Решение систем линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей коэффициентов.

 

 

, где , ,

Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) совместна, если имеет хотя бы одно решение и несовместна, если не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более чем одно решение.

Система называется однородной, если все элементы столбца свободных членов b1, b2 … bn равны нулю и неоднородной, если хотя бы один этих элементов отличен от нуля.

Для решения СЛАУ с квадратной матрицей коэффициентов разработан ряд методов. Рассмотрим метод определителей (формула Крамера), матричный метод и метод Гаусса:

4.1.1. Метод определителей (формула Крамера)

Пусть система

имеет квадратную матрицу коэффициентов, определитель которой не равен нулю. Тогда система имеет единственное решение, которое по формулам Крамера записывается:

 

, , …, ,

где – определитель матрицы коэффициентов системы А, а , , …, – определители замещения, которые получаются, когда в матрице А столбец, содержащий соответствующую переменную, заменяется столбцом свободных членов.

Пример.

 

Решение.

 

 

 

 

, ,

 

Проверка

 

Метод определителей позволяет решать системы только с квадратной матрицей коэффициентов при условии, что .

4.1.2. Матричный метод (математический метод, метод обратнойматрицы)

Пусть система

Имеет квадратную матрицу коэффициентов, определитель которой не равен нулю. Тогда система имеет единственное решение, которое представляется в следующем виде:

 

Матричный метод позволяет решать системы только с квадратной матрицей коэффициентов при условии, что .

 

Пример.

Решение.

4.1.3. Метод Гаусса (универсальный метод)

Метод Гаусса позволяет решать системы не только с квадратной, но и с прямоугольной матрицей коэффициентов, а также позволяет решать системы, когда определитель матрицы . Метод Гаусса основан на следующих эквивалентных преобразованиях системы уравнений:

 

Ø Перестановка уравнений в системе;

Ø Умножение любого уравнения на любое число, отличное от нуля;

Ø Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на любое число;

Ø Отбрасывание уравнений, в которых все коэффициенты и свободный член равны нулю.

 

Цель преобразований:

Свести матрицу к ступенчатому виду и последовательно, методом обратного хода, начиная с последней строки записать решение системы.

 

Метод Жордана – Гаусса:

Свести исходную систему уравнений к равносильной системе с единичной матрицей коэффициентов.

 

Пример 1.

Решение (метод Гаусса):

 

 

 

Метод Жордана – Гаусса:

+

+

+

Пример 2.

 

Решение (Метод Гаусса):

Метод Жордана – Гаусса: