Пространственная система сил

 

Момент силы относительно оси и его вычисление. Зависимость между моментом силы относительно центра и относительно оси, проходящей через этот центр. Аналитические формулы для вычисления моментов силы относительно трех координатных осей. Приведение пространственной системы сил к данному центру. Вычисление главного вектора и главного момента пространственной системы сил. Аналитические условия равновесия произвольной пространственной системы сил.

Центр тяжести

 

Центр параллельных сил. Формулы для определения координат центра параллельных сил. Центр тяжести твердого тела; формулы для определения его координат. Центры тяжести объема, площади и линии. Способы определения положения центров тяжести тел. Центры тяжести дуги окружности, треугольника и кругового сектора.

 

Кинематика

 

Кинематика точки

 

Предмет кинематики. Пространство и время в классической механике. Относительность механического движения. Системы отсчета. Задачи кинематики.

Векторный способ задания движения точки. Траектория точки. Скорость точки как производная ее радиуса-вектора по времени. Ускорение точки как производная от ее вектора скорости по времени.

Координатный способ задания движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Определение траектории точки. Определение скорости и ускорения точки по их проекциям на координатные оси.

Естественный способ задания движения точки. Естественный трехгранник и его оси. Алгебраическая величина скорости точки. Определение ускорения точки по его проекциям на оси естественного трехгранника; касательное и нормальное ускорения точки. Выражение касательного ускорения точки через проекции скорости и ускорения на координатные оси.

Поступательное движение твердого тела

 

Определение поступательного движения твердого тела. Теорема о траекториях, скоростях и ускорениях точек твердого тела при поступательном движении.

 

Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси

 

Определение вращательного движения тела вокруг неподвижной оси. Уравнение (закон) вращательного движения твердого тела. Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела. Законы равномерного и равнопеременного вращения. Скорость и ускорение точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Векторы угловой скорости и углового ускорения тела. Выражение скорости точки вращающегося тела и ее касательного и нормального ускорений в виде векторных произведений.

 

Плоскопараллельное (плоское) движение твердого тела

 

Плоское движение твердого тела и движение плоской фигуры в ее плоскости. Уравнения движения плоской фигуры. Разложение движения плоской фигуры на поступательное вместе с полюсом и вращательное вокруг полюса. Независимость угловой скорости и углового ускорения от выбора полюса. Теорема о скоростях точек плоской фигуры. Теорема о проекциях скоростей двух точек плоской фигуры. Мгновенный центр скоростей (МЦС) и доказательство его существования. Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью МЦС. Теорема об ускорениях точек тела при плоском движении.

 

Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной точки

(сферическое движение)

 

Углы Эйлера. Уравнения движения твердого тела вокруг неподвижной точки. Мгновенная ось вращения тела. Векторы угловой скорости и углового ускорения тела. Определение скорости и ускорения любой точки тела при его сферическом движении.

 

Свободное движение твердого тела

 

Уравнения движения свободного твердого тела. Разложение этого движения на поступательное движение вместе с полюсом и вращение вокруг полюса. Определение скоростей и ускорений точек свободного твердого тела.

Составное (сложное) движение точки

 

Переносное, относительное и абсолютное движения точки. Скорости и ускорения точки в относительном, переносном и абсолютном движениях.

Теорема о сложении скоростей. Теорема Кориолиса о сложении ускорений. Модуль и направление кориолисова ускорения (правило Н. Е. Жуковского). Случаи равенства нулю ускорения Кориолиса.

 

Составное движение твердого тела

 

Сложение поступательных движений. Сложение вращательных движений твердого тела вокруг параллельных и пересекающихся осей. Пара мгновенных вращений. Кинематический винт. Мгновенная винтовая ось.

 

Статика. Основные положения

 

Статикой называется раздел теоретической механики, в котором рассматриваются операции с силами и равновесие твердых тел. Под состоянием равновесия твердого тела понимают не только состояние покоя, но и движение по инерции. В основе теоретической механики лежат экспериментально установленные аксиомы (законы), справедливость которых проверена многовековой практической деятельностью человека.

