Точка условного экстремума является точкой экстремума функции

. Функция L называется функцией Лагранжа,а l— множителем Лагранжа.

6. При исследовании функции на экстремум рекомендуется пользоваться следующей схемой:

1. Найти частные производные z'_x и z'_y.

2. Решить систему уравнений , и найти критические точки функции.

3. Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в каждой критической точке и с помощью достаточного условия сделать вывод о наличии экстремумов.

4. Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

 

Пример. Найти экстремумы функции .

Решение.

1. Находим частные производные:

; .

2. Находим критические точки функции из системы

Получаем х = -2, у = 0, т.е. (-2; 0) - единственная критическая точка.

 

 

3. Находим частные производные второго порядка:

;

; .

Имеем .

В точке (-2; 0) имеем . Таким образом,

(-2; 0) — точка минимума.

4. Находим минимум функции .

Пример. Найти экстремумы функции при условии, что .

Решение.

Первый способ. При условии х² + у² = 1 имеем и получаем две функции одной переменной ;

.

Критические точки задаются равенствами , т.е. . Таким образом, имеем две критические точки и .

Легко проверить, что - точка максимума, - точка минимума.

Второй способ. Функция Лагранжаимеет вид:

.

Приравнивая ее частные производные к нулю, получаем систему:

 

Из уравнений (1) и (2) находим у = 2 х, подставляя в (3), получаем два решения

, и , . Таким образом, получаем те же две критические точки - точку максимума и – точку минимума.

Задания для самостоятельного решения

 

1. Найти локальные экстремумы функции и установить их характер:

1) u = 4x + 6xy + 3y + 2x – 8y + 5

2) u = -x - 2xy – 8y + 10

3) u = -4x - 3y - 3

4) u = x + 8xy – 4y + 8x -3

5) u = 0,5x + 2y - 50

 

2. Для функций пунктов 1-3 и 5 предыдущего раздела найти локальные экстремумы при ограничении 2x + y = 8

3. Найти локальный и условный экстремумы производственной функции Q = a – (K – 2a) /16 – (L - a) /9 (K – количество капитала, L – количество труда) при ограничении K + L = a, где a = 1 + N/n (N – последняя цифра номера группы, в которой числится студент; n – порядковый номер студента в группе).

 

Задания для самостоятельного решения

 

1. Найти вторую смешанную производную функции u = x ln y - e

2. Найти вторую смешанную производную функции u = + x y

3. F(x,y) = - + 3yx + 5x, найти -?

4. Найти дифференциал функции u = при x = 100, y = 25,

d x = 0,4 = d y.

5. Найти вторую смешанную производную функции u = x y - .

6. Для функции спроса Q = 120 – lg P + 2P + 0,1Y. (P – цена,

Р - альтернативная цена, Y – доход потребителя) найти эластичность спроса от альтернативной цены при Р = 10 , Р = 8, Y = 805.

7. Задача функция спроса Q = 3Y P / (Р – цена, Р - альтернативная цена, Y – доход потребителя). Как изменится альтернативная цена для фиксированной поверхности уровня при неизменной величине дохода, если цена Р увеличится на 33,1%?

8. Для функции спроса Q = 20 – ln(P/P ) + Y (P – цена,

Р - альтернативная цена, Y – доход потребителя) найти эластичность спроса от дохода при Р = е , Р = е , Y = 100.

9. Для функции спроса Q = 4Y P / (Р – цена, Р - альтернативная цена, Y – доход потребителя) найти эластичность спроса от цены и перекрестный коэффициент эластичности в точке М (Р;Р ;Y) = М (1/4;3;2).

10. Для функции спроса Q = -50 - P + + 0,2Y (Р – цена, Р - альтернативная цена, Y – доход потребителя) найти эластичность спроса от цены при Р = 5, Р = 8, Y = 1000.

11. Для функции полезности u = 3 записать уравнение кривой безразличия, проходящей через точку М (x;y) = M (8;32). Найти в этой точке предельные полезности для x и y.

12. Для производственной функции Кобба-Дугласа Q = 3 записать уравнение кривой безразличия, проходящей через точку M (K;L) = M (8;27). Найти в этой точке предельные продукты капитала и труда.

 

13. Для производственной функции, заданной в форме Кобба-Дугласа:

14. Q = 4 , найти коэффициент заменяемости ресурса К

15. в точке М (K;L) = (16;256).

16. Производственная функция задана в виде Q = 5 . Найти предельные продукты капитала К и труда L для K = 2; L = 64 и приращение Q выпуска продукции при заданных K и L, если K = 2, L = 1.

17. Для функции полезности u = 4 найти предельную полезность по x при u = 108, x = 27 и изменение полезности при заданных значениях переменных, если x = 37 и y = 0.

18. Для функции u = x - 4xy + 2y + 2x + 8y найти локальный экстремум и определить его характер.

19. Для функции u = 4x - 2xy + 3y + 6x – 4y + 7 найти локальный экстремум и определить его характер.

20. Для функции u = x - 3xy - y + 4x + 6y + 6 найти локальный экстремум и определить его характер.

21. Для функции u = -3x + 2xy - y + 8x – 4y найти локальный экстремум и определить его характер.

22. Для функции u = 2x - 4xy + 4y - 6x + 2y найти локальный экстремум и определить его характер.

23. Для функции u, приведенной в задании 4, найти локальный экстремум при ограничении x + 3y = 21.

24. Для функции u, приведенной в задании 4, найти локальный экстремум при ограничении x + 5y + 12 = 0.

25. Для функции u, приведенной в задании 4, найти локальный экстремум при ограничении 3x + y = 6.

26. Для функции u, приведенной в задании 4, найти локальный экстремум при ограничении 3x + y = 7.

27. Для функции u, приведенной в задании 4, найти локальный экстремум при ограничении 2x + y = 10.

28. x + ln x - = 0, -?

29. x + e + ln y – 2xy + 5 = 0, -?

30. Найти , если ln x + xy = 0.

31. y x - = 0, -?

32. 4x y - + 10y + 2x = 0, -?

 

Интегральное исчисление.

Неопределенный интеграл

Функция F(x) называется первообразной функции f (х) на некотором промежутке D, если для всех x из D выполняется:

Например, F (х)=sinх является первообразной для функ­ций f (х) = cos x на всей числовой прямой, т. к. для всех х.

Если F(х) — первообразная для функции f (х), то любая другая первообразная для f(х) может быть представлена в виде F(х)+ С, где С —произвольная постоянная.

Неопределенным интегралом от функции f (х) называется множество всех первообразных этой функции и обозначается ; здесь — знак интеграла, f (х) — подынтегральная функция, х — переменная интегрирования.

 

Согласно определению, , где

 

Свойства дифференциала:

1. dc = 0, где с = const,

2. ,

3. d(u+ v)=du + dv,

4. d (u×v)= u×dv + v×du,

5.