Свойства неопределенного интеграла.

1. 2.

3. , где с = const

4.

Отыскание неопределенного интеграла называется интегрированием функции.

Таблица основных интегралов:

1.	10.
2.	11.
3.	12.
4.	13.
5.	14.
6.	15.
7.	16.
8.	17.
9.	18.

 

Интегралы иногда можно найти с помощью непосредственного использования таблицы интегралов и основных свойств неопределенного интеграла.

Пример 1. Найти

 

Методы интегрирования

 

а) Во многих случаях интегралы можно найти путем введения новой переменной интегрирования. Этот метод называется мето­дом подстановки, или методом замены переменной. Если x=g(t), тогда справедлива следующая формула замены перемен­ной:

, так как .

Пример 2. Найдем интеграл

Необходимо ввести новую переменную t таким образом, чтобы свести данный интеграл к табличному. Обозначим t= 5 x+ 6.

Тогда x =(t- 6)/5. – замена. Следовательно, . Подставим найденные выражения в исходный интеграл:

Пример 3. Найдем интеграл:

Введем переменную t = 1 - x². Тогда можно продифференцировать

, .

Следовательно, . Подставим найденные выражения в интеграл:

б) Существует еще один метод интегрирования: интегриро­вание по частям. Если функции и(х) и v(х) определены и дифференцируемы на некотором множестве D, тогда справедлива формула интегрирования по частям: . Эта формула позволяет свести вычисление к вычислению , который иногда может оказаться более простым.

Пример 4. Найдем интеграл:

Обозначим u = x; dv = sinx dx.

Для того, чтобы воспользоваться формулой интегрирова­ния по частям, необходимо, найти du и v. Найдем: и = х, значит dи = dx; dv = sinx dx, значит

Подставим найденные значения в формулу интегрирования по частям:

Пример 5. Найдём:

Обозначим: u=x, dv=e^-x dx.

Тогда du=dx. Найдем v: v=

и, следовательно,

Таким образом, v = . Поставим найденные выражения в формулу интегрирования по частям:

Определенный интеграл

Геометрический смысл определенного интеграла.

 

Площадь криволинейной трапеции АВСD, ограниченной линиями х = а,

х = b, у = 0 находится как: , где — определенный интеграл,

а и b есть границы интегрирования.

Определенный интеграл находят с помощью формулы Ньютона— Лейбница:

, где F – первообразная для f(x).

Свойства определенного интеграла.

1. , где с = const

2.

3.

4.

Замена переменной.

, , , .

 

Площади между кривыми.

 

Рассмотрим фигуру, представляющую собой множество то­чек, ограниченных линиями: х=а, х=b, у = f₁(х), у=f₂(x) (a<b, )

Тогда площади заштрихованной фигуры вычисляется по формуле:

(1)

Пример 1. . Введем новую переменную t=2x. Тогда dt = d2x = 2dx. Следовательно, . Найдём пределы интегрирования для переменной t, т.к. , следовательно, . Таким образом:

Пример 2. Вычислим площадь фигуры, ограниченной ли­ниями: у = х², у²=х.

Вначале схематически построим графики указанных линий.

 

Нам необходимо найти площадь заштрихованной фигуры. Найдём абсциссы точек пересечения указанных линий.

 

Для этого необходимо решить систему уравнений:

Из последнего уравнения находим абсциссы точек пересечения:

Найдем указанную площадь, воспользовавшись формулой (1)

 

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной ли­ниями: у²= 2х + 1,

х - у -1= 0.

Построим схематически графики указанных линий.

Нам необходимо найти площадь заштрихованной фигуры. Найдем точки пересечения этих линий. Решим систему:

 

S = S_ABO + S_ACD + S_BOC = S_ACD + 2S_BOC =

Задания для самостоятельного решения

Неопределенный интеграл.

1.1. Найти неопределенный интеграл (интегрирование по свойствам и по таблице интегралов).

 

1.1.1) ; 1.1.2) ;

1.1.3) ; 1.1.4) ;

1.1.5) ; 1.1.6) ;

1.1.7) ; 1.1.8) ;

1.11.3) ; 1.14) ;

1.1.15) ; 1.1.16) ;

1.1.17) ; 1.1.18) ;

1.1.19) ; 1.1.20) ;

1.1.21)

1.2. Найти неопределенный интеграл (замена переменной и подстановка)

 

1.2.1) ; 1.2.2) ; 1.2.3)

1.2.4) ; 1.2.5) ; 1.2.6) ;

1.2.7) ; 1.2.8) ; 1.2.9) ;

1.2.10) ; 1.2.11) ;

Указание: в примерах 1.2.10 – 1.2.11 используется формула: (если числитель дроби есть производная от знаменателя, то интеграл равен логарифму знаменателя).

1.2.12) ; 1.2.13) ; 1.2.14) ;

1.2.15) ; 1.2.16) ; 1.2.17) ;

1.2.18) ; 1.2.19) ; 1.2.20) ;

1.2.21) ; 1.2.22) ;

 

1.3. Найти неопределенный интеграл (интегрирование по частям).

 

1.3.1) ; 1.3.2) ; 1.3.3)

1.3.4) ; 1.3.5) ; 1.3.6)

1.3.7) ; 1.3.8) ; 1.3.9)

1.3.10) ; 1.3.11) ;

 

1.4. Найти неопределенный интеграл (табличные интегралы вида:

; ; и к ним приводящиеся).

 

1.4.1) ; 1.4.2) ; 1.4.3) ;

1.4.4) ; 1.4.5) ; 1.4.6) ;

1.4.7) ; 1.4.8) ; 1.4.9) ;

1.4.10) ; 1.4.11) ; 4.12) ;

1.4.13) ; 1.4.14) ; 1.4.15) ;

1.4.16) ; 1.4.17) ; 1.4.18) ;

 

Указание: в примерах 1.4.17, 1.4.18 из подынтегральной неправильной дроби выделить целое выражение.

 

1.4.19) ; 1.4.20) ; 1.4.21) ;

1.4.22) ; 1.4.23) ; 1.4.24) ;

1.4.25) ;

 

Указание: в примерах 1.4.19-1.4.25 из квадратичного трехчлена выделить полный квадрат.

 

Определенный интеграл

2.1. Вычислить определенный интеграл

2.1.1) ; 2.1.2) ; 2.1.3) ;

2.1.4) ; 2.1.5) ; 2.1.6) ;

2.1.7) ; 2.1.8) ; 2.1.9) ;

2.1.10) .

Геометрические приложения

3.1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

 

3.1.1) y=4-x² , y=0; 3.1.2) y=x² , y=2x;

3.1.3) y=2x-x² , y=0; 3.1.4) y=3-2x-x² , y=0;

3.1.5) y=lnx , x=e, y=0.

 

3.2. Вычислить объем тела вращения

3.2.1.) Вращаем на [1; 5] вокруг Oy, Ox.

3.2.2.) Вращаем на [2; 3] вокруг Ox, Oy.