Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Неопределенный интеграл и методы его вычисленияСтр 1 из 2Следующая ⇒
Неопределенный интеграл и методы его вычисления
Основные свойства неопределённого интеграла и правила интегрирования Для решения задачи нахождения по заданной производной самой функции служит операция интегрирования функций, являющаяся обратной по отношению к операции дифференцирования. Дифференцируемая на некотором промежутке функция называется первообразной для функции , определенной на том же промежутке, если для каждого числа выполняется равенство: . (1.1) Теорема. Если функция является первообразной для функции на множестве , то совокупность всех первообразных для на этом множестве состоит из функций , где С - произвольная постоянная. Доказательство. 1) Так как , (1.2) то при любом выборе постоянной С функция является первообразной для . 2) Пусть - произвольная первообразная для функции , т.е. , . (1.3) Рассмотрим функцию . (1.4) Имеем: на множестве Х. В силу теоремы Лагранжа о конечных приращениях функция является постоянной: . Следовательно, . (1.5) Неопределенным интегралом от непрерывной функции , заданной на Х, называется множество всех первообразных для функции , определенных на этом множестве Х. Обозначается: . Читается: «интеграл от икс дэ икс». По определению , . (1.6) Обычно фигурные скобки в правой части опускают и записывают (1.6) в виде: , (1.7) считая С произвольной постоянной. Функция называется подынтегральной функцией, а дифференциал (1.8) - подынтегральным выражением. Знак называется знаком неопределенного интеграла, а переменная переменной интегрирования. Из (1.7) непосредственно следует: , , . (1.9) Теорема. Справедливы следующие правила интегрирования функций: (1.10) , (1.11) , (1.12) . (1.13) Доказательство. Дифференцируя левые и правые части этих равенств с учетом формул (1.9), приходим к одинаковому результату. Действительно, 1) 2) , ; 3) , ; 4) , , , . Правило (1.12) называется правилом «замены переменных», правило (1.13) называется правилом «интегрирования по частям».
Таблица основных формул интегрирования
Таблица неопределенных интегралов
Для доказательства правильности формул таблицы достаточно продифференцировать обе её части с использованием свойств неопределённого интеграла и формул дифференцирования и убедится в совпадении результатов.
Рассмотрим несколько примеров. №1. . №2. . №3. . №4. . №5. . №6. . №7. . №8. . №9. Вычисляем . Получаем: . Следовательно, , т.е. . №10. , где - многочлен степени с действительными коэффициентами . Используя правила (1.10), (1.11) и таблицу (1.14), находим: . (2.1)
Определённый интеграл. Формула Ньютона-Лейбница Замена переменных в определённом интеграле
Пусть дан интеграл , где – непрерывная функция на отрезке . Введем новую переменную в соответствии с формулой . Тогда если 1) , 2) функции и непрерывны на отрезке 3) функция определена на отрезке , то . Тогда Пример. При замене переменной в определенном интеграле следует помнить о том, что вводимая функция (в рассмотренном примере это функция sin) должна быть непрерывна на отрезке интегрирования. В противном случае формальное применение формулы приводит к абсурду. Пример. , с другой стороны, если применить тригонометрическую подстановку, , т. е. два способа нахождения интеграла дают различные результаты. Это произошло из-за того, что не был учтен тот факт, что введенная переменная имеет на отрезке интегрирования разрыв (в точке ). Поэтому в данном случае такая подстановка неприменима. При замене переменной в определенном интеграле следует внимательно следить за выполнением перечисленных выше условий.
Интегрирование по частям определённого интеграла
Если функции и непрерывны на отрезке вместе со своими производными, то справедлива формула интегрирования по частям: Вывод этой формулы абсолютно аналогичен выводу формулы интегрирования по частям для неопределенного интеграла, который был весьма подробно рассмотрен выше.
Формула прямоугольников
Если известны значения функции в некоторых точках , то в качестве функции аппроксимирующей можно взять многочлен степени не выше , значения которого в выбранных точках равны значениям функции f(x) в этих точках. . Разобьем отрезок интегрирования на равных частей и положим . При этом:
, …., . Составим суммы ; - соответственно нижнюю и верхнюю интегральные суммы. Первая соответствует вписанной ломаной, вторая – описанной. Тогда или - любая из этих формул может применяться для приближенного вычисления определенного интеграла и называется общей формулой прямоугольников.
Формула трапеций
Эта формула является более точной по сравнению с формулой прямоугольников. Подынтегральная функция в этом случае заменяется на вписанную ломаную.
y
a b x Геометрически площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей вписанных трапеций. Очевидно, что чем больше взять точек разбиения интервала, тем с большей точностью будет вычислен интеграл. Площади вписанных трапеций вычисляются по формулам: ; . После приведения подобных слагаемых получаем формулу трапеций:
Формула парабол (формула Симпсона или квадратурная формула).
