Принцип Даламбера для механической системы.

Для которой точки системы запишем

(к = 1, 2,…,4) (4.49)

Принцип. Если в любой момент времени к каждой из точек системы кроме действующих на нее внешних и внутренних сил присоединить соответствующие силы инерции, то полученная система сил будет уравновешенной. Таким образом, принцип Даламбера математически задачи динамики сводит к задачам статики о равновесии, часто упрощая соответствующие расчеты.

Выражение (4.49.) суммируем по k = 1,2, …,n и умножив его слева векторно на радиусы-векторы соответствующих точек, снова суммируем по k = 1,2, …,n

, (4.50)

Здесь , на основании свойств внутренних. Введем обозначения ,

Тогда из равенства (4.32.) получим

, , (4.51)

где , – соответственно главный вектор и главный момент относительно центра О системы сил инерции.

 

На основании ранее рассмотренных теорем можно записать

, , (4.52)

Следовательно, главный вектор сил инерции механической системы равен произведению массы системы на ускорение центра масс и направлен противоположно этому ускорению; главный момент сил инерции механической системы относительно центра О или оси Z равен взятой со знаком минус производной по времени кинетического момента системы относительно того центра или той же оси.

Частные случаи.

1. Поступательное движение. В этом случае . Тогда все силы образуют систему направленных сил и имеют равнодействующую, проходящую через центр, точку масс, точку С.

2. Вращательное движение. Пусть твердое тело имеет плоскость симметрии и вращается вокруг оси Тогда

Таким образом, система сил инерции вращающегося тела, приводится к силе , определяемой формулой (4.52) и приложенной к точке О (рис.4.3.) и паре с моментом , определяемым формулой (4.53.)

Если тело вращается вокруг центральной оси , проходящей через центр масс С тела, то = 0, т.к. = 0. Следовательно, в этом случае система сил инерции тела приводится к паре с моментом

Рис. 4.3

3. Плоскопараллельное движение. Если тело имеет плоскость

симметрии и движется параллельно этой плоскости, то система сил инерции тела приводится к лежащим в плоскости симметрии силе , приложенной к центру масс тела С, и паре с моментом

Задача Д4

Вертикальный вал АК (рис.Д4.0 – Д4.9), вращающейся с постоянной угловой скоростью = 10 , закреплен подпятником в точке А и цилиндрическим подшипником в точке, указанной в табл. Д8 в столбце 2 (AB=BD=DE=EK=a) К валу жестко прикреплены тонкий однородный ломаный стержень массой m =10 кг, состоящий из частей 1 и 2 (размеры частей стержня показаны на рисунках, где b = 0,1 м, а их массы пропорциональны длинам), и невесомый стержень длиной l = 4 b точечной массой = 3 кг. На конце; оба стержня лежат в одной плоскости. Точки крепления стержней указаны в таблице в столбцах 3 и 4, а углы даны в столбцах 5-8.

Пренебрегая весом вала, определить реакции подпятника и подшипника. При подсчетах принять a =0,6 м.

Указания. Задача Д-8 – на применение к изучению движения системы принципа Даламбера. При решении задачи учесть, что когда силы инерции частиц тела (в данной задаче стержня) имеют равнодействующую , то численно , где - ускорение центра масс С тела, но линия действия силы в общем случае не проходит через точку С (см. Пример Д4).

	Таблица Д4

 

Номер условия	Подшипник в точке	Крепление в точке	, град	, град	, град	, град
Ломаного стержня	Невесомого стержня
Рис. 0-4	Рис.5-9
	B	D	K
	K	B	D
	K	E	B
	D	K	B
	K	D	E
	E	B	K
	E	D	K
	K	B	E
	D	E	K
	E	K	D

 

 

	Рис. Д4.0		Рис. Д4.1		Рис. Д4.2

 

 

 

	Рис. Д4.3		Рис. Д4.4		Рис. Д4.5

 

Рис. Д4.8

Рис. Д4.7

Рис. Д4.6

 

 

 

Рис. Д4.9

 

 

	Рис. Д4

 

 

 

	Рис. Д4

Пример Д4. Вертикальный вид длинной 3а(АВ = BD = DE = a), Закрепленный подпятником А и подшипником D (рис. Д4,а), вращается с постоянной угловой скоростью К валу жестко прикреплен в точке Е ломанный однородный стержень массой и длинной 10b, состоящий из двух частей 1 и 2, а в точке B прикреплен невесомый стержень длинной l = 5b с точечной массой на конце; оба стержня лежат в одной плоскости.

Дано:

Определить: реакции подпятника А и подшипника D, пренебрегая весом вала.

Решение.

1. Изображаем (с учетом заданных углов) вал и прикрепленные к нему в точках B и E стержни (рис. Д4,б). Массы и веса частей 1 и 2 ломанного стержня пропорциональны длинам этих частей и соответственно равны

(1)

2. Для определения искомых реакций рассмотрим движение заданной механической системы и применим принцип Даламбера. Проведем вращающиеся вместе с валом координатные оси так, чтобы стержни лежали в плоскости xy, и изобразим действующие на систему силы: активные силы – силы тяжести и реакции связей составляющие реакции подпятника и реакцию цилиндрического подшипника .

Согласно принципу Даламбера, присоединим к этим силам силы инерции элементов однородного ломанного стержня и груза, считая его материальной точкой.

Так как вал вращается равномерно, то элементы стержня имеют только нормальные ускорения , направленные к оси вращения, а численно где - расстояние элементов от оси вращения. Тогда силы инерции будут направлены от оси вращения, а численно где - масса элемента. Так как все пропорционально то эпюры этих параллельных сил инерции стержня образуют для части 1 треугольник, а для части 2 – прямоугольник (рис. Д4,б).

Каждую из полученных систем параллельных сил инерции заменим ее равнодействующей, равной главному вектору этих сил. Так как модуль главного вектора сил инерции любого тела имеет значение где - масса тела, - ускорение его центра масс, то для частей стержня соответственно получим

(2)

Сила инерции точечной массы 3 должна быть направлена в сторону, противоположную ее ускорению и численно будет равна

(3)

Ускорения центров масс частей 1 и 2 стержня и груза 3 равны:

(4)

Где - расстояния центров масс частей стержня от оси вращения, а - соответствующие расстояния груза:

(5)

Подставив в (2) и (3) значения (4) и учтя (5), получим числовые значения и :

(6)

При этом линии действия равнодействующих и пройдут через центры тяжестей соответствующих эпюр сил инерции. Так, линия действия проходит на расстоянии от вершины треугольника , где

3. Согласно принципу Даламбера, приложенные внешние силы (активные и реакции связей) и силы инерции образуют уравновешенную систему сил. Составим для этой системы сил три уравнения равновесия. Получим

(7)

Где - плечи сил относительно точки А, равные (при подсчетах учтено, что )

(8)

Подставив в уравнения (7) соответствующие величины из равенств (1), (5), (6), (8) и решив эту систему уравнений (7), найдем искомые реакции.

Ответ: