Теорема о сложении скоростей

 

При сложном движении точки абсолютная скорость равна геометрической (векторной) сумме относительной и переносной скоростей (рис. 3.13).

(3.31)

Модуль абсолютной скорости определяется по формуле:

(3.32)

В разных учебниках можно встретить следующие обозначения скоростей:

 

 

Ускорение точки в сложном движении

При определении ускорений точки в сложном движении пользуются теоремой Кориолиса, по которой абсолютное ускорение точки равно сумме трех ускорений: переносного, относительного и поворотного или Кориолисова.

(3.33)

В общем случае, когда и переносное и относительное движения точки криволинейные, формула (3.33) приобретает вид:

(3.34)

где соответственно ускорения начала подвижной системы координат, касательные и нормальные составляющие переносного и относительного ускорений. В случаях, когда переносное движение представляет собой вращение вокруг неподвижной оси начало подвижной системы осей удобно поместить на оси вращения и поэтому Вектор ускорения Кориолиса определяется по формуле:

(3.35)

модуль которого вычисляется:

где w_e – угловая скорость переносного движения,

v_r – относительная скорость точки. Ускорение Кориолиса равно нулю в следующих случаях:

1) если , т.е. в случаях поступательного переносного движения или в моменты обращения в нуль угловой скорости непоступательного переносного движения;

2) если , т.е. в случаях относительного покоя точки или в моменты обращения в нуль относительной скорости точки;

3) если , т.е. в случаях , относительная скорость параллельна оси переносного вращения.

Направление ускорения Кориолиса определяем по правилу векторного произведения. Векторы составляют правую систему ортогональных векторов. Для определения направления ускорения Кориолиса удобно пользоваться правилом

Рис. 3.13

Жуковского: чтобы найти направление ускорения Кориолиса следует спроектировать вектор скорости относительного движения точки на плоскость, перпендикулярную к оси переносного вращения и повернуть эту проекцию в той же плоскости на 90° в сторону переносного вращения (рис. 3.14).

При решении каждой конкретной задачи рекомендуется соблюдать следующий порядок.

1 Разложить сложное (абсолютное) движение точки на относительное и переносное движения.

2 Выбрать неподвижную и подвижную системы координат.

3 Мысленно остановить переносное движение и определить скорость и ускорение точки в относительном движении.

4 Мысленно отвлекаясь от относительного движения, найти скорость и ускорение переносного движения точки.

5 По угловой скорости переносного движения и скорости точки в относительном движении определить Кориолисово ускорение.

Рис. 3.14

6 Изобразить на рисунке векторы относительной и переносной скоростей, относительного, переносного и Кориолисова ускорений или их составляющих.

7 Спроектировать векторы ускорений или их составляющих на оси координат.

8 По найденным проекциям определить искомые скорости и ускорения (модули этих векторов и их направляющие косинусы). В случаях, когда число рассматриваемых векторов не превышает трех, что имеет место при определении скоростей и в некоторых частных случаях определения ускорений, можно использовать формулы теоремы синусов и теоремы косинусов, т.е. непосредственно рассмотреть треугольники векторов скоростей и ускорений.

 

Задача К2

Прямоугольная пластина (рис. К2.0 – К2.4) или круглая пластина радиуса
R = 60 см (рис. К2.5 – К2.9) вращается вокруг неподвижной оси по закону j = f₁(t), заданному в таблице К4. Положительное направление отсчета угла j показано на рисунках дуговой стрелкой. На рисунках 0, 1, 2, 5, 6 ось вращения перпендикулярна плоскости пластины и проходит через точку О (пластина вращается в своей плоскости); на рисунках 3, 4, 7, 8, 9 ось вращения ОО₁ лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве).

По пластине вдоль прямой BD (рис. 0 – 4) или по окружности радиуса R
(рис. 5 – 9) движется точка М; закон её относительного движения, т.е. зависимость
s = AM = f₂(t) (s выражено в сантиметрах, t – в секундах), задан отдельно для
рис. 0 – 4 и для рис. 5 – 9; там же даны размеры b и l. На рисунках точка М показана в положении, при котором s = AM > 0 (при s < 0 точка М находится по другую сторону от т. А).

Таблица К4

Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t₁ = 1 с.

 

 

 

 

Указания. Задача К2 – на сложное движение точки. Для её решения воспользоваться теоремами о сложении скоростей и о сложении ускорений. Прежде чем производить все расчеты, следует по условиям задачи определить, где находится точка М на пластине в момент времени t₁ = 1 с, и изобразить точку именно в этом положении (а не в произвольном, показанном на рисунках к задаче).

В случаях, относящихся к рис. 5 – 9, при решении задачи не подставлять числового значения R, пока не будут определены положение точки М в момент времени t₁ = 1 c и угол между радиусами СМ и CA в этот момент.

