Принцип Даламбера для механічної системи

Білет№13

1. Моменти інерції механічної системи

При дослідженні рухів механічної системи недостатньо знати її масу і положення центра мас. Для характеристики розподілу мас в системах, елементи яких беруть участь в обертальному русі, вводять поняття момента інерції. Розрізняють моменти інерції відносно довільного центра (полярний момент інерції), відносно осі (осьовий момент інерції), відносно площини (планарний момент інерції), а також відцентрові моменти інерції.

Полярним моментом інерції механічної системи, що складається з «n» матеріальних точок, відносно деякого центра О називається сума добутків мас точок системи на квадрати їх відстаней від цього центра (рис.314):

(3.49)

Моментом інерції системи відносно довільної осі (наприклад, осі Оz рис.3.14) називають суму добутків мас кожної точки системи на квадрати їх відстаней до цієї осі:

(3.50)

Для суцільних твердих тіл формули (3.49) і (3.50) набувають, Рис. 3.14 відповідно, вигляду:

(3.50')

Радіус інерції. В техніці дуже часто для визначення момента інерції деталей (тіл) складної форми користуються поняттям радіуса інерції цих тіл.

Радіусом інерції тіла відносно даної осі називають відстань від осі до такої точки, в якій потрібно зосередити масу всього тіла, щоб момент інерції однієї цієї точки дорівнював моменту інерції тіла відносно тієї ж осі:

(3.51)

звідкіля:

(3.52)

Планарним моментом інерції називають скалярну величину, яка дорівнює сумі добутків маси кожної точки системи на квадрат відстані цієї точки до певної площини.

Так, коли матеріальна система розглядається в декартовій системі координат (рис.3.14), то її моменти інерції відносно площин , і відповідно будуть дорівнювати:

(3.53)

Крім осьових і полярних моментів інерції, при розв’язанні деяких задач динаміки (наприклад, в теорії зрівноважування роторів) користуються відцентровими моментами інерції (ВМІ).

Відцентровим моментом інерції механічної системи називають величину, яка дорівнює сумі добутків маси кожної точки системи на дві її координати, тобто:

(3.54)

Відцентрові моменти інерції залежать не тільки від напряму координатних осей, а і від вибору початку координат. Тому, коли іде мова про відцентровий момент інерції у певній точці, то під цим розуміють, що початок координат співпадає з цією точкою.

На відміну від осьових, відцентрові моменти інерції можуть бути додатними від’ємними або перетворюватись на нуль.

Якщо два ВМІ, що містять у своїх індексах знак певної координатної осі, дорівнюють нулю, то ця вісь називається головною віссю інерції механічної системи або тіла в даній точці. Наприклад, якщо , то вісь є головною віссю інерції. Якщо до того ця вісь проходить через центр мас тіла (системи), то вона називається головною центральною віссю інерції.

Слід відмітити два частинних випадки, коли зразу можна визначити характер осі:

1. Якщо тіло має площину матеріальної симетрії, то для всіх її точок вісь, перпендикулярна до площини симетрії, є головною віссю інерції.

Якщо тіло (матеріальна система) має вісь матеріальної симетрії, то ця вісь є головною центральною віссю інерції, і її часто називають віссю динамічної симетрії.

 

2. Принцип Д’аламбера для матеріальної точки та системи

 

Принцип Даламбера

Принцип Даламбера дозволяє приводити всі задачі, які відносяться до руху тіл, до більш простої задачі про рівновагу.

Сучасне трактування принципа Даламбера з використанням поняття сили інерції, яке було уведено в механіку на початку ХІХ століття, є фундаментом важливого метода технічної механіки – метода кінетостатики.

Розглянемо матеріальну точку М масою m, що рухається з деяким прискоренням вздовж траєкторії АВ. Припустимо, що на точку діє система активних сил, рівнодіючу яких позначимо через , а також реакції в’язей (у випадку якщо точка є невільною) з рівнодіючою (рис.4.1).

 

 

Тоді, згідно з рівнянням динаміки для невільної точки (3.7):

,

або (4.1)

Позначимо:

. (4.2)

Рис.4.1

Вектор називають даламберовою силою інерції. Її можна розглядати як силу, з якою точка діє на тіла, що надають прискорення даній точці.

