I.Функции нескольких переменных

ЧАСТЬ II

I.Функции нескольких переменных

Функции одной переменной не охватывают все зависимости существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести понятие функции нескольких переменных. В качестве примера функций нескольких переменных будем рассматривать функцию двух переменных, т.к. основные особенности таких многоаргументных зависимостей вполне проявляются и в этом случае.

Функция двух переменных

Пусть задано множество D упорядоченных пар чисел (х;у),и соответственно f, которое каждой паре чисел (х;у) сопоставляет только одно число Z, f =Z называется функция двух переменных определенной на множество D и записывается в виде Z= f(х;у). При этом х и у называются независимыми переменными (аргументами),а Z зависимой переменной (функцией)., множество D – называется областью определения функции. Примером такой функции может служить площадь прямоугольника , треугольника и т.д.

Функция двух переменных, как и функции одной переменной может быть задана разными способами (табличный, графический и аналитический). Мы, как правило, будем пользоваться аналитическим способом, когда функция задается с помощью формулы.

1. Предел функции

Это понятие вводится аналогично случаю одной переменной. Для этого надо ввести понятие окрестности точки, (δ-окрестность точки М₀(х₀,у₀)). Это будут все внутренние точки круга с центром в М₀ и радиусом δ. Итак, пусть f(х; у) =.Z определена в некоторой окрестности точки М₀(х₀,у₀), кроме, может быть, этой самой точки. Число А называется пределом Z= f(х; у) при х→х₀ и у→у₀, если для любого >0 существует δ>0, такое, что для всех х≠х₀ и у≠у₀ удовлетворяющих неравенству <δ выполняется неравенство │f(x,y)-A│< . Записывают: или

 

1. Непрерывность функции двух переменных

Z= f(х; у) называется непрерывной в точке М₀(х₀,у₀), если она:

а) определена в этой точке и некоторой ее окрестности.

б) имеет предел

в) этот предел равен значению функции в точке М_{0, т.е.}

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Точки, в которых непрерывность нарушается, называются точками разрыва этой функции. Точки разрыва могут образовывать целую линию разрыва. Так, функция имеет линию разрыва у=х.

1. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных

а) частные производные первого порядка.

Пусть задана функция Z= f(х; у). Т.к. х и у – независимые переменные, то одна из них может меняться, а вторая сохранять свое значение. Дадим х приращение ∆х, сохраняя у=const. Тогда ∆_хZ=f(x+∆x,y)-f(x,y). Аналогично получим ∆_у Z=f(х,у+∆у)- f(x,y). Полное приращение функции ∆Z=f(x+∆x,у+∆y)-f(x,y). Если существует предел , то он называется частной производной функции Z= f(х;у) в точке М(х;у) по переменной х и обозначается Z′_x, ; . Аналогично определяется и частная производная по у Z′= . Все частные производные находятся по формулам и правилам, полученным раннее для функций одной переменной и при условии, что или х или у – считаются const.

1. Частные производные высших порядков

Если Z= f(х;у) имеет частные производные и и они являются функциями от (х,у), то их можно продифференцировать и получить частные производные второго порядка Z″_xx; Z″_xy; Z″_yx и Z″_yy; аналогичным образом можно ввести и определить частные производные 3, 4 и т.д. порядков. Частные производные, взятые по различным переменным, называются смешанными частными производными. Это Z″_xy и Z″_yx.

Теорема. Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой, т.е. Z″xy=Z″_yx.

1. Дифференцируемость и полный дифференциал функции

Пусть Z= f(х;у) определена в некоторой окрестности точки М(х;у) полное приращение ∆Z=f(x+∆x,у+∆у)-f(x,y). Z= f(х;у) называется дифференцируемой в М(х;у), если ее полное приращение можно представить в виде: ∆Z=А∆х+В∆у+α∆х+β∆у, где α= α(∆х,∆у)→0 и β= β(∆х,∆у)→0 при ∆х→0, ∆у→0. Сумма двух первых слагаемых представляет собой главную часть приращения функции. Главная часть приращения функции, линейная относительно ∆х и ∆у, называется полным дифференциалом функции и обозначается символом dZ=A∆x+B∆y. Выражения A∆x и B∆y называются частными дифференциалами. Для независимых переменных х и у полагают ∆x=dx, ∆y=dy. Поэтому dZ=Adx+Bdy.

Теорема 1. (необходимое условие дифференцирования функции). Если Z= f(х;у) дифференцируема в точке М(х;у), то она непрерывна в этой точке и имеет в ней частные производные и , причем =А; =В.

