Теорема об изменении количества движения механической системы.

Количеством движения механической системы называется вектор, равный геометрической сумме (главному вектору) количеств движения всех материальных точек этой системы.

(1)

Вектор количества движения механической системы имеет модуль, равный произведению массы системы на скорость ее центра масс и направление этой скорости.

Проецируем вектор на оси координат:

: ; (2)

Проекция количества движения механической системы на каждую координатную ось, равная сумме проекций количеств движения всех точек системы на одну ос, определяется произведением массы системы на проекцию скорости центра масс на эту же ось.

Дифференцируем (1) по времени:

.

Согласно уравнению движения центра масс системы,

.

Следовательно, (3)

Уравнение (3) выражает теорему об изменении количества движения механической системы в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения механической системы геометрически равна главному вектору внешних сил, действующих на эту систему.

Векторному уравнению (3) соответствуют три уравнения в проекциях оси координат:

 

; : (4)

Уравнения (4) показывают, что производная по времени от проекции количества движения механической системы на любую ось равна проекции главного вектора внешних сил, действующих на систему, на ту же ось.

Из уравнений (3) и (4) следует, что изменение количества движения механической системы вызывается только внешними силами.

 

С л е д с т в и я и з т е о р е м ы;

1. Если главный вектор внешних сил за рассматриваемой промежуток времени равен нулю, то количество движения механической системы постоянно.

Из уравнения (3) следует, что если

т.е. . (5)

2. Если проекция главного вектора внешних сил на какую-либо ось за рассматриваемый промежуток времени равна нулю, то проекция количества движения механической системы на эту ось постоянна.

Так, например, при из первого уравнения (4)

откуда

Следствия из теорем об изменении количества движения механической системы выражают закон сохранения количества движения системы.

ЗАДАЧА Д2

Механическая система состоит из прямоугольной вертикальной плиты 1 массой m₁ =18 кг, движущейся вдоль горизонтальных направляющих, и груза D массой m₂ =6 кг (рис. Д2.0-Д2.9, табл. Д2). В момент времени t₀ =0, когда скорость плиты U₀ =2 м/с, груз под действием внутренних сил начинает двигаться по желобу плиты.

На рис 0-3 желоб КЕ прямолинейный и при движении груза расстояние S =АД изменяется по закону , а на рисунке 4-9 желоб –окружность радиуса R= 0,8 м и при движении груза угол изменяется по закону . В таблице Д2 эти зависимости даны отдельно для рисунков 0 и 1, для рис. 2 и 3 и.т.д., где S- выражено в метрах, φ- в радианах, t - в секундах.

Считая груз материальной точкой и пренебрегая всеми сопротивлениями, определить зависимость , т.е. скорость плиты как функцию от времени.

Указания. Задача Д2 на применение теоремы об изменении количества движения системы. При решении составить уравнение, выражающее теорему, в проекции на горизонтальную ось.

 

 

Таблица Д 2

Номер условия
Рис.0,1	Рис. 2,3	Рис 4,5,6	Рис. 7,8,9

 

3.2.2. Пример решения задачи Д2. В центре тяжести А тележки массой m₁, движущейся по гладкой горизонтальной плоскости, укреплен невесомый стержень А D длиной с грузом D массой m₂ на конце (Рис. Д2). В момент времени

t₀ =0, когда скорость тележки U=U₀ стержень А D начинает вращаться вокруг оси А по закону .

Д а н о: m₁ =24 кг, m₂ =12 кг, U₀ =0,5 м/с, =0,6 м, рад (t- в секундах). О п р е д е л и т ь: -закон изменения скорости тележки.

Решение.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из тележки и груза D, в произвольном положении. Изобразим действующие на систему внешние силы: силы тяжести Р₁ и Р₂ и реакции плоскости . Проведем координатные оси Оху так, чтобы ось х была горизонтальна.

Чтобы определить U, воспользуемся теоремой об изменении количества движения системы Q в проекции на ось х. Так как все действующие на систему внешние силы вертикальны (рис. Д2), то и теорема дает

, откуда (1)

Для рассматриваемой механической системы

- количества движения тележки и груза D соответственно (U - скорость тележки, V_D- скорость груза по отношению к осям Оху).Тогда из равенства (1) следует, что

(2)

Для определения V_Dx рассмотрим движение груза D как сложное, считая его движение по отношению к тележке относительным (это движение, совершаемое при вращении стержня А D вокруг оси А), а движение самой тележки – переносным. Тогда

. (3)

Но .

Вектор

Изобразив этот вектор на рисунке Д2 с учетом знака , найдем, что

. Окончательно из равенства (3) получим

(4)

(В данной задаче величину можно найти другим путем, определив абсциссу груза D, для которой, как видно из рисунка Д2, получим .)

При найденном значении V_Dx равенство (2), если учесть, что U_x=U, примет вид

(5)

Постоянную интегрирования С₁ определим по начальным условиям: при t₀ =0 U=U₀. Подстановка этих значенийв уравнение (5) дает и тогда из (5) получим

Отсюда находим следующую зависимость скорости U от времени:

. (6)

Подставив сюда значения соответствующих величин, находим искомую зависимость U от t.

О т в е т: м/с.