можно записать как Отсюда,

Определенный интеграл с переменным верхним пределом.

Определение. Пусть функция f непрерывна на отрезке [a,b]. Функция - интеграл с переменным верхним пределом.

Теорема. Функия F непрерывна на отрезке [a,b].

Доказательство. Пусть тогда

Пусть М-верхняя граница f(x), тогда при х>x₀ получаем Или при х>x₀:

Следовательно, Т.е. функция непрерывна в точке х₀.

 

Теорема Барроу. Производная от интеграла от непрерывной функции по переменному верхнему пределу существует и равна значению подынтегральной функции в точке, равной верхнему пределу.

Вторая формулировка. Пусть х₀ – точка непрерывности функции, тогда существует или, иначе,

Доказательство. Можно выбрать так, что на интервале функция будет непрерывна. Возьмем произвольное значение х из данного интервала. с лежит между х и х0.

Следовательно,

Формула Ньютона-Лейбница.

Примечание автора. Необходимо отметить, что ни у Ньютона, ни у Лейбница не было такой формулы в точном виде. Важно именно то, что именно Лейбниц и Ньютон впервые установили связь между интегрированием и дифференцированием, позволяющую создать правило для вычисления определенных интегралов.

Доказательство. Пусть F(x) – некоторая первообразная от f(x). Функция есть также первообразная от f(x). Две любые первообразные от данной функции отличаются на константу С. Тогда получаем

Это равенство при соответствующем выборе С* справедливо при всех значениях х, т.е. является тождеством. Для определения постоянного С* положим в этом тождестве х=а, тогда

Следовательно, Полагая х=b, получаем формулу Ньютона-Лейбница.

Также отметим, что разность не зависит от выбора первообразной F, так как константа при вычитании все равно уничтожается.

Интеграл ошибок.

Интеграл определяется формулой:

Укажем некоторые свойства функции Ф(х):

1.Функция определена при всех значениях х.

2. Ф(0)=0.

3.

4. Функция монотонно возрастает на

5. Функция нечетная,

График функции.

Примечание автора. Обязательна графическая иллюстрация.

 

 

Составлены подробные таблицы значений этой функции.