Принцип германа-эйлера-даламбера для несвободной механической системы.

При изучении движения несвободной механической системы, так же как и при изучении движения одной несвободной точки, применяют принцип освобождаемости от связей. По этому принципу имеющиеся связи отбрасывают, заменяя их действие соответствующими реакциями. Полученную механическую систему рассматривают как свободную, находящуюся под действием задаваемых сил и реакций связей.

(1)

- главный вектор задаваемых сил; главный вектор реакций связей; - главный вектор сил инерции точек системы.

Из уравнения (1) следует, что в любой момент времени для всякой несвободной механической системы геометрическая сумма главных векторов задаваемых сил, реакций связей и сил инерции материальных точек системы равна нулю.

(2)

Уравнение (2) показывает, что в любой момент времени, для всякой несвободной механической системы геометрическая сумма главных моментов задаваемых сил, реакций связей и сил инерции материальных точек системы относительно любого неподвижного центра равна нулю.

ЗАДАЧА Д 4

Вертикальный вал АК(рис. Д4.0-Д4.8), вращающийся с постоянной угловой скоростью ω=10 с^-1, закреплен подпятником в точке А и цилиндрическим подшипником в точке, указанной в табл. Д4 в столбце 2 (АВ=ВD=DЕ=ЕК=а). К валу жестко прикреплены тонкий однородный ломаный стержень массой m=10 кг, состоящий из частей 1 и 2 (размеры стержней показаны на рисунках, где b=0,1 м, а их массы m₁ и m₂ пропорциональны длинам), а невесомый стержень длиной с точечной массой на конце m₃ =3 кг на конце; оба стержня лежат в одной плоскости. Точки крепления стержней указаны в таблице в столбцах 3 и 4, а углы даны в столбцах 5-8.

Пренебрегая весом вала, определить реакции подпятника и подшипника. При подсчетах принять а=0,6 м

Указания. Задача Д4- на применение к изучению движения системы принципа Даламбера. При решении задачи учесть, что когда силы инерции частиц тела (в данной задаче стержня) имеют равнодействующую , то численно где ускорение центра масс С тела, но линия действия силы ,в общем случае не проходит через точку С (см. пример Д4).

Пример решения задачи Д 4.

Вертикальный вал длиной 3а (АВ=ВD =DЕ=ЕК=а), закрепленный подпятником А и подшипником D (Рис. Д 4,а), вращается с постоянной угловой скоростью ω. К валу жестко прикреплен в точке Е ломаный однородный стержень массой m и длиной , состоящий из двух частей 1 и 2, а в точке В прикреплен невесомый стержень длиной с точечной массой m ₃ на конце; оба стержня лежат в одной плоскости.

Д а н о:

О п р е д е л и т ь: реакции подпятника А и подшипника D, пренебрегая весом вала.

Решение: 1. Изображаем (с учетом заданных углов) и прикрепленные к нему в точках В и Е стержни (рис. Д4, б). Массы и веса частей 1 и 2 ломаного стержня пропорциональны длинам этих частей и соответственно равны

. (1)

2. Для определения исходных реакций рассмотрим движение заданной механической системы и применим принцип Даламбера. Проведем вращающиеся вместе с валом координатные оси Аху так, чтобы стержни лежали в плоскости ху, и изобразим действующие на систему силы: активные силы – силы тяжести P₁, P₂, P₃ и реакции связей – составляющие реакции подпятника Х_А, У_А и реакцию цилиндрического подшипника R_D.

Согласно принципу Даламбера, присоединим к этим силам силы инерции элементов однородного ломаного стержня и груза, считая его материальной точкой.

Так как вал вращается равномерно, то элементы стержня имеют только нормальные ускорения , направленные к оси вращения, а численно расстояния элементов от оси вращения. Тогда силы инерции - будут направлены от оси вращения, а численно

масса элемента. Так как все пропорциональны , то эпюры этих параллельных сил инерции стержня образуют для части 1 треугольник, а для части 2 –прямоугольник (рис. Д4,б).

