Неопределенный интеграл и методы его вычисления

Неопределенный интеграл и методы его вычисления

1. Первообразная функция и неопределённый интеграл

Основные свойства неопределённого интеграла и правила интегрирования

Для решения задачи нахождения по заданной производной самой функции служит операция интегрирования функций, являющаяся обратной по отношению к операции дифференцирования.

Дифференцируемая на некотором промежутке функция называется первообразной для функции , определенной на том же промежутке, если для каждого числа выполняется равенство:

. (1.1)

Теорема. Если функция является первообразной для функции на множестве , то совокупность всех первообразных для на этом множестве состоит из функций , где С - произвольная постоянная.

Доказательство. 1) Так как

, (1.2)

то при любом выборе постоянной С функция является первообразной для .

2) Пусть - произвольная первообразная для функции , т.е.

, . (1.3)

Рассмотрим функцию

. (1.4)

Имеем:

на множестве Х. В силу теоремы Лагранжа о конечных приращениях функция является постоянной: . Следовательно,

. (1.5)

Неопределенным интегралом от непрерывной функции , заданной на Х, называется множество всех первообразных для функции , определенных на этом множестве Х.

Обозначается: . Читается: «интеграл от икс дэ икс». По определению

, . (1.6)

Обычно фигурные скобки в правой части опускают и записывают (1.6) в виде:

, (1.7)

считая С произвольной постоянной.

Функция называется подынтегральной функцией, а дифференциал

(1.8)

- подынтегральным выражением. Знак называется знаком неопределенного интеграла, а переменная переменной интегрирования.

Из (1.7) непосредственно следует:

, , . (1.9)

Теорема. Справедливы следующие правила интегрирования функций:

(1.10)

, (1.11)

, (1.12)

. (1.13)

Доказательство. Дифференцируя левые и правые части этих равенств с учетом формул (1.9), приходим к одинаковому результату. Действительно,

1)

2) , ;

3) , ;

4) , , ,

.

Правило (1.12) называется правилом «замены переменных», правило (1.13) называется правилом «интегрирования по частям».

 

Таблица основных формул интегрирования

 

Таблица неопределенных интегралов

 

Для доказательства правильности формул таблицы достаточно продифференцировать обе её части с использованием свойств неопределённого интеграла и формул дифференцирования и убедится в совпадении результатов.

Рассмотрим несколько примеров.

№1.

.

№2.

.

№3.

.

№4. .

№5.

.

№6.

.

№7.

.

№8.

.

№9.

Вычисляем

.

Получаем:

.

Следовательно,

, т.е. .

№10. , где - многочлен степени с действительными коэффициентами . Используя правила (1.10), (1.11) и таблицу (1.14), находим:

. (2.1)

 

Определённый интеграл. Формула Ньютона-Лейбница

Замена переменных в определённом интеграле

 

Пусть дан интеграл , где – непрерывная функция на отрезке .

Введем новую переменную в соответствии с формулой . Тогда если

1) ,

2) функции и непрерывны на отрезке

3) функция определена на отрезке , то

.

Тогда

Пример.

При замене переменной в определенном интеграле следует помнить о том, что вводимая функция (в рассмотренном примере это функция sin) должна быть непрерывна на отрезке интегрирования. В противном случае формальное применение формулы приводит к абсурду.

Пример.

, с другой стороны, если применить тригонометрическую подстановку,

,

т. е. два способа нахождения интеграла дают различные результаты. Это произошло из-за того, что не был учтен тот факт, что введенная переменная имеет на отрезке интегрирования разрыв (в точке ). Поэтому в данном случае такая подстановка неприменима. При замене переменной в определенном интеграле следует внимательно следить за выполнением перечисленных выше условий.

 

Интегрирование по частям определённого интеграла

 

Если функции и непрерывны на отрезке вместе со своими производными, то справедлива формула интегрирования по частям:

Вывод этой формулы абсолютно аналогичен выводу формулы интегрирования по частям для неопределенного интеграла, который был весьма подробно рассмотрен выше.

 

Формула прямоугольников

 

Если известны значения функции в некоторых точках , то в качестве функции аппроксимирующей можно взять многочлен степени не выше , значения которого в выбранных точках равны значениям функции f(x) в этих точках.

.

Разобьем отрезок интегрирования на равных частей и положим . При этом:

, …., .

Составим суммы ; - соответственно нижнюю и верхнюю интегральные суммы. Первая соответствует вписанной ломаной, вторая – описанной. Тогда

или -

любая из этих формул может применяться для приближенного вычисления определенного интеграла и называется общей формулой прямоугольников.

 

Формула трапеций

 

Эта формула является более точной по сравнению с формулой прямоугольников. Подынтегральная функция в этом случае заменяется на вписанную ломаную.

 

y

a b x

Геометрически площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей вписанных трапеций. Очевидно, что чем больше взять точек разбиения интервала, тем с большей точностью будет вычислен интеграл.

Площади вписанных трапеций вычисляются по формулам:

;

.

После приведения подобных слагаемых получаем формулу трапеций:

 

Формула парабол

(формула Симпсона или квадратурная формула).

 

Разделим отрезок интегрирования на четное число отрезков . Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции заменим на площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой второй степени с осью симметрии, параллельной оси Оу и проходящей через точки кривой, со значениями , , . Для каждой пары отрезков построим такую параболу.

 

 

0 х

 

Уравнения этих парабол имеют вид , где коэффициенты могут быть легко найдены по трем точкам пересечения параболы с исходной кривой.

(6.1)

Обозначим .

.

Если принять , то (6.2)

Тогда уравнения значений функции (6.1) имеют вид:

C учетом этого: .

Отсюда уравнение (6.2) примет вид: .

Тогда

Складывая эти выражения, получаем формулу Симпсона:

.

Чем больше взять число , тем более точное значение интеграла будет получено.

 

Пример. Вычислить приближенное значение определенного интеграла

с помощью формулы Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 10 частей. По формуле Симпсона получим:

m
x	-2	-1
f(x)	2.828	3.873		4.123	4.899	6.557	8.944	11.874	15.232	18.947	22.978

Точное значение этого интеграла – 91.173.

Как видно, даже при сравнительно большом шаге разбиения точность полученного результата вполне удовлетворительная.

Для сравнения применим к этой же задаче формулу трапеций.

Формула трапеций дала менее точный результат по сравнению с формулой Симпсона.

Кроме вышеперечисленных способов, можно вычислить значение определенного интеграла с помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд.

Принцип этого метода состоит в том, чтобы заменить подынтегральную функцию по формуле Тейлора и почленно проинтегрировать полученную сумму.

Пример. С точностью до 0,001 вычислить интеграл

.

Так как интегрирование производится в окрестности точки , то можно воспользоваться для разложения подынтегральной функции формулой Маклорена.

Разложение функции имеет вид:

.

Зная разложение функции легко найти функцию :

.

Теперь представим в виде ряда подынтегральное выражение:

.

Теперь представим наш интеграл в виде:

.

Применим теорему о почленном интегрировании ряда. (Т.е. интеграл от суммы будет представлен в виде суммы интегралов членов ряда).

Вообще говоря, со строго теоретической точки зрения для применения этой теоремы надо доказать, что ряд сходится равномерно на отрезке интегрирования .

Таким образом

Получаем:

Как видно, абсолютная величина членов ряда очень быстро уменьшается, и требуемая точность достигается уже при третьем члене разложения.

Более точное значение этого интеграла: 0,2482725418…

Пример.

- не существует.

Несобственный интеграл расходится.

Пример.

- интеграл сходится

 

Неопределенный интеграл и методы его вычисления

1. Первообразная функция и неопределённый интеграл

Основные свойства неопределённого интеграла и правила интегрирования

Для решения задачи нахождения по заданной производной самой функции служит операция интегрирования функций, являющаяся обратной по отношению к операции дифференцирования.

Дифференцируемая на некотором промежутке функция называется первообразной для функции , определенной на том же промежутке, если для каждого числа выполняется равенство:

. (1.1)

Теорема. Если функция является первообразной для функции на множестве , то совокупность всех первообразных для на этом множестве состоит из функций , где С - произвольная постоянная.

Доказательство. 1) Так как

, (1.2)

то при любом выборе постоянной С функция является первообразной для .

2) Пусть - произвольная первообразная для функции , т.е.

, . (1.3)

Рассмотрим функцию

. (1.4)

Имеем:

на множестве Х. В силу теоремы Лагранжа о конечных приращениях функция является постоянной: . Следовательно,

. (1.5)

Неопределенным интегралом от непрерывной функции , заданной на Х, называется множество всех первообразных для функции , определенных на этом множестве Х.

Обозначается: . Читается: «интеграл от икс дэ икс». По определению

, . (1.6)

Обычно фигурные скобки в правой части опускают и записывают (1.6) в виде:

, (1.7)

считая С произвольной постоянной.

Функция называется подынтегральной функцией, а дифференциал

(1.8)

- подынтегральным выражением. Знак называется знаком неопределенного интеграла, а переменная переменной интегрирования.

Из (1.7) непосредственно следует:

, , . (1.9)

Теорема. Справедливы следующие правила интегрирования функций:

(1.10)

, (1.11)

, (1.12)

. (1.13)

Доказательство. Дифференцируя левые и правые части этих равенств с учетом формул (1.9), приходим к одинаковому результату. Действительно,

1)

2) , ;

3) , ;

4) , , ,

.

Правило (1.12) называется правилом «замены переменных», правило (1.13) называется правилом «интегрирования по частям».

 

Таблица основных формул интегрирования

 

Таблица неопределенных интегралов

 

Для доказательства правильности формул таблицы достаточно продифференцировать обе её части с использованием свойств неопределённого интеграла и формул дифференцирования и убедится в совпадении результатов.

Рассмотрим несколько примеров.

№1.

.

№2.

.

№3.

.

№4. .

№5.

.

№6.

.

№7.

.

№8.

.

№9.

Вычисляем

.

Получаем:

.

Следовательно,

, т.е. .

№10. , где - многочлен степени с действительными коэффициентами . Используя правила (1.10), (1.11) и таблицу (1.14), находим:

. (2.1)