Произвольная пространственная система сил

 

 

Моментом силы относительно центра О называется приложенный в этом центре вектор , модуль которого равен произведению модуля силы на ее плечо h и который направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через центр О и линию действия силы в ту сторону, откуда «вращение», совершаемое силой вокруг точки О, представляется происходящим против хода часовой стрелки (рис. 16):

 

 

Момент силы относительно центра О может быть представлен в виде векторного произведения:

 

 

где - радиус-вектор точки приложения силы.

 

Рис. 16

В самом деле, модуль векторного произведения равен

 

 

Заметим также, что вектор направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы и , в ту сторону, откуда кратчайший поворот вектора к направлению вектора представляется происходящим против хода часовой стрелки.

Моментом силы относительно какой-либо оси z, проходящей через центр О (рис. 16), называется скалярная величина, равная проекции вектора на эту ось:

 

 

Механический смысл величины состоит в том, что она характеризует вращательный эффект силы, когда эта сила стремится повернуть тело вокруг оси z. В самом деле, если разложить силу на составляющие и , где úú O z (рис. 17), то поворот вокруг оси z будет совершать только составляющая и вращательный эффект всей силы будет определяться величиной Составляющая же повернуть тело вокруг оси z не может (она лишь может сдвинуть тело вдоль оси z).

Момент силы относительно оси z будет иметь знак «плюс», когда с положительного конца этой оси поворот, который стремится совершить сила вокруг этой оси, виден происходящим против хода часовой стрелки, и знак «минус» - когда по ходу часовой стрелки.

Рис. 18

 

Рис. 17

Для того чтобы определить момент какой-либо силы относительно какой-либо оси z (рис. 18), нужно провести любую плоскость (ху), перпендикулярную к данной оси и, спроектировав силу на эту плоскость, найти алгебраическую величину момента полученной проекции относительно точки О пересечения оси z с плоскостью ху.

 

 

Момент силы относительно оси равен нулю, когда сила параллельна оси либо когда линия действия силы пересекает ось.

При рассмотрении равновесия произвольной пространственной системы сил приходится определять моменты пар сил относительно осей, для чего момент пары сил представляют в виде вектора.

Момент пары, как вектор, направлен по перпендикуляру к плоскости действия пары в ту сторону, откуда вращение тела парой сил представляется происходящим против направления вращения часовой стрелки.

Изображенные на рис. 19, а и 19, б векторы и представляют собой соответственно моменты пар и .

Так как пару сил можно переносить в ее плоскости действия и в любую другую плоскость, ей параллельную, то ее момент не имеет определенной точки приложения и является свободным вектором. Такие векторы можно переносить параллельно самим себе в любую точку тела.

 

 

Рис. 19

 

При определении момента пары сил относительно какой-либо оси достаточно найти проекцию вектора-момента этой пары на данную ось. Так, на примере, изображенном на рис. 19, а и 19, б, будем иметь:

 

М_{1 х} = 0; М_{1 у} = М₁; М_{1 z} = 0;

 

М_{2 х} = 0; М_{2 у} = 0; М_{2 z} = - M₂.

 

Если требуется сложить пары сил, то достаточно сложить их векторы-моменты как свободные векторы, т. е. перенести эти векторы параллельно самим себе в общую точку и применить правило сложения векторов.

Так, на примере двух пар сил и , расположенных в плоскостях x B y и x B z соответственно (рис. 20), будем иметь:

 

 

 

Рис. 20

 

Модуль М результирующего вектора находим как величину диагонали прямоугольника, построенного на векторах и :

 

 

или в проекциях на координатные оси:

 

M _x = M_{1 x} + M_{2 x} = 0;

 

M _y = M_{1 y} + M_{2 y} = - M₂;

 

M _z = M_{1 z} + M_{2 z} = M₁,

 

следовательно,

 

 

Любую пространственную систему сил можно привести к некоторому центру О, в результате чего будет получен главный вектор , приложенный в этом центре и главный момент относительно этого центра О. Как известно, главный вектор равен геометрической сумме всех сил:

 

 

и не зависит от выбора центра приведения, а главный момент равен геометрической сумме векторов-моментов всех сил относительно этого центра (включая и векторы-моменты всех пар сил) и зависит от выбора центра приведения:

 

Условиями равновесия произвольной пространственной системы сил являются равенство нулю главного вектора этой системы сил и главного момента относительно любого центра, что выражается шестью уравнениями равновесия в проекциях на оси декартовой системы координат:

 

 

 

 

 

 

Задача С4

 

Две однородные прямоугольные тонкие плиты жестко соединены (сварены) под прямым углом друг к другу и закреплены сферическим шарниром (или подпятником) в точке А, цилиндрическим шарниром (подшипником) в точке В и невесомым стержнем 1 (рис. С4.0-С4.7) или же двумя подшипниками в точках А и В и двумя невесомыми стержнями 1 и 2 (рис. С4.8, С4.9); все стержни прикреплены к плитам и к неподвижным опорам шарнирами.