Таким образом, можно записать dZ= dx+ dy или dZ=d_х Z+ d_уZ.

Теорема 2. Если Z= f(х; у) имеет непрерывные частные производные Z′_х и Z′_у в точке М (х;у), то она дифференцируема в этой точке и ее полный дифференциал выражается формулой записанной выше.

Чтобы функция Z= f(х; у) была дифференцируема в точке, необходимо чтобы она имела в ней частные производные и достаточно чтобы она имела в точке непрерывные частные производные.

Арифметические свойства правила исчисления дифференциалов функции одной переменной сохраняются и в случае дифференциалов функции двух и более переменных.

1. Дифференциалы высших порядков

Полный дифференциал называется дифференциалом первого порядка. Пусть Z= f(х;у) имеет непрерывные частные производные второго порядка. Дифференциал второго порядка в этом случае определяется по формуле . Найдем ее d² Z= d( dx+ dy)= ( dx+ dy)_х′ dx+( dx+ dy)_у′ dу=( dx+ dy) dx+( dx+ dy)dу, отсюда d² Z= dx²+2 dx dy+ dy². Символически это можно записать так: d² Z=()²Z. Аналогично можно получить формулу

d³ Z= d (d² Z)==()³Z, а для dⁿ Z=()ⁿZ. Все эти соотношения справедливы лишь в случае, если переменные х и у функции Z= f(х;у) являются независимыми.

1. Производная сложной функции. Полная производная

Пусть Z= f(х;у) – функция двух переменных х и у, каждая из которых является функцией независимой переменной t (х=х(t),у=у(t)). В этом случае Z= f(х(t);у(t)) является сложной функцией одной независимой переменной t, а переменные х и у – являются промежуточными переменными.

Теорема. Если Z= f(х;у) дифференцируема в точке М(х,у) и х=х(t),у=у(t) – дифференцируемые функции независимой переменной t, то производная сложной функции Z(t)= f(х(t);у(t)) вычисляется по формуле .

Доказательство. Дадим независимой t приращение ∆t. Тогда х=х(t) и у=у(t) получат приращения ∆х и ∆у соответственно. Они в свою очередь вызовут приращение ∆Z функции Z. Так как Z= f(х;у) по условию дифференцируемая в М(х,у), то ее полное приращение равно ∆Z= , где α→0 β →0 при ∆х→0 и ∆у→0. Разделим ∆Z на ∆t и перейдем к пределу ∆t→0, тогда ∆х→0 и ∆у→0 в силу непрерывности функций х=х(t); у=у(t) получаем: , т.е. . Ч.т.д.

8.Инвариантность формы полного дифференциала

Используя правила дифференцирования сложной функции, можно показать, что полный дифференциал обладает свойством инвариантности, т.е. сохраняет один и тот же вид, независимо от того являются ли аргументы независимыми переменными или функциями независимых переменных.

Пусть Z= f(х;у), где x, y – независимые переменные, тогда полный дифференциал (1^ого порядка) имеет вид dZ=

Рассмотрим сложную функцию Z= f(х; у), где x=x(u, ), y=y(u, ), т.е. функция

Z= f(x(u, ), y(u, ))=F(u, ), где u, - независимые переменные. Тогда имеем:

 

dZ= = =()du+()d =

Выражения в скобках представляют собой полные дифференциалы dx и dy функции x=x(u, ) и y=y(u, ). Следовательно, dZ=

1. Дифференцирование неявной функции

Функция Z= f(х; у) называется неявной, если она задается уравнением F(x,y,z)=0 неразрешенным относительно Z. Найдем частные производные функции Z заданной неявно. Для этого подставив в уравнение вместо Z функцию f(х;у) получим тождество F(x,y, f(х,у))=0. Частные производные по x и y функции, тождественно равной нулю, также равны нулю.

F(x, y, f (х, у)) = =0 (y считаем постоянным)

F(x, y, f (х, у)) = =0 (x считаем постоянным)

Откуда и

Пример: Найти частные производные функции Z заданной уравнением .

Здесь F(x,y,z)= ; ; ; . По формулам приведенным выше имеем:

и

1. Производная по направлению

Пусть функция двух переменных Z= f(x; у) задана в некоторой окрестности т. М (x, y). Рассмотрим некоторое направление, определяемое единичным вектором , где (см. рис.1).

