Сложение пар в пространстве и на плоскости

 

Теорема. Действующую на абсолютно твёрдое тело пространственную систему пар можно заменить одной парой, момент которой равен геометрической сумме моментов действующих пар.

Пары и , лежащие в пересекающихся плоскостях I и II и имеющие моменты и (рис. 36), согласно этой теореме можно заменить одной парой , момент которой равен

. (2.8)

Момент определяется диагональю параллелограмма, построенного на векторах и .

Частный случай сложения пар на плоскости.

Если на тело действует плоская система пар , то их векторы , и параллельны (рис. 37). Модуль результирующего вектора системы параллельных векторов равен алгебраической сумме их модулей:

. (2.9)

Отсюда следует, что плоскую систему пар можно заменить одной парой, момент которой равен алгебраической сумме моментов пар системы.

 

Условия равновесия пространственной и плоской

Систем пар

 

Для равновесия пространственной системы пар необходимо и достаточно, чтобы момент результирующей пары (2.8) равнялся нулю

. (2.10)

Геометрические условия равновесия (2.10) выражаются в замкнутости многоугольника пар самого на себя (рис. 38): конец последнего вектора приходит в начало первого.

Аналитические условия равновесия пространственной системы пар получим, спроектировав векторное равенство (2.10) на три координатные оси:

. (2.11)

 

Для равновесия пространственной системы пар необходимо и достаточно, чтобы суммы их проекций на три координатные оси равнялись нулю. С учётом того, что пары на плоскости суммируются алгебраически, аналитическое условие равновесия плоской системы пар получим, приравняв равенство (2.9) к нулю:

. (2.12)

Для равновесия плоской системы пар необходимо и достаточно, чтобы их алгебраическая сумма равнялась нулю.

 

Лемма Пуансо о параллельном переносе силы

 

Действие силы на абсолютно твёрдое тело не изменится, если её перенести параллельно самой себе из данной точки приложения А (рис. 39) в любую другую точку О, приложив при этом пару , равную моменту силы относительно новой точки приложения O .

Пара .

 

Теорема о приведении пространственной произвольной

Системы сил к одному центру (основная теорема статики)

 

Пространственную произвольную систему сил можно привести к произвольному центру О (рис. 40), приложив в этом центре одну силу , равную геометрической сумме всех сил и называемую главным вектором данной системы сил, и одну пару , равную геометрической сумме моментов сил системы относительно центра приведения О и называемую главным моментом системы сил относительно центра приведения О.

Главный вектор и главный момент относительно центра приведения O пространственной произвольной системы сил (рис. 40) равны

. (2.13)

Модуль главного вектора системы сил определяется по его проекции на оси координат

. (2.14)

Зная проекции главного вектора, находим его модуль:

(2.15)

и направляющие косинусы:

.

Аналогично определяются проекции главного момента относительно центра приведения О

.(2.16)

Тогда модуль главного момента равен

. (2.17)

Направляющие косинусы вектора равны

.

Частные случаи приведения пространственной произвольной системы сил к одному центру О:

1. – случай равновесия системы сил.

2. – система сил приводится к равнодействующей, линия действия которой проходит через центр приведения О.

3. – система приводится к одной паре, момент которой не зависит от выбора центра приведения.

4. и угол между ними – система приводится к равнодействующей.

5. – система приводится к динаме.

 

Динамой (силовым винтом) называется совокупность силы и пары, причем сила динамы перпендикулярна плоскости действия пары (рис. 41a).

Или иначе: динамой называется совокупность параллельных векторов силы и пары (рис. 41б).

Если угол между и равен 0, то силовой винт называется правым (рис. 41б,в), если = , то силовой винт называется левым (рис. 41г,д).

д)

Объединяя случаи 2 и 4 приведения пространственной системы сил к равнодействующей, можно отметить, что система сил приводится к равнодействующей, если векторный инвариант системы не равен 0

.

Скалярный инвариант, равный скалярному произведению векторов и , равен 0:

.

 

Частный случай приведения плоской системы сил

К одному центру

 

При приведении плоской произвольной системы сил к произвольному центру О получаем одну силу , равную геометрической сумме сил системы и называемую главным вектором системы сил

, (2.18)

и одну пару , называемую главным моментом системы сил относительно центра приведения О. Учитывая, что при параллельном переносе сил моменты присоединяемых согласно лемме Пуансо пар для плоской системы сил находятся в плоскости действия сил системы, а пары на плоскости суммируются алгебраически, получаем, что для плоской системы сил главный момент относительно центра О равен алгебраической сумме моментов сил системы относительно центра О:

(2.19)

Модуль главного вектора плоской системы сил определяется по его двум проекциям на оси координат

. (2.20)

Тогда ,

.

Частные случаи приведения плоской системы сил к одному центру:

1. – система сил находится в равновесии.

2. – система сил приводится к равнодействующей, линия действия которой проходит через центр приведения О.

3. – система приводится к паре сил, момент которой не зависит от выбора центра приведения О.

4. . Учитывая, что для плоской системы сил вектор главного момента относительно любого центра приведения О всегда перпендикулярен , т.е. , этот случай приведения плоской системы сил аналогичен случаю 4 приведения пространственной системы сил (), значит, в этом случае плоская система сил приводится к равнодействующей.

Можно сделать вывод, что плоская произвольная система сил всегда приводится к равнодействующей, если не находится в равновесии (случай 1) и не приводится к одной паре (случай 3).