Рассмотрим пример решения этой задачи.

 

 

 

	Рис. К2.0		Рис. К2.1		Рис. К2.2

 

 

 

	Рис. К2.3		Рис. К2.4		Рис. К2.5

 

 

	Рис. К2.6		Рис. К2.7

 

	Рис. К2.8		Рис. К2.9

 

 

Рис. К2

Пример К2. Круглая пластина радиуса R = 60 см вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости пластины по закону j = f₁(t). Положительное направление отсчета угла j показано на рис. К2 стрелкой. Ось вращения расположена на расстоянии ОС = l от центра пластины. По дуге окружности радиуса R движется точка М по закону Начало относительного движения в точке А, положительное направление отсчета s – от А к М.

Дано: R = 0,5 м; j = t² – 0,5t³; ; (j – в радианах, s – в метрах,
t – в секундах).

Определить: в момент времени t₁ = 1 с.

Решение

Рис. К2

1 Рассмотрим движение точки М как сложное, считая её движение по дуге окружности относительным, а вращение плиты – переносным движением. Исследование задачи проведем в следующей последовательности.

 

Найдем положение точки М₁ в относительном движении и определим угловую скорость и угловое ускорение плиты при t₁ = 1 c. Имеем дуговую координату

,

которой соответствует центральный угол

Знак (–) свидетельствует о том, что дуговую координату s₁ или центральный угол y₁ в момент времени t₁ = 1 c. Необходимо отложить против хода часовой стрелки, т.е. точка М₁ находится слева от точки А. Здесь и далее индекс "1" при символах означает, что соответствующая величина вычислена при t₁ = 1 с.

Имеем угловую скорость и угловое ускорение плиты:

, = 2×1 – 1,5×1 = 0,5 с^–1.

, = 2 – 3×1 = –1 с^–2.

Направления соответственно показаны на рис. К2

 

2 Определение абсолютной скорости. В момент времени t₁ = 1 с по формуле (3.31) имеем:

При определении относительной скорости мысленно остановим переносное движение.

Знак (–) показывает, что вектор направлен в сторону отрицательного отсчета дуговой координаты s.

При определении переносной скорости мысленно остановим относительное движение, т.е. будем считать, что точка находится в положении М₁, жестко связана с плитой и вместе с плитой вращается вокруг точки О.

где , = 0,5×1,01» 0,5 м/с.

Модуль абсолютной скорости в момент времени t₁ = 1 c найдем по теореме косинусов:

.

Угол b, в свою очередь, определим по теореме синусов:

Отсюда b = 17°36¢.

Тогда

3 Определение абсолютного ускорения. В момент времени t₁ = 1 c по формуле (3.34) имеем:

Найдем касательную составляющую относительного ускорения:

Касательное ускорение есть постоянная величина и, как показывает знак
(–), направлено в противоположную сторону . Нормальное ускорение относительного движения равно

,

которое направлено к центру кривизны относительной траектории, т.е. к центру окружности радиуса R.

Касательная и нормальная составляющие ускорения переносного движения точки определяются соответственно по формулам:

Причем направлено по касательной к траектории переносного движения, к дуге окружности радиуса OM₁ = h₁ = 1,01 м; а – к центру этой окружности, т.е. к точке О.

Вычислим модуль Кориолисова ускорения:

где g – угол между векторами . Из рис. К2 очевидно, что g = 90°.

Таким образом = 2×0,5×1,57×1 = 1,57 м/с².

Направление ускорения Кориолиса определяется по правилу Жуковского. При этом будем учитывать, что лежит в плоскости, перпендикулярной т.е. в плоскости диска. Тогда поворотом вектора на 90° по ходу переносного вращения получим направление Кориолисова ускорения (рис. К2).

Модуль абсолютного ускорения получаем следующим образом. С началом в точке М₁ выбираем абсолютную систему координат. Учитывая, что все векторы полученных выше ускорений лежат в одной в плоскости, в плоскости диска, достаточно выбрать двумерную систему координат. Причем оси этой системы рационально направить по взаимоперпендикулярным векторам слагаемых ускорений. Поэтому ось М₁х направляем к центру окружности радиуса R, по направлению векторов , ось М₁у – по касательной к этой окружности, по направлению вектора Затем все слагаемые ускорения спроектируем на эти оси. Вычислив алгебраические суммы одноименных проекций векторов ускорений, определим соответствующие проекции искомого вектора на эти оси.

Модуль направления вектора абсолютного ускорения точки определяется по формулам:

Таким образом, абсолютная скорость точки М₁ при t₁ = 1 c имеет модуль = 2,05 м/с и образует угол с осью М₁у (с касательной)

.

При этом абсолютное ускорение имеет модуль а _а1 = 7,64 м/с² и образует с осью М₁х угол a = 22°40¢.