Приведение системы сил к заданному центру

Произвольная пространственная система сил { } эквивалентна одной силе , которая равна векторной сумме всех сил и называется главным вектором системы (рис.16),

Рис. 16

, ,

, , (2.11)

и одной паре сил с векторным моментом относительно центра приведения O – , который равен сумме векторных моментов всех сил относительно того же центра и называется главным моментом системы.

, ,

, , (2.12)

Здесь – проекции главного вектора на декартовые оси, которые соответственно равны суммам проекций входящих в эту систему сил на эти оси;

– проекции главного момента на декартовые оси, которые равны суммам моментов этих сил относительно соответствующих осей.

В качестве центра приведения может быть выбрана любая точка в пространстве.

Таким образом, замена системы сил { } на эквивалентную систему векторов и называется приведением системы сил к заданному центру.

 

Частные случаи

1 Система сходящих сил эквивалентна одной равнодействующей силе { }∞ (рис.17). Причем

Рис. 17

, ,

, , (2.13)

2 Плоская система приводится к главному вектору и главному моменту. Причем главный момент перпендикулярен плоскости, на которой расположена система сил, например, плоскость XOY (рис.18), т.е. ^ .

 

	Рис. 18

 

В этом случае и можно заменить алгебраическим моментом относительно полюса O, (см. рис.12 и 13). Таким образом, в случае плоской системы сил главный момент можно рассматривать как алгебраический момент, равный сумме моментов всех сил относительно полюса O.

, , ,

(2.13)

 

 

Равновесие твердого тела

Для равновесия твердого тела в пространстве, находящегося под действием произвольной системы сил, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент были равны нулю.

, (2.15)

Записывая эти два векторных равенства в проекциях на оси координат, т.е. учитывая выражения (2.11) и (2.12), получим систему из шести уравнений равновесия.

(2.16)

Частные случаи

1 Равновесие пространственной системы параллельных сил. Пусть эти силы параллельны оси z. В этом случае очевидно (рис.19), что первые два и последнее уравнения (2.16) тождественно равны нулю, поэтому исключаются из рассмотрения. Уравнения равновесия имеют вид:

(2.17)

Рис. 19

2 Сходящиеся силы. Необходимым и достаточным условием равновесия этой системы сил является равенство нулю её равнодействующей . Тогда в соответствии с формулами (2.14) уравнения равновесия приобретают форму:

,

, (2.18)

.

3 Плоская система сил. В этом случае необходимыми и достаточными условиями равновесия являются

, М_о = 0 (2.19)

Уравнения равновесия для плоской системы сил можно записать в трех формах:

а) первая формула непосредственно связана с условиями (2.19). С учетом выражений (2.14) можно записать

,

, (2.20)

.

б) вторая форма уравнений равновесия получается, если одно из двух уравнений проекций в выражении (2.20) заменить уравнением моментов относительно точки, отличной от полюса A.

,

, (2.21)

.

При этом на рисунках, чертежах прямая AB, соединяющая эти два полюса не должна быть перпендикулярна оси x.

в) третья форма уравнений равновесия связана с заменой обоих уравнений проекций уравнениями моментов.

,

, (2.22)

.

Точки A, B, C не должны лежать на одной прямой.

Отметим ещё два простейших случая:

1) в случае плоской системы сходящихся сил уравнение равновесия имеет вид

(2.20¢)

2) в случае плоской системы параллельных сил

(2.20¢¢)

В последнем случае упрощение уравнений равновесия достигается надлежащим выбором системы координат – одну из осей координат направляют параллельно рассматриваемым силам (рис.20).

Рис. 20

Различают статически определимые и статически неопределимые задачи. Задачи, в которых число искомых неизвестных величин не превышает числа уравнений равновесия, называются статически определимыми. Задачи, в которых число неизвестных больше числа уравнений равновесия, называются статически неопределимыми. В статике твердого тела рассматриваются только статически определимые задачи.

Здесь же сформулируем теорему Вариньона, которая часто используется при решении задач о равновесии.

Если система сил имеет равнодействующую, то векторный момент этой равнодействующей относительно произвольно выбранного центра равен сумме векторных моментов всех сил системы относительно того же центра.

(2.23)

Теорема справедлива также для моментов сил относительно произвольно выбранной оси

(2.24)

и для моментов плоской системы сил относительно произвольно выбранного полюса

(2.25)