Разделим отрезок интегрирования на четное число отрезков . Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции заменим на площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой второй степени с осью симметрии, параллельной оси Оу и проходящей через точки кривой, со значениями , , . Для каждой пары отрезков построим такую параболу.
0 х
Уравнения этих парабол имеют вид , где коэффициенты могут быть легко найдены по трем точкам пересечения параболы с исходной кривой. (6.1) Обозначим . . Если принять , то (6.2) Тогда уравнения значений функции (6.1) имеют вид: C учетом этого: . Отсюда уравнение (6.2) примет вид: . Тогда Складывая эти выражения, получаем формулу Симпсона: . Чем больше взять число , тем более точное значение интеграла будет получено.
Пример. Вычислить приближенное значение определенного интеграла с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. По формуле Симпсона получим:
Точное значение этого интеграла – 91.173. Как видно, даже при сравнительно большом шаге разбиения точность полученного результата вполне удовлетворительная. Для сравнения применим к этой же задаче формулу трапеций. Формула трапеций дала менее точный результат по сравнению с формулой Симпсона. Кроме вышеперечисленных способов, можно вычислить значение определенного интеграла с помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд. Принцип этого метода состоит в том, чтобы заменить подынтегральную функцию по формуле Тейлора и почленно проинтегрировать полученную сумму. Пример. С точностью до 0,001 вычислить интеграл . Так как интегрирование производится в окрестности точки , то можно воспользоваться для разложения подынтегральной функции формулой Маклорена. Разложение функции имеет вид: . Зная разложение функции легко найти функцию : . Теперь представим в виде ряда подынтегральное выражение: . Теперь представим наш интеграл в виде: . Применим теорему о почленном интегрировании ряда. (Т.е. интеграл от суммы будет представлен в виде суммы интегралов членов ряда).
Вообще говоря, со строго теоретической точки зрения для применения этой теоремы надо доказать, что ряд сходится равномерно на отрезке интегрирования . Таким образом Получаем: Как видно, абсолютная величина членов ряда очень быстро уменьшается, и требуемая точность достигается уже при третьем члене разложения. Более точное значение этого интеграла: 0,2482725418… Пример. - не существует. Несобственный интеграл расходится. Пример. - интеграл сходится
Неопределенный интеграл и методы его вычисления
Основные свойства неопределённого интеграла и правила интегрирования Для решения задачи нахождения по заданной производной самой функции служит операция интегрирования функций, являющаяся обратной по отношению к операции дифференцирования. Дифференцируемая на некотором промежутке функция называется первообразной для функции , определенной на том же промежутке, если для каждого числа выполняется равенство: . (1.1) Теорема. Если функция является первообразной для функции на множестве , то совокупность всех первообразных для на этом множестве состоит из функций , где С - произвольная постоянная. Доказательство. 1) Так как , (1.2) то при любом выборе постоянной С функция является первообразной для . 2) Пусть - произвольная первообразная для функции , т.е. , . (1.3) Рассмотрим функцию . (1.4) Имеем: на множестве Х. В силу теоремы Лагранжа о конечных приращениях функция является постоянной: . Следовательно, . (1.5) Неопределенным интегралом от непрерывной функции , заданной на Х, называется множество всех первообразных для функции , определенных на этом множестве Х. Обозначается: . Читается: «интеграл от икс дэ икс». По определению , . (1.6) Обычно фигурные скобки в правой части опускают и записывают (1.6) в виде: , (1.7) считая С произвольной постоянной. Функция называется подынтегральной функцией, а дифференциал (1.8) - подынтегральным выражением. Знак называется знаком неопределенного интеграла, а переменная переменной интегрирования. Из (1.7) непосредственно следует: , , . (1.9) Теорема. Справедливы следующие правила интегрирования функций: (1.10) , (1.11) , (1.12) . (1.13) Доказательство. Дифференцируя левые и правые части этих равенств с учетом формул (1.9), приходим к одинаковому результату. Действительно, 1) 2) , ; 3) , ; 4) , , , . Правило (1.12) называется правилом «замены переменных», правило (1.13) называется правилом «интегрирования по частям».
Таблица основных формул интегрирования
Таблица неопределенных интегралов
Для доказательства правильности формул таблицы достаточно продифференцировать обе её части с использованием свойств неопределённого интеграла и формул дифференцирования и убедится в совпадении результатов. Рассмотрим несколько примеров. №1. . №2. . №3. . №4. . №5. . №6. . №7. . №8. . №9. Вычисляем . Получаем: . Следовательно, , т.е. . №10. , где - многочлен степени с действительными коэффициентами . Используя правила (1.10), (1.11) и таблицу (1.14), находим: . (2.1)
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-19; просмотров: 1360; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 52.90.50.252 (0.186 с.) |