Функции нескольких переменных ( ФНП )

Частные производные

Для ФНП вводится понятие частной производной по соответствующей переменной.

В случае функции 2-х переменных: понятие частной производной определяется следующим образом:

 

......

(записать самостоятельно)

Первая формула определяет частную производную по x, а вторая - частную производную по y.

Вычисление производных от ФНП выполняется по обычным правилам дифференцирования функций одной переменной, при этом значения всех переменных, кроме одной, по которой вычисляется производная, считаются постоянными.

 

Задания для самостоятельного решения.

1. Найти все частные производные до второго порядка от функций

·

·

·

·

·

Пример

Дифференциал функции

 

Дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных, т.е.:

или

 

Задания для самостоятельного решения

1. Найти дифференциалы функций

1) в точке (x; y)= (1;10) при d x =d y =0,1;

2) ln x·y в точке (x;y)=(10;20) при d x =0,1ln10; d y =0,2ln10.

2. Найти все частные производные функции

 

Формула для дифференцирования неявной функции

 

Неявная функция одной переменной задаётся уравнением

- неявная функция

- формула дифференцирования неявной функции

Функция - называется неявной, если она задаётся уравнением

;

 

Задания для самостоятельного решения

1. Используя правило дифференцирования неявно заданной функции найти , если

1)

2) ln (xy)=0

2. Найти частные производные функции Z, заданной уравнением

 

Линии уровня

Линией уровня функции 2-х переменных называется множество точек на плоскости. Таких, что во всех этих точках значение функции одно и тоже и равно С.

Число С в этом случае называется уровнем.

Задание для самостоятельного решения.

1. Постройте линии уровня функции при U=0;1;4

 

1.5. Применение частных производных в экономике

 

Пусть спрос- это функция 3-х переменных

, где Р- цена, Y- доходы потребителей, - цена альтернативного товара.

Ответ на вопрос, как меняется спрос при изменении цен и доходов, количественно даётся с помощью понятия эластичности.

Коэффициенты эластичности.

Эластичность спроса от цены (собственной) определяется как при неизменных значениях цены альтернативного товара и доходов Y.

- формула для точечной эластичности спроса от цены

считаются постоянными

Перекрёстный коэффициент эластичности, определяемый как

 

- формула перекрестного коэффициента эластичности

считаются постоянными

Для взаимозаменяемых товаров

Для взаимодополняющих товаров

Эластичность спроса от доходов определяется как

- формула для эластичности спроса от доходов

считаются постоянными

для качественных товаров т.к. спрос на качественные (дорогие) товары увеличивается с ростом доходов.

для низкосортных товаров

Задания для самостоятельного решения

1. Для функции спроса (Р- цена, - альтернативная цена, Y- доход потребителя) найти эластичность спроса от альтернативной цены при .

 

2. Для функции спроса найти эластичность спроса от дохода

при

3. Для функции спроса эластичность спроса от цены и перекрёстный коэффициент эластичности в точке .

4. Для функции найти эластичность спроса от цены при

5. Задана функция спроса Как изменится альтернативная цена для фиксированной поверхности уровня при неизменной величине дохода, если цена Р увеличится на 40%?

6. Известно что функция спроса проходит через точку M c координатами (P; ; Y)=(16, 81, 4). В этой точке найти:

1) Коэффициенты эластичности спроса от цены, альтернативной цены и от дохода;

2) Записать выражение для поверхности уровня;

3) Как изменится для поверхности уровня, проходящей через точку М,

а) цена товара, если при неизменной альтернативной цене доход потребителя удвоится?

б) при неизменном доходе альтернативная цена уменьшится на 30%?

 

7. Функция спроса Q от цены Р и альтернативной цены при неизменном доходе описывается ;

1) записать уравнение линии уровня в точке (Р; )=(32; );

2) определить величину спроса при условии, что цена Р увеличится, а альтернативная цена одновременно уменьшится на 25%.

 

Полезность

 

Потреблению благ ставится в соответствие число U, называемое полезностью. Чем выше оценка, которую даёт потребитель этим благам, тем больше число U. Предположим, имеется два вида товара и потребитель покупает первый товар в количестве x ₁, а второй – в количестве x ₂. Полезность тогда представляет некоторую функцию от x ₁ и x ₂

U=U(x ₁, x ₂)

Предположим

U(3,7)=20; U(4,5)=25,

Значит с точки зрения потребителя лучше приобрести 4 единицы первого и пять единиц второго товара.

Полезность представляет собой функцию двух переменных (их число может быть больше), для которой могут быть вычислены частные производные:

и

Эти частные производные получили название предельных полезностей.

Если x ₁ и x ₂ меняются незначительно, то результирующее изменение полезности можно приближенно получить по следующей формуле:

Предельные полезности являются убывающими функциями по соответствующим переменным. То есть, по мере роста количества приобретаемого товара каждая следующая единица товара приносит все меньше удовлетворения потребителю. Этот результат известен как закон убывания предельной полезности.