Фундаментальная система решений.

Система m линейных уравнений с n переменными называется системой линейных однородных уравнений, если все их свободные члены равны нулю.

 

Система линейных однородных уравнений всегда совместна, т.к. она всегда имеет, по крайней мере, нулевое (тривиальное) решение (0;0;…;0).

 

Если в системе (2) m=n, а её определитель отличен от нуля, то такая система имеет только нулевое решение, как это следует из теоремы и формул Крамера.

 

Ненулевые решения, возможны лишь для таких систем линейных однородных уравнений, в которых число уравнений меньше числа переменных или, когда m=n, но определитель системы равен нулю.

Иначе: система линейных однородных уравнений имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ранг её матрицы коэффициентов при переменных меньше числа переменных, т.е. .

Обозначим решение системы

,

в виде строки .

Свойства решений системы линейных однородных уравнений.

1. Если строка -решение системы, то и строка -также решение этой системы.

2. Если строки и -решения системы (2), то при и их линейная комбинация -так же решение этой системы.

Из свойств следует, что всякая линейная комбинация решений системы линейных однородных уравнений также является решением этой системы.

Определение. Система линейно независимых решений называется фундаментальной, если каждое решение системы является линейной комбинацией решений .

 

Теорема: Если ранг матрицы коэффициентов при переменных системы линейных однородных уравнений (2) меньше числа переменных n, то всякая фундаментальная система решений системы (2) состоит из n-r решений.

 

Поэтому общее решение системы (2) линейных однородных уравнений имеет вид:

,

где - любая фундаментальная система решений, -произвольные числа, .

 

Пример решения задач.

Пример. Найти фундаментальную систему решений системы линейных однородных алгебраических уравнений.

 

Такая система совместна всегда, так как имеет тривиальное решение (0; 0; 0; 0; 0).

 

Решение.

 

 

система имеет множество решений.

система имеет три свободные переменные

- базисные переменные, , , - свободные переменные

Условия для нахождения фундаментальных решений:

 

 

1)

 

2)

 

3)

Данные строки - , , (векторы) – образуют фундаментальную систему решений данной системы линейных однородных алгебраических уравнений.

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИЕ РАБОТЫ

Расчетная работа № 1.

Обработка экспериментальных данных

Методом наименьших квадратов

Основные положения

При обработке данных экспериментов возникает необходимость определения закономерности их изменения:

- представление в виде какой-либо функциональной зависимости с целью исследования и прогнозирования характера и протекания процесса;

Из методов построения эмпирической прямой наиболее обоснован и распространён метод наименьших квадратов, заключающийся в следующем:

- из множества функциональных зависимостей определённого вида выбирается та, для которой сумма квадратов отклонений экспериментальных значений от теоретических (вычислительных) является наименьшей.
Впервые этот метод предложил Гаусс.