Произвольная плоская система сил

 

 

Под произвольной системой сил понимают совокупность сил, расположенных в одной плоскости, линии действия которых не пересекаются в одной точке. Произвольную плоскую систему сил можно значительно упростить, приведя силы к одному центру приведения О. В результате чего в этом центре будет приложена сила , называемая главным вектором, и к телу в целом будет приложена пара сил с моментом М_О, называемым главным моментом относительно этого центра.

Главный вектор равен геометрической сумме сил, входящих в данную систему, а главный момент М_О - алгебраической сумме моментов сил относительно центра приведения, включая и алгебраическую сумму моментов пар сил:

 

,

 

Численное значение главного вектора определяется по его проекциям на координатные оси:

 

,

 

где и

 

Направление главного вектора находят по косинусам направляющих углов:

 

 

где , - орты осей О х и О у.

Условиями равновесия тела под действием произвольной плоской системы сил являются равенство нулю главного вектора и главного момента относительно любого центра О:

 

= 0 и М_О = 0.

 

Эти условия выполняются, если

 

(1)

 

Уравнения (1) называются основными уравнениями равновесия. Существуют еще две формы уравнений равновесия:

 

(2)

 

 

(3)

 

В системе уравнений (2) ось х не должна быть перпендикулярной к прямой, проходящей через центры А и В, а центры А, В и С в системе (3) не должны лежать на одной прямой.

 

Задача С1

 

 

Жесткая рама, расположенная в вертикальной плоскости (рис. С1.0–С1.9, табл. С1), закреплена в точке А шарнирно, а в точке В прикреплена или к невесомому стержню с шарнирами на концах, или к шарнирной опоре на катках.

В точке С к раме привязан трос, перекинутый через блок и несущий на конце груз весом Р = 25 кН. На раму действуют пара сил с моментом М = 100 кН×м и две силы, значения, направления и точки приложения которых указаны в табл. С1 (например, в условии № 1 на раму действует сила под углом 15° к горизонтальной оси, приложенная в точке D, и сила под углом 60° к горизонтальной оси, приложенная в точке Е, и т. д.).

Определить реакции связей в точках А, В, вызываемые действующими нагрузками. При окончательных расчетах принять а = 0,5 м.

Указания. Задача С1 – на равновесие тела под действием произвольной плоской системы сил. При ее решении учесть, что натяжения обеих ветвей нити, перекинутой через блок, когда трением пренебрегают, будут одинаковыми. Уравнение моментов будет более простым (содержать меньше неизвестных), если брать моменты относительно точки, где пересекаются линии действия двух реакций связей. При вычислении момента силы часто удобно разложить ее на составляющие и , для которых плечи легко определяются, и воспользоваться теоремой Вариньона; тогда

 

 

Рис. С1.0 Рис. С1.1

 

 

Рис. С1.2 Рис. С1.3

 

 

Рис. С1.4 Рис. С1.5

 

 

Рис. С1.6 Рис. С1.7

 

 

 

Рис. С1.8 Рис. С1.9

 

Таблица С1

 

 

Номер условия	Силы
F1 = 10 кН	F2 = 20 кН	F3 = 30 кН	F4 = 40 кН
Точка прило-жения	a1, град	Точка прило-жения	a2, град	Точка прило-жения	a3, град	Точка прило-жения	a4, град
	Н		–	–	–	–	K
	–	–	D		E		–	–
	K		–	–	–	–	E
	–	–	K		Н		–	–
	D		–	–	–	–	E
	–	–	Н		–	–	D
	E		–	–	K		–	–
	–	–	D		–	–	Н
	Н		–	–	D		–	–
	–	–	E		K		–	–

 

Пример С1. Жесткая рама АDСВ (рис. С1) имеет в точке А неподвижную шарнирную опору, а в точке В – подвижную шарнирную опору на катках. Все действующие нагрузки и размеры показаны на рисунке.

Дано: F = 25 кН, a = 60°, Р = 18 кН, g = 75°, М = 50 кН×м, b = 30°, а = 0,5 м. Определить: реакции в точках А и В, вызываемые действующими нагрузками.

Решение. 1. Рассмотрим равновесие рамы. Проведем координатные оси ху и изобразим действующие на раму силы: силу , пару сил с моментом М, натяжение троса (по модулю Т = Р) и реакции связей , , (реакцию неподвижной шарнирной опоры А изображаем двумя ее составляющими, реакция шарнирной опоры на катках направлена перпендикулярно опорной плоскости).

 

 

 

Рис. С1

 

 

2. Для полученной плоской системы сил составим три уравнения равновесия. При вычислении момента силы относительно точки Авоспользуемся теоремой Вариньона, т. е. разложим силу на составляющие , ( ) и учтем, что . Получим:

 

(4)

 

(5)

 

(6)

Из уравнения (6) находим:

 

 

 

Из уравнения (4):

 

 

 

 

Из уравнения (5):

 

 

 

 

Ответ:

 

Знаки указывают, что реакции и направлены противоположно показанным на рисунке.

Для проверки правильности полученных результатов составим и решим проверочное уравнение равновесия в форме моментов всех сил относительно точки С.

 

 

Вопросы для самоконтроля

 

1. Что называется связью, наложенной на твердое тело?

2. Что называется силой реакции связи?

3. Перечислите основные виды связей и укажите их реакции.

4. Сформулируйте принцип освобождаемости от связей.

5. Что называется равнодействующей системы сил?

6. Как сложить силы:

а) геометрически,

б) аналитически?

7. Как разложить силу по двум заданным направлениям?

8. Что называется моментом силы относительно центра на плоскости?

9. Чему равен момент пары сил?

10. Чему равен главный вектор и главный момент произвольной плос-кой системы сил?

11. Сформулируйте три формы уравнений равновесия произвольной плоской системы сил.

 

Задача С2

 

 

Конструкция состоит из жесткого угольника и стержня, которые в точке С или соединены друг с другом шарнирно (рис. С2.0-С2.5), или свободно опираются друг о друга (рис. С2.6-С2.9). Внешними связями, наложенными на конструкцию, являются в точке Аили шарнир, или жесткая заделка; в точке Вили гладкая плоскость (рис. С2.0 и С2.1), или невесомый стержень ВВ' (рис. С2.2 и С2.3), или шарнир (рис. С2.4-С2.9); в точке D или невесомый стержень DD¢ (рис. С2.0, С2.3, С2.8), или шарнирная опора на катках (рис. С2.7).

На каждую конструкцию действуют: пара сил с моментом М = 60 кН×м, равномерно распределенная нагрузка интенсивности q = 20 кН/м и еще две силы. Эти силы, их направления и точки приложения указаны в табл. С2; там же в столбце «Нагруженный участок» указано, на каком участке действует распределенная нагрузка (например, в условии № 1 на конструкцию действуют сила под углом 60° к горизонтальной оси, приложенная в точке L, сила под углом 30° к горизонтальной оси, приложенная в точке Е, и нагрузка, распределенная на участке СК).

Определить реакции связей в точках А, В, С (для рис. С2.0, С2.3, С2.7, С2.8 еще и в точке D), вызванные заданными нагрузками. При окончательных расчетах принять а = 0,2 м. Направление распределенной нагрузки на различных по расположению участках указано в табл. С2а.

Указания. Задача С2 - на равновесие системы тел, находящихся под действием плоской системы сил. При ее решении можно или рассмотреть сначала равновесие всей системы в целом, а затем равновесие одного из тел системы, изобразив его отдельно, или же сразу расчленить систему и рассмотреть равновесие каждого из тел в отдельности, учтя при этом закон о равенстве действия и противодействия. В задачах, где имеется жесткая заделка, учесть, что ее реакция представляется силой, модуль и направление которой неизвестны, и парой сил, момент которой тоже неизвестен.

 

 

 

Рис. 2.0 Рис. 2.1

 

 

 

 

Рис. 2.2 Рис. 2.3

 

 

 

Рис. 2.4 Рис. 2.5

 

 

 

Рис. 2.6 Рис. 2.7

 

 

 

Рис. 2.8 Рис. 2.9

 

Пример С2. Конструкция состоит из жесткого угольника АЕС и стержня СК, которые в точке С (рис. С2а) соединены друг с другом с помощью цилиндрического шарнира.

Внешними связями являются: в точке А - шарнирно-неподвижная опора, в точке В - невесомый стержень ВВ¢, в точке D - шарнирно-подвижная опора. К конструкции приложена сила , пара сил с моментом М и равномерно распределенная на участке КВ нагрузка интенсивности q.

Дано: F = 10 кН, a = 60°, q = 20 кН/м, М = 50 кН×м, а = 0,5 м.

Определить реакции связей в точках А, В, С и D, вызванные заданными нагрузками.

Таблица С2

 

Номер условия	Сила	Нагруженный участок
F1 = 10 кН	F2 = 20 кН	F3 = 30 кН	F4 = 40 кН
Точка прило-жения	a1, град	Точка прило-жения	a2, град	Точка прило-жения	a3, град	Точка прило-жения	a4, град
	K		-	-	H		-	-	CL
	-	-	L		-	-	E		CK
	L		-	-	K		-	-	AE
	-	-	K		-	-	H		CL
	L		-	-	E		-	-	CK
	-	-	L		-	-	K		AE
	E		-	-	K		-	-	CL
	-	-	H		L		-	-	CK
	-	-	K		-	-	E		CL
	H		-	-	-	-	L		CK

 

 

Таблица С2а

 

Участок на угольнике	Участок на стержне
горизонтальный	вертикальный	рис. С2.0, С2.3, С2.5, С2.7, С2.8	рис. С2.1, С2.2, С2.4, С2.6, С2.9

 

 

Рис. С2а

 

Решение. 1. Для определения реакций расчленим систему по шарниру С и рассмотрим сначала равновесие стержня КС (рис. С2б). Проведем координатные оси ху и изобразим действующие на стержень силы: равномерно распределенную нагрузку заменим силой , приложенной в середине участка ВК (численно Q = q×2 а = 20 кН), реакцию стержня ВВ¢ направим вдоль этого стержня, а действие отброшенного угольника АЕС представим составляющими и реакции шарнира С.

 

 

 

Рис. С2б

Для полученной плоской системы сил составляем три уравнения равновесия:

(7)

 

(8)

 

(9)

 

При вычислении момента силы разлагаем ее на составляющие и и применяем теорему Вариньона (, ).

Из уравнения (9) находим:

 

 

Из уравнения (7):

 

Из уравнения (8):

 

2. Теперь рассмотрим равновесие угольника (рис. С2в).

 

 

 

 

Рис. С2в

На него действуют: сила , пара сил с моментом М, реакция шарнирно-подвижной опоры D, составляющие и реакции шарнирно неподвижной опоры А и составляющие и реакции , направленные противоположно соответствующим реакциям и , которые были приложены к стержню КС. При решении учитываем, что численно = и = , в силу равенства действия и противодействия. Для этой плоской системы сил тоже составляем три уравнения равновесия:

 

(10)

 

(11)

 

(12)

 

В уравнении (12) при вычислении момента силы , последняя разложена на составляющие и ( и ) и применена теорема Вариньона.

Из уравнения (12) находим:

 

 

 

Из уравнения (10):

 

Из уравнения (11):

 

 

Ответ: R_{A x} = - 3,08 кH, R_{A у} = 18,685 кH, R_D = 6,645 кH, R_B = 30,8 кH, R_{C x} = 1,92 кH, R_{C y} = 16,67 кH.

Знаки указывают, что сила реакции направлена противоположно показанной на рис. С2в.

Вопросы для самоконтроля

 

1. Что называется связью, наложенной на твердое тело?

2. Что называется силой реакции связи?

3. Перечислите основные виды связей и укажите их реакции.

4. Сформулируйте принцип освобождаемости от связей.

5. Что называется равнодействующей системы сил?

6. Как сложить силы:

а) геометрически,

б) аналитически?

7. Как разложить силу по двум заданным направлениям?

8. Что называется моментом силы относительно центра на плоскости?

9. Чему равен момент пары сил?

10. Чему равен главный вектор и главный момент произвольной плоской системы сил?

11. Сформулируйте три формы уравнений равновесия произвольной плоской системы сил.

12. Какие задачи статики называют статически определимыми и какие статически неопределимыми?

13. В чем сущность решения задач на равновесие сочлененной системы тел?

 

 

Система сходящихся сил

 

Задача С3

 

Шесть невесомых стержней соединены своими концами шарнирно друг с другом в двух узлах и прикреплены другими концами (тоже шарнирно) к неподвижным опорам А, В, С, D (рис. С3.0-С3.9, табл. С3). Стержни и узлы (узлы расположены в вершинах Н, К, L или М прямоугольного параллелепипеда) на рисунках не показаны и должны быть изображены по данным таблицы. В узле, который в каждом столбце таблицы указан первым, приложена сила Р = 200 Н; во втором узле приложена сила Q = 100 Н. Сила образует с положительными направлениями координатных осей х, у, z углы, равные соответственно a₁ = 45°, b₁ = 60°, g₁ = 60°, а сила - углы a₂ = 60°, b₂ = 45°, g₂ = 60°; направления осей х, у, z для всех рисунков показаны на рис. С3.0.

Грани параллелепипеда, параллельные плоскости ху, - квадраты. Диагонали других боковых граней образуют с плоскостью ху угол j = 60°, а диагональ параллелепипеда образует с этой плоскостью угол q = 51°. Определить усилия в стержнях.

На рис. С3.10 в качестве примера показано, как должен выглядеть чертеж С3.1, если по условиям задачи узлы находятся в точках L и М, а стержнями являются LМ, LA, LB; МA, MC, MD. Там же показаны углы j и q.

Указания. Задача С3 - на равновесие пространственной системы сходящихся сил. При ее решении следует рассмотреть отдельно равновесие каждого из двух узлов, где сходятся стержни и приложены заданные силы, и учесть закон о равенстве действия и противодействия; начинать с узла, где сходятся три стержня.

Изображать чертеж можно без соблюдения масштаба так, чтобы лучше были видны все шесть стержней. Стержни следует пронумеровать в том порядке, в каком они указаны в таблице; реакции стержней обозначать буквой с индексом, соответствующим номеру стержня (например, , и т. д.).

 

Таблица С3

 

Номер условия
Узлы	H, M	L, M	K, M	L, H	K, H
Стержни	HM, HA, HB, MA, MC, MD	LM, LA, LD, MA, MB, MC	KM, KA, KB, MA, MC, MD	LH, LC, LD, MA, HB, HC	KH, KB, KC, HA, HC, HD
Номер условия
Узлы	M, H	L, H	K, H	L, M	K, M
Стержни	MH, MB, MC, HA, HC, HD	LH, LB, LD, HA, HB, HC	KH, KC, KD, HA, HB, HC	LM, LB, LD, MA, MB, HC	KM, KA, KD, MA, MB, MC

 

Пример С3. Конструкция состоит из невесомых стержней 1, 2,..., 6, соединенных друг с другом (в узлах K и М) и с неподвижными опорами А, В, С, D шарнирами (рис. С3). В узлах K и М приложены силы и , образующие с координатными осями углы a₁, b₁, g₁ и a₂, b₂, g₂ соответственно (на рисунке показаны только углы a₁, b₁, g₁).

Дано: Р = 100 Н, a₁ = 60°, b₁ = 60°, g₁ = 45°; Q = 50 H, a₂ = 45°, b₂ = 60°, g₂ = 60°, y = 30°, j = 60°, d = 74°. Определить усилия в стержнях 1-6.

 

 

 

Рис. С3.0 Рис. С3.1 Рис. С3.2

 

 

Рис. С3.3 Рис. С3.4 Рис. С3.5

 

 

Рис. С3.6 Рис. С3.7 Рис. С3.8

 

 

Рис. С3.9 Рис. С3.10

 

Рис. С3

 

Решение. 1. Рассмотрим равновесие узла K, в котором сходятся стержни 1, 2, 3. На узел действуют сила и реакции , , стержней, которые направим по стержням от узла, считая стержни растянутыми. Составим уравнения равновесия этой пространственной системы сходящихся сил:

 

(13)

 

(14)

 

(15)

 

Из уравнения (15) находим:

 

 

Из уравнения (13):

 

 

Из уравнения (14):

 

N₁ = P×cos b₁ - N₂×cos y.

 

N₁ = 100×cos 60° - (-345)×cos 30° = 348,78 Н.

 

2. Рассмотрим равновесие узла М. На узел действуют сила и реакции , , , стержней. При этом по закону о равенстве действия и противодействия реакция направлена противоположно , численно же = N₂. Составим уравнения равновесия:

 

(16)

 

(17)

 

(18)

 

При определении проекций силы на оси х и у в уравнениях (16) и (17) удобнее сначала найти проекцию этой силы на плоскость х О у (по числовой величине ), а затем найденную проекцию на плоскость спроектировать на оси х, у.

Решая уравнение (17), находим:

 

 

 

 

Из уравнения (16):

 

 

 

Из уравнения (18):

 

 

 

Ответ: N₁ = 348,78 H, N₂ = - 345 H, N₃ = 141 H, N₄ = 49,79 H, N₅ = 328,86 H, N₆ = 65,48 H. Знаки показывают, что стержень 2 сжат, остальные растянуты.

 

 

Вопросы для самоконтроля

 

1. Как определить проекцию силы на ось?

2. Как определить равнодействующую системы сходящихся сил:

а) геометрическим способом,

б) аналитическим способом?

3. Сформулируйте условия равновесия системы сходящихся сил на плоскости и в пространстве.

4. Если связью является невесомый стержень, то как направлена сила его реакции в случае, когда он:

а) прямолинейный,

б) криволинейный?