Сила інерції матеріальної точки за величиною дорівнює добутку маси точки на модуль її прискорення і має напрям, протилежний напряму прискорення (але не руху).

Таким чином, рівність (4.1) набуває вигляду:

.

(4.3)

Останнє рівняння і виражає принцип Даламбера:

для невільної матеріальної точки в кожний момент часу сума активних сил, що прикладені до точки, реакцій її в’язей і сили інерції дорівнює нулю.

При координатному способі задання руху в системі відліку векторне рівняння (4.3) переходить в систему скалярних рівнянь:

(4.4)

Якщо ж рух точки задано натуральним способом, то будемо мати систему таких рівнянь:

(4.5)

В рівняннях (4.4) і (4.5) ; ; ;

- тангенціальна складова сили інерції;

- нормальна (відцентрова) сила інерції;

(рис.4.2).

Рис.4.2

 

Білет №14

1.

Теорема Гюйгенса

Моменти інерції даного тіла відносно різних осей будуть мати різні значення. Залежність між моментами інерції тіла відносно двох паралельних осей визначається теоремою Гюйгенса:

момент інерції механічної системи (твердого тіла) відносно будь-якої осі дорівнює сумі момента інерції відносно осі, що проходить через центр мас цієї системи (тіла) паралельно даній, і добутку маси системи на квадрат відстані між цими осями.

Припустимо, що відомий момент інерції тіла відносно осі , яка проходить через центр мас тіла. Визначимо момент інерції цього тіла відносно осі , проведеної паралельно до на відстані «d» від неї (рис.3.15). Оберемо довільну точку К тіла масою , яка відстоїть від центральної осі на відстані і на відстані - від осі .

Рис. 3.15

Утворений трикутник з кутом буде паралельним площині (а також ).

З трикутника за теоремою косинусів отримаємо:

Помножимо кожний член цього співвідношення на масу ї точки і просумуємо по всіх точках тіла:

 

Оскільки:

і , то:

.

Але , бо в нашому випадку координата центра мас тіла .

Таким чином, кінцево маємо:

,

(3.55)

що і потрібно було довести.

Білет№13

1. Моменти інерції механічної системи

При дослідженні рухів механічної системи недостатньо знати її масу і положення центра мас. Для характеристики розподілу мас в системах, елементи яких беруть участь в обертальному русі, вводять поняття момента інерції. Розрізняють моменти інерції відносно довільного центра (полярний момент інерції), відносно осі (осьовий момент інерції), відносно площини (планарний момент інерції), а також відцентрові моменти інерції.

Полярним моментом інерції механічної системи, що складається з «n» матеріальних точок, відносно деякого центра О називається сума добутків мас точок системи на квадрати їх відстаней від цього центра (рис.314):

(3.49)

Моментом інерції системи відносно довільної осі (наприклад, осі Оz рис.3.14) називають суму добутків мас кожної точки системи на квадрати їх відстаней до цієї осі:

(3.50)

Для суцільних твердих тіл формули (3.49) і (3.50) набувають, Рис. 3.14 відповідно, вигляду:

(3.50')

Радіус інерції. В техніці дуже часто для визначення момента інерції деталей (тіл) складної форми користуються поняттям радіуса інерції цих тіл.

Радіусом інерції тіла відносно даної осі називають відстань від осі до такої точки, в якій потрібно зосередити масу всього тіла, щоб момент інерції однієї цієї точки дорівнював моменту інерції тіла відносно тієї ж осі:

(3.51)

звідкіля:

(3.52)

Планарним моментом інерції називають скалярну величину, яка дорівнює сумі добутків маси кожної точки системи на квадрат відстані цієї точки до певної площини.

Так, коли матеріальна система розглядається в декартовій системі координат (рис.3.14), то її моменти інерції відносно площин , і відповідно будуть дорівнювати:

(3.53)

Крім осьових і полярних моментів інерції, при розв’язанні деяких задач динаміки (наприклад, в теорії зрівноважування роторів) користуються відцентровими моментами інерції (ВМІ).

Відцентровим моментом інерції механічної системи називають величину, яка дорівнює сумі добутків маси кожної точки системи на дві її координати, тобто:

(3.54)

Відцентрові моменти інерції залежать не тільки від напряму координатних осей, а і від вибору початку координат. Тому, коли іде мова про відцентровий момент інерції у певній точці, то під цим розуміють, що початок координат співпадає з цією точкою.

На відміну від осьових, відцентрові моменти інерції можуть бути додатними від’ємними або перетворюватись на нуль.

Якщо два ВМІ, що містять у своїх індексах знак певної координатної осі, дорівнюють нулю, то ця вісь називається головною віссю інерції механічної системи або тіла в даній точці. Наприклад, якщо , то вісь є головною віссю інерції. Якщо до того ця вісь проходить через центр мас тіла (системи), то вона називається головною центральною віссю інерції.

Слід відмітити два частинних випадки, коли зразу можна визначити характер осі:

1. Якщо тіло має площину матеріальної симетрії, то для всіх її точок вісь, перпендикулярна до площини симетрії, є головною віссю інерції.

Якщо тіло (матеріальна система) має вісь матеріальної симетрії, то ця вісь є головною центральною віссю інерції, і її часто називають віссю динамічної симетрії.

 

2. Принцип Д’аламбера для матеріальної точки та системи

 

Принцип Даламбера

Принцип Даламбера дозволяє приводити всі задачі, які відносяться до руху тіл, до більш простої задачі про рівновагу.

Сучасне трактування принципа Даламбера з використанням поняття сили інерції, яке було уведено в механіку на початку ХІХ століття, є фундаментом важливого метода технічної механіки – метода кінетостатики.

Розглянемо матеріальну точку М масою m, що рухається з деяким прискоренням вздовж траєкторії АВ. Припустимо, що на точку діє система активних сил, рівнодіючу яких позначимо через , а також реакції в’язей (у випадку якщо точка є невільною) з рівнодіючою (рис.4.1).

 

 

Тоді, згідно з рівнянням динаміки для невільної точки (3.7):

,

або (4.1)

Позначимо:

. (4.2)

Рис.4.1

Вектор називають даламберовою силою інерції. Її можна розглядати як силу, з якою точка діє на тіла, що надають прискорення даній точці.

Сила інерції матеріальної точки за величиною дорівнює добутку маси точки на модуль її прискорення і має напрям, протилежний напряму прискорення (але не руху).

Таким чином, рівність (4.1) набуває вигляду:

.

(4.3)

Останнє рівняння і виражає принцип Даламбера:

для невільної матеріальної точки в кожний момент часу сума активних сил, що прикладені до точки, реакцій її в’язей і сили інерції дорівнює нулю.

При координатному способі задання руху в системі відліку векторне рівняння (4.3) переходить в систему скалярних рівнянь:

(4.4)

Якщо ж рух точки задано натуральним способом, то будемо мати систему таких рівнянь:

(4.5)

В рівняннях (4.4) і (4.5) ; ; ;

- тангенціальна складова сили інерції;

- нормальна (відцентрова) сила інерції;

(рис.4.2).

Рис.4.2

 

Принцип Даламбера для механічної системи

Нехай у довільній точці масою системи, що складається з матеріальних точок, прикладені активна сила і реакція в’язі . Тоді для ї точки рівняння кінетостатики запишеться так:

, .

(4.6)

Підсумуємо рівняння по всіх точках механічної системи і дістанемо:

(4.7)

Позначивши головні вектори активних сил, реакцій в’язей і сил інерції відповідно через , вираз (4.7) запишемо у вигляді:

.

(4.8)

Припустимо, що положення ї точки даної системи в декартових координатах визначається радіусом-вектором . Помножимо його векторно на сили, які входять до рівняння (4.6), і визначимо їх моменти відносно центра О:

,

або:

.

Підсумуємо останні співвідношення по всіх точках системи:

.

(4.9)

Якщо використати поняття головних моментів цих сил, то останнє рівняння набуває такої форми:

.

(4.10)

Рівняння (4.8) і (4.10) виражають принцип Даламбера для механічної системи: в кожний момент часу векторні суми головних векторів активних сил, реакцій в’язей і сил інерції і головних моментів цих же сил відносно обраного центра дорівнюють нулю.

Отриманим векторним рівнянням (4.7) і (4.9), чи (4.8) і (4.10) відповідають шість алгебраїчних рівнянь в координатній формі:

(4.11)

Оскільки головний вектор і головний момент внутрішніх сил дорівнюють нулю, то в рівняннях (4.11) внутрішні сили відсутні.