На прямой, проходящей по этому направлению через т. М возьмем т. М₁ () так, что длина отрезка MM₁ равна . Приращение функции f(M) определяется соотношением , где связаны соотношениями . Предел отношения при будет называться производной функции в точке по направлению и обозначаться = . M₁

Рис. 1

Если функция Z дифференцируема в точке , то ее приращение в этой точке с учетом соотношений для может быть записано в следующей форме.

поделив обе части на

и переходя к пределу при получим формулу для производной функции Z= f(х; у) по направлению:

1. Градиент

Рассмотрим функцию трех переменных , дифференцируемую в некоторой точке .

Градиентом этой функции в точке М называется вектор, координаты которого равны соответственно частным производным в этой точке. Для обозначения градиента используют символ . = .

.Градиент указывает направление наибыстрейшего роста функции в данной точке.

Поскольку единичный вектор имеет координаты (), то производная по направлению для случая функции трех переменных записывается в виде , т.е. имеет формулу скалярного произведения векторов и . Перепишем последнюю формулу в следующем виде:

, где - угол между вектором и . Поскольку , то отсюда следует, что производная функции по направлению принимает max значение при =0, т.е. когда направление векторов и совпадают. При этом , т.е., на самом деле градиент функции характеризует направление и величину максимальной скорости возрастания этой функции в точке.

 

1. Экстремум функции двух переменных

Понятия max, min, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной переменной. Пусть функция Z= f(x; у) определена в некоторой области D и т. М принадлежит к этой области. Точка М называется точкой max функции Z= f(x; у), если существует такая δ-окрестность точки , что для каждой точки из этой окрестности выполняется неравенство . Аналогичным образом определяется и точка min, только знак неравенства при этом изменится . Значение функции в точке max (min) называется максимумом (минимумом). Максимум и минимум функции называются экстремумами.

 

1. Необходимые и достаточные условия экстремума

Теорема: (Необходимые условия экстремума). Если в точке М дифференцируемая функция Z= f(x; у) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: , .

Доказательство: зафиксировав одну из переменных x или y, превратим Z= f(x; у) в функцию одной переменной, для экстремума которой вышеописанные условия должны выполняться. Геометрически равенства и означают, что в точке экстремума функции Z= f(x; у), касательная плоскость к поверхности, изображающую функцию f(x,y)=Z параллельна плоскости OXY, т.к. уравнение касательной плоскости есть Z=Z_0. Точка, в которой частные производные первого порядка функции Z= f(x; у) равны нулю, т.е. , , называются стационарной точкой функции. Функция может иметь экстремум в точках, где хотя бы одна из частных производных не существует. Например Z=|- | имеет max в точке O(0,0), но не имеет в этой точке производных.

Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками. В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума. Например, при Z=xy точка O(0,0) является критической. Однако экстремума в ней функция Z=xy не имеет. (Т.к. в I и III четвертях Z>0, а в II и IV – Z<0). Таким образом для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо подвергнуть каждую критическую точку функции дополнительному исследованию.

Теорема: (Достаточное условие экстремумов). Пусть в стационарной точке и некоторой окрестности функция f(x; у) имеет непрерывные частные производные до 2^ого порядка включительно. Вычислим в точке значения , и . Обозначим

Тогда:

1) если , то f(x; у) в точке имеет экстремум max, если А<0 и min, если А>0.

2) если , то f(x; у) в точке экстремума не имеет.

В случае если , экстремум в точке может быть, а может и не быть. Необходимы дополнительные исследования.

 

II. Неопределенный интеграл

1. Понятие неопределенного интеграла

В дифференцируемом исчислении мы решали задачу как по данной функции f(x) найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти функцию F(x), зная ее производную (или дифференциал). Искомую функцию F(x) называют первообразной функции f(x).

F(x) – называется первообразной функции f(x) на интервале (a, b), если для любого выполняется равенство (или .

Например, первообразной функции является функция , так как .

Очевидно, что первообразными будут также любые функции , где С – постоянная, поскольку .

Теорема 1. Если F(x) является первообразной функции f(x) на , то множество всех первообразных для f(x) задается формулой , где С – постоянное число.

Док-во. Функция - первообразная f(x). Действительно, . Пусть некоторая другая отличная от первообразная функции , т.е. = . Тогда для любого имеем , а это означает, что , где С - . Следовательно, .

Множество всех первообразных функций для называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом . Таким образом = .

Здесь - называется подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования, - знаком неопределенного интеграла. Операция нахождения неопределенного интеграла – интегрированием этой функции.

