Расширенные плоскость и пространство.

Изоброжение конуса

2. Выберем плоскость изображения s параллельно оси данного конуса. Пусть a – плоскость основания конуса, а p – плоскость, проходящая через ось цилиндра, перпендикулярно p. Направление прое­цирования выберем следующим образом. Через вершину проведём прямую в плоскости p, так чтобы она пересекала плоскость a в точке, расположенной вне основания конуса, и так чтобы угол между высотой и прямой был больше 45°. Теперь выберем направление проецирования параллельно.

Пусть – окружность основания конуса, и – взаимно перпенд-ые диаметры этой окружности, причём ||s, ^s. Тогда Îp. Проведём касательные, к. Образующие и назовём контурными.

 

 

При проецировании окружность переходит в эллипс g с осями AB и CD. Прямые и лежат в плоскости p параллельной направлению проецирования, поэтому и проецируются на одну прямую. Точки и проецируются в одну точку, поэтому проекции отрезков и совпадают. Значит, изображение SM контурной образующей будет касательной к g. Аналогично, SN – тоже касательная. Хорда параллельна. Поэтому и на изображении MN || AB.

 

 

Самое главное, что следует уяснить: изображения контурных образующих ни в коем случае не проходят через концы главного диаметра эллипса.

 

§11. Изображение шара.

Пусть – шар-оригинал. Проведём все возможные касательные к шару параллельные направлению проецирования. Они образуют цилиндрическую поверхность, которая касается шара по большой окружности. В пересечении цилиндрической поверхности с плоскостью изображений s

получится эллипс g_o, который наз.очертанием шара. Этот эллипс вместе со своей внутренностью будет проекцией шара (обозначаем F_o).

Если направление проецирования не перпендикулярно плоскости изображений s, то g_o не является окружностью. Не будет окружностью и любая подобная g_o фигура. Такое изображение не будет наглядным. Поэтому мы рассмотрим только изображение шара в ортогональной проекции.

Для того, чтобы сделать изображение более наглядным, кроме очертания шара рисуют ещё изображение какой-либо большой окружности – экватора. Плоскость экватора p не должна быть перпендикулярна плоскости s. В противном случае, экватор будет изображаться отрезком, и изображение не будет наглядным. Также принято изобр-ть полюса – концы диаметра шара, перпендик-ого плоскости экватора.

Изучим, как правильно изображать экватор и полюса. Пусть и – взаимно перпендикулярные диаметры экватора, причём ||s. Пусть A _o B _o и C _o D _o – проекции этих диаметров. Тогда | A _o B _o|=| |. Обозначим – радиус шара, j – угол между и плос­костью s. Тогда

| O _o A _o|=,

| O _o C _o|=·cosj, | O _o N _o|=·sinj.

Изображение шара подобно его проекции. Поэтому на изображении тоже выполняются соотношения

| OC |=| OA |·cosj, | ON |=| OA |·sinj. (*)

Проведём через точку C половину хорды CK, а через точку N – половину хорды NM. В D OCK и D ONM

| OK |=| OM |=| OA |,

| OC |=| OK |·cosÐ KOC =| OA |·cosÐ KOC.

| ON |=| OM |·sinÐ OMN =| OA |·sinÐ OMN.

След, Ð KOC =Ð OMN =j и треугол.D KOC,

D OMN равны. Поэтому| KC |=| ON |,| OC |=| NM |. (3)

Итак.

1. Если дано изображение экватора w, мы можем однозначно определить, где располагаются точки N и S, изображающие полюсы. Пусть AB – большой диаметр для w, CD – малый диаметр. Проведём через точку C половину хорды CK параллельно AB. На перпендикуляре к AB, проходящем через точку O отложим отрезки ON и OS, равные CK.

2. Если дано изображение полюсов N и S, мы можем построить изображение экватора. Большой диаметр изображения экватора – это диаметр очертания шара, перпендикулярный NS. Малый диаметр CD лежит на прямой NS. Проведём через точку N – половину хорды NM. Тогда | OC |=| OD |=| NM |.

Ещё раз подчеркнём, что полюсы лежат на очертании шара тогда и только тогда, когда экватор изображается отрезком.

При построении изображения шара вместе с декартовой СК следует учесть, что оси Ox и Oy должны проходить через сопряжённые диаметры экватора, а ось Oz – через полюс. Если у нас уже изображена ось Ox, мы проводим вспомогательную хорду изображения экватора, параллельную Ox, и через середину хорды должна проходить Oy.

 

12. Аксонометрия. Изображение точек.

Пусть = {, , , } – аффинный репер в пространстве. Пусть
= , = , = . Пусть – произвольная точка в пространстве с координатами (x ₁, x ₂, x ₃). Это означает, что

= x ₁ + x ₂ + x ₃ .

Пусть – проекция точки на координатную плоск. параллельно вектору, а – проекция точки на ось Ox параллельно вектору. Тогда ломаная наз.координатной ломаной точки. Для её звеньев выполнено

||=| x ₁

X2

X3. Выберем плоскость изображений s и направление проецирования не параллельно координатным плоскостям. При аффинном отображении сохраняется соотношение отрезков, принадл-их параллельным прямым. Поэтому и на изображении выполняется |OMo|=|x1||OE1|, |MoM3|=|x2||OE2|, |M3M|=|x3||OE3|. Из этого вытекает следующее утверждение. Если на плоскости s дано изображение аффинного репера, то мы можем построить изображение M данной точки по её координатам. Если даны изображения аффинного репера и координатной ломаной, то мы можем определить координаты точки. Если мы умеем строить изображения точек в системе координат, то мы можем строить и изображение пространственных фигур. Этот метод называется методом аксонометрического проецирования. Точку наз. началом аксонометрической СК, а оси OE1, OE2, OE3 – аксонометрическими осями. Пусть, – проекции точки M на координатные плоскости и соответственно параллельно координатным осям и. Пусть M1, M2 – изображения этих точек. Тогда точка M называется аксонометрической проекцией точки, а M1, M2, M3 называются её вторичными проекциями. Для того, чтобы определить координаты точки по её изображению, достаточно иметь на чертеже её аксонометрическую проекцию и любую из вторичных. Но, если не оговорено, о какой вторичной проекции идёт речь, то предполагается, что это точка