Размеры плит указаны на рисунках; вес большей плиты P₁ = 5 кН, вес меньшей плиты P₂ = 3 кН. Каждая из плит расположена параллельно одной из координатных плоскостей (плоскость ху - горизонтальная).

На плиты действуют пара сил с моментом М = 4 кН×м, лежащая в плоскости одной из плит, и две силы. Значения этих сил, их направления и точки приложения указаны в табл. С4; при этом силы и лежат в плоскостях, параллельных плоскости ху, сила - в плоскости, параллельной хz, и сила - в плоскости, параллельной уz. Точки приложения сил (D, E, Н, K) находятся в углах или в серединах сторон плит.

Определить реакции связей в точках А и В и реакцию стержня (стержней). При подсчетах принять а = 0,6 м.

Указания. Задача С4 - на равновесие тела под действием произвольной пространственной системы сил. При ее решении учесть, что реакция сферического шарнира (подпятника) имеет три составляющие (по всем трем координатным осям), а реакция цилиндрического шарнира (подшипника) - две составляющие, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси шарнира (подшипника). При вычислении момента силы часто удобно разложить ее на две составляющие ( и ), параллельные координатным осям (или на три); тогда по теореме Вариньона и т. д.

 

 

 

 

Рис. С4.0 Рис. С4.1

 

Рис. С4.2 Рис. С4.3

 

 

Рис. С4.4 Рис. С4.5

 

 

Рис. С4.6 Рис. С4.7

 

 

Рис. С4.8 Рис. С4.9

Пример С4. Горизонтальная прямоугольная плита весом Р (рис. С4) закреплена сферическим шарниром в точке А, цилиндрическим (подшипником) в точке В и невесомым стержнем DD¢. На плиту в плоскости, параллельной хz, действует сила , а в плоскости, параллельной уz, - пара сил с моментом М.

Дано: Р = 3 кН, F = 8 кН, М = 4 кН×м, a = 60°, АС = 0,8 м, АВ = 1,2 м, ВЕ = 0,4 м, ЕН = 0,4 м. Определить реакции опор А, В и стержня DD'.

 

 

Рис. С4

 

Решение. 1. Рассмотрим равновесие плиты. На плиту действуют заданные силы , и пара с моментом , а также реакции связей. Реакцию сферического шарнира разложим на три составляющие: , , , цилиндрического (подшипника) – на две составляющие: , , (в плоскости, перпендикулярной оси подшипника); реакцию стержня направляем вдоль стержня от D к D¢, предполагая, что он растянут.

2. Для определения шести неизвестных реакций составляем шесть уравнений равновесия действующей на плиту пространственной системы сил:

 

(19)

 

(20)

 

(21)

 

(22)

 

(23)

 

(24)

Таблица С4

 

Номер условия	Сила
F1 = 6 кН	F2 = 8 кН	F3 = 10 кН	F4 = 12 кН
Точка приложения	a1, град	Точка приложения	a2, град	Точка приложения	a3, град	Точка приложения	a4, град
	E		H		-	-	-	-
	-	-	D		E		-	-
	-	-	-	-	K		E
	K		-	-	D		-	-
	-	-	E		-	-	D
	H		K		-	-	-	-
	-	-	H		D		-	-
	-	-	-	-	H		K
	D		-	-	K		-	-
	-	-	D		-	-	H

 

Для определения моментов силы относительно осей разлагаем ее на составляющие и , параллельные осям x и z (, ), и применяем теорему Вариньона. Аналогично поступаем с реакцией (; ).

Из уравнения (23) находим:

 

 

 

Из уравнения (24):

 

 

Из уравнения (22):

 

 

 

Из уравнения (19):

 

 

Из уравнения (20):

 

 

Из уравнения (21):

 

 

 

Ответ: R_{A x} = 3,422 кН, R_{A у} = 5,133 кН, R_{A z} = 4,834 кН, R_{В x} = - 7,422 кН, R_{В z} = 2,13 кН, N = 5,928 кН.

 

Знак «минус» указывает, что реакция направлена противоположно показанной на рис. С4.

 

Вопросы для самоконтроля

 

1. Как определить момент силы относительно оси?

2. В каких случаях момент силы относительно оси равен нулю?

3. Как представить вектор-момент пары сил, расположенной в пространстве?

4. Как складываются пары сил в пространстве?

5. Как вычислить главный вектор и главный момент пространственной произвольной системы сил?

6. Каковы условия и уравнения равновесия произвольной пространственной системы сил?