При действии сил на свободные тела их равновесие может быть нарушено. Тела или системы тел, равновесие которых изучается, несвободны, так как их перемещению в пространстве препятствуют другие (неподвижные) тела, скрепленные или соприкасающиеся с первыми. Тела, которые ограничивают (связывают) перемещение данного тела, называются связями.

Сила, с которой данная связь действует на тело, препятствуя его перемещению, называется силой реакции связи или просто реакцией связи. Значения реакций связей определяются в процессе решения соответствующей задачи механики. Направлена же реакция связи в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу. Ниже представлены наиболее часто встречающиеся типы связей и направления их реакций.

 

Рис. 1

 

Гладкая плоскость (поверхность или опора) (рис. 1). Реакция гладкой поверхности или опоры направлена по общей нормали к поверхностям соприкасающихся тел в точке их касания и приложена в этой точке.

 

Рис. 2

Нить (канат, цепь, ремень, трос). Связь, осуществленная в виде гибкой нерастяжимой нити (рис. 2), не дает телу М удаляться от точки подвеса нити по направлению АМ. Поэтому реакция натянутой нити направлена вдоль нее от тела к точке подвеса.

Неподвижный цилиндрический шарнир или подшипник (шарнирно-неподвижная опора). Цилиндрическим шарниром (рис. 3) называется совокупность неподвижной обоймы (втулки) 1 и помещенного в нее валика (пальца) 2, жестко соединенного с телом 3. В точке С соприкосновения втулки с валиком возникает сила опорной реакции, направленная по нормали к идеально гладким поверхностям. Эта нормаль проходит через геометрический центр А валика. Так как положение точки С соприкосновения валика со втулкой заранее не известно, то невозможно сразу указать направление силы реакции , но можно утверждать, что линия действия реакции всегда пройдет через центр А шарнира. На расчетных схемах шарнирно-неподвижная опора условно изображается так, как показано на рис. 4. Неизвестную по модулю и направлению реакцию при решении задач представляют в виде двух ее взаимно-перпендикулярных составляющих и . После определения их значений находят значение реакции и ее направление:

 

,

Рис. 3 Рис. 4

 

Рис. 5

Шарнирно-подвижная опора (опора на катках). Реакция такой связи проходит через центр шарнира (рис. 5) и направлена перпендикулярно к опорной плоскости.

 

Рис. 6

Рис. 7

Сферический шарнир (рис. 6). Сферическим шарниром называется устройство, выполненное в виде двух контактирующих сфер, геометрический центр А которых неподвижен. Тело 3, равновесие которого рассматривается, жестко связано с внутренней подвижной сферой 1. При условии, что сферические поверхности гладкие, реакция направлена по нормали к этим поверхностям и проходит через центр А сферы. На расчетных схемах реакцию представляют в виде трех ее взаимно-перпендикулярных составляющих , и , направленных вдоль координатных осей.

Подпятник (рис. 7). Подпятник представляет собой соединение цилиндри-ческого шарнира 2 и опорной плоскости 3, на которую опирается вал 1. Реакция подшипника, лежащая в плоскости перпен-дикулярной оси вала, представляется двумя ее взаимно-перпендикулярными составляющими и , а реакция опорной плоскости - реакцией , направленной по нормали к этой плоскости.

Невесомый стержень (рис. 8). Реакция прямолинейного невесомого (идеального) стержня направлена вдоль этого стержня. Если связью является криволинейный стержень, то реакция направлена вдоль прямой АВ, соединяющей концевые шарниры А и В.

 

Рис. 8

Жесткая заделка (неподвижное защемление) конца балки (рис. 9). Такая связь не допускает не только линейных перемещений балки 1 вдоль координатных осей, но и вращения балки в плоскости х А у.