Каждую из полученных систем параллельных сил инерции заменим ее равнодействующей, равной главному вектору этих сил. Так как модуль главного вектора сил инерции любого тела имеет значение , где m - масса тела, - ускорение его центра масс, то для частей стержня соответственно получим

(2)

Сила инерции точечной массы 3 должна быть направлена в сторону, противоположную ее ускорению и численно будет равна

(3)

Ускорения центров масс частей 1 и 2 стержня и груза 3 равны:

 

, , , (4)

где расстояния центров масс частей стержня от оси вращения, а соответствующее расстояние груза:

,

, (5)

.

 

 

Рис. Д 4.а

Рис. Д 4. б

 

Подставив в (2) и (3) значения (4) и учтя (5), получим числовые значения :

,

, (6)

.

При этом линии действия равнодействующих пройдут через центры тяжестей соответствующих эпюр сил инерции. Так, линия действия проходит на расстоянии от вершины треугольника Е, где .

3. Согласно принципу Даламбера, приложенные внешние силы (активные и реакции связей) и силы инерции образуют уравновешенную систему сил. Составим для этой плоской системы сил три уравнения равновесия. Получим

;

(7)

Где плечи сил относительно точки А, равные (при подсчетах учтено, что м)/

м,

м. (8)

Подставив в уравнение (7) соответствующие величины из равенств (1), (5), (6), (8) и решив эту систему уравнений (7), найдем искомые реакции.

О т в е т: Х_А=-33,7 Н, У_А= 117,7 Н, R_D=-45,7 Н.

Рис.Д 4.0 Рис. Д4.1

 

 

Таблица Д 4.

Номер условия	Подшипник в точке	Крепление в точке	α, град.	β, град.	γ,град.	φ,град.
ломаного стержня	невесомого стержня	рис.0-4	рис.5-9
	В	D	К
	К	В	D
	К	Е	В
	D	К	В
	К	D	Е
	Е	В	К
	Е	D	К
	К	В	Е
	D	Е	К
	Е	К	D

 

Рис. Д4.2 Рис.Д4.3

 

Рис. Д4.4 Рис. Д4.5

 

 

Рис. Д4.6 Рис. Д4.7

 

 

 

Рис. Д4.8 Рис. Д4.9

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основной

 

1. Яблонский А.А., В.М.Никифорова Курс теоретической механики. Учеб.пособие для вузов: 15-е изд., стер.-М.;КНОРУС,2010.-608с.

2. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики: Учеб. для втузов/С.М.Тарг.-15-е изд.,стер.-М.:Высш.шк.,2005.-415 с.

3. Мещерский И.В. Задачи по теоретической механике: Учеб. пособие для студ.вузов,обуч.по техн.спец./И.В.Мещерский; Под ред. В.А.Пальмова, Д.Д.Меркина.-45-е изд.,стер.-СПб.и др.: Лань,2006.-447 с. 2. Тарг С.М.

Дополнительный

1. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: Учеб. пособие для студ.втузов/[А.А. Яблонский, С. С.Норейко,С.А.Вольфсон и др.];Под общ. ред. А. А. Яблонского.- 11-е изд.,стер.-М.:Интеграл- Пресс,2004.-382 с.

2. Бать М.И и др. Теоретическая механика в примерах и задачах. Учеб.пособ. для вузов. В 2-х т./М.И.Бать, Г.Ю.Джанелидзе, А.С. Кельзон.-9-е изд., перераб.-М.:Наука,1990.-670 с.

3. Теоретическая механика. Терминология. Буквенные обозначения величин: Сборник рекомендуемых терминов. Вып. 102. М.: Наука, 1984. – 48с.

 

Приложение А

Справочное

Приложение А.1. Пример оформления титульного листа курсовой работы

министерство сельского хозяйства российской федерации

Фгоу впо

«санкт-петербургский государственный аграрный университет»