 

Таблица основных неопределенных интегралов

Пользуясь тем, что интегрирование есть действие, обратное дифференцированию, можно получить таблицу основных интегралов путем обращения соответствующих формул дифференциального исчисления (таблица дифференциалов) и использования свойств неопределенного интеграла. Например:

т.к. , то .

Ниже приводимый список интегралов называется табличным. Необходимо отметить, что в приводимой ниже таблице переменная интегрирования может обозначать как независимую переменную, так и функцию от независимой переменной.

Таблица основных интегралов.

 

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

В справедливости приведенных выше формул можно убедиться, взяв дифференциал правой части, который будет равен подынтегральному выражению в левой части формулы.

Работа переменной силы

Пусть материальная точка перемещается под действием силы F, направленной вдоль оси OX и имеющей переменную величину . Найдем работу по перемещению точки М на . . Для определения приближенного значения работы на всем участке , нам надо произвести суммирование на всем отрезке.

.

Точность этого равенства возрастает с уменьшением и увеличением n. Поэтому за точное значение работы принимается предел этой суммы

.

Формулы Ньютона-Лейбница

Пусть - функция, интегрируемая на .

Теорема: Если - непрерывна на отрезке и ее первообразная на отрезке ( = ), то имеет место соотношение .

Доказательство:

Для этого отрезок разделим точками на n отрезков. Введем средние точки для каждого из отрезков . Рассмотрим соотношение .

Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранжа .

Получим: ,

т.е. . Т.к. непрерывна на , то она интегрируема на , поэтому перейдя к пределу при . Получим:

.

Формула Ньютона-Лейбница позволяет получить удобный способ вычисления определенных интегралов. Чтобы вычислить определенный интеграл от неправильной функции на отрезке надо найти ее первообразную функцию и взять разность значений этой первообразной на концах отрезка .

Пример:

.

 

Несобственные интегралы

Определенный интеграл , где промежуток интегрирования конечный, а подынтегральная функция непрерывна на , называется собственным. Рассмотрим так называемые несобственные интегралы, т.е. интегралы от непрерывных функций, но с бесконечным промежутком интегрирования или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв.

1) Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл 1^ого порядка).

Пусть функция непрерывна на промежутке . Если существует конечный предел ,то его называют несобственным интегралом первого порядка и обозначают . Таким образом, = .

В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится. Если же указанный предел не существует или он бесконечен, то говорят, что интеграл расходится.

Аналогичным образом определяется несобственный интеграл на промежутке . = . Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется формулой:

+ , где С – произвольное число. В этом случае интеграл слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа. Отметим, что если непрерывная функция на промежутке и интеграл сходится, то он выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции.

Пример: вычислить несобственный интеграл.

а) интеграл сходится

б) интеграл расходится, т.к. не существует.

2) Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл 2^ого рода)

Пусть функция непрерывна на и имеет бесконечный разрыв при x=b. Если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают . Таким образом, по определению

= . Если предел в правой части существует, то несобственный интеграл сходится. Если же указанный предел не существует или бесконечен, то интеграл расходится. Аналогично, если функция терпит бесконечный разрыв в точке x= a, то = . Если функция терпит разрыв во внутренней точке С отрезка , то несобственный интеграл второго рода определяется соотношением + . В этом случае интеграл слева называется сходящимся, если оба несобственных интеграла, стоящих справа, сходятся.

Пример: Вычислить , при х=0, функция терпит бесконечный разрыв.

. Следовательно, интеграл расходится.

 

 

Вычисление объема тела

а) Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений.

Пусть требуется найти объем тела V при известной площади S сечений этого тела относительно плоскости, перпендикулярной некоторой оси, например, ох; . Применим метод 2.

Через произвольную точку проведем плоскость , перпендикулярную оси ох. Обозначим через площадь сечения тела этой плоскостью. считаем известной и изменяющейся непрерывно при изменении . Через v обозначим объем части тела, лежащие левее плоскости . Будем считать, что на отрезке величина v есть функция от , т.е. v = v (x)(v ()=0, v ()=v. Теперь найдем дифференциал функции v = v (x). Он представляет собой слой тела, заключенного между параллельными плоскостями, пересекающими ось в точках и , который можно приближено принять за цилиндр с основанием и высотой (рис.5). поэтому дифференциал объема . Тогда для нахождения полного объема это соотношение надо проинтегрировать в пределах от до .

- полученная формула называется формулой объема тела по площади параллельных сечений.

Пример: Найти объем эллипсоида . Если эллипсоид рассечен плоскостью, параллельной плоскости и на расстоянии