 

 

Рис. 9

 

Нахождение реакций жесткой заделки сводится к определению трех неизвестных величин: составляющих и реакции и так называемого реактивного момента М_А, препятствующего вращению балки в плоскости х А у вокруг точки А.

Для того чтобы составить уравнения равновесия, надо уметь вычислять проекции сил на координатные оси и выполнять операции сложения и разложения сил.

Проекцией силы на ось называется алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на косинус угла между силой и положительным направлением оси. Так, для сил, изображенных на рис. 10:

 

F _x = a ₁ b ₁ = Fcos a;F _у = a₂b₂ = F cos (90° - a) = F sin a;

Q _x = c ₁ d ₁ = Q cos b = Q cos (180° + g) = - Q cosg;

Q _у = c ₂ d ₂ = Q cos (90° + g) = - Q sin g.

 

Проекцией силы на плоскость О ху называется вектор = , заключенный между проекциями начала и конца силы на эту плоскость (рис. 11).

 

 

Рис. 10

 

По модулю F _ху = F cos q, где q - угол между направлением силы и ее проекцией .

В некоторых случаях для нахождения проекции силы на ось удобнее сначала найти ее проекцию на плоскость, в которой расположена эта ось, а затем полученный вектор спроецировать на данную ось. Например, в случае, изображенном на рис. 11, найдем:

 

 

F _х = ОВ₂ = F _ху cos j = F cos q×cosj,

F _у = ОВ₃ = F _ху sin j = F cos q×sin j.

 

 

Рис. 11

Геометрическое сложение сил , ,..., основывается на построении в масштабе векторного многоугольника, замыкающая сторона которого представляет эту сумму и называется главным вектором (рис. 12).

 

 

 

Рис. 12

 

Аналитическое сложение сил основано на известной теореме векторной алгебры: проекция вектора суммы на ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось:

 

 

 

 

Модуль (численное значение) главного вектора

 

 

Действие силы на твердое тело может вызвать вращательный эффект, который для плоской системы сил оценивается моментом силы относительно какой-либо точки О на плоскости (рис. 13):

 

; ,

где h₁ и h₂ - плечи сил и относительно точки О.

 

Рис. 13

 

Плечом называется длина перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия соответствующей силы. Если данная сила стремится вращать тело вокруг точки О против хода часовой стрелки, то ее моменту относительно этой точки приписывают знак «+». Момент силы относительно точки равен нулю, если линия действия силы проходит через эту точку, так как при этом плечо равно нулю (например, ).

Вычисление момента силы относительно какой-либо точки во многих случаях упрощается, если эту силу разложить на две взаимно-перпендикулярные составляющие и применить теорему Вариньона, согласно которой момент равнодействующей сходящихся сил относительно любого центра равен сумме моментов составляющих сил относительно того же центра. Например, для равнодействующей силы и ее составляющих и (рис. 14) имеем:

 

 

где

 

Таким образом,

 

 

Вращательный эффект вызывает также пара сил, под которой понимается совокупность двух сил, равных по модулю, направленных в противоположные стороны и линии действия которых параллельны (рис. 15).

 

 

Рис. 14

 

Пара сил, стремящаяся вращать тело против хода часовой стрелки, считается положительной, а по ходу часовой стрелки - отрицательной. Пара сил характеризуется ее моментом, который равен взятому со знаком «плюс» или «минус» произведению модуля одной из сил данной пары на плечо пары, т. е. на кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары.

 

 

Рис. 15

 

Обозначив момент пары буквой m, а плечо пары буквой d, будем иметь (рис. 15):

 

m₁ = F₁ × d₁; m₂ = -F₂ × d₂.

Систему пар сил, расположенных в одной плоскости, можно заменить одной эквивалентной парой, момент которой М равен алгебраической сумме моментов пар:

 

М = m₁ + m₂ +... +m_n = (k = 1, 2,..., n).