Предельный продукт фактора производства.

 

Производственная функция это уравнение, связывающее ресурсы (факторы производства) и выпуск продукции. В рыночной экономике к ресурсам относятся: земля, капитал (основные фонды), труд и предпринимательская способность, т.е. способность объединять все виды ресурсов в едином процессе производства товаров и услуг.

Для простоты ограничимся двумя ресурсами: капиталом K и трудом L.

Q= f (K, L)- производственная функция.

Предельным продуктам фактора производства называется предел соотношения приростов результата и затрат, которые его вызвали, т.е. частная производная производственной функции по соответствующей переменной (ресурсу).

Предельный продукт капитала это .

Если капитал изменится на величину , а труд останется неизменным, то .

Предельный продукт труда .

 

Для малых изменений труда при постоянном капитале .

Если капитал и труд изменяются одновременно, приращение выпуска продукции

.

 

Кривые безразличия производства

 

Линия, в каждой точке которой различные сочетания факторов производства дают одно и тоже количество выпускаемой продукции, называется изоквантой, или кривой безразличия производства.

Математически изокванта определяется уравнением

,

– некоторая постоянная величина выпуска продукции.

 

 

При мере роста функции линии уровня удаляются от начала координат. Для степенной функции нескольких переменных они имеют вид гиперболы.

 

Очень важной величиной является коэффициент заменяемости ресурсов.

- величина углового коэффициента касательной к изокванте (наклон), взятая с обратным знаком.

Минус вводится т.к. функция убывающая, чтобы получить положительную величину.

Производную следует вычислять по формуле дифференцирования неявной функции

Геометрическая интерпретация

Коэффициента заменяемости ресурсов

Полагая, что , получим

.

Найдем в общем виде коэффициент заменяемости для модели Кобба-Дугласа, которая применялась при анализе экономики в 20-30-х годах прошлого столетия.

Производственная функция, в модели Кобба-Дугласа имеет форму:

.

где А, a, b - положительные константы.

Видно, что коэффициент заменяемости не является постоянной величиной, а сам зависит от капитала и приложенного труда, т.к.

,

,

.

 

Задания для самостоятельного решения

Частные производные

1. Найти все частные производные до второго порядка от функций u =:

1) x - xy + x/y; 2) ln xy + xe ; 3) x + y cos x; 4) a - y ; 5) xyz.

2. Найти дифференциалы функций u =:

1) x y - в точке (x;y) = (1;10) при dx = dy = 0,1;

2) lg xy в точке (x;y) = (10;20) при dx = 0,1 ln 10; dy = 0,2 ln 10.

3. Найти все возможные частные производные функции .

4. Используя правило дифференцирования неявно заданной функции, найти , если

1) ; 2) .

5. Построить линии уровня функции u = x - y при u = 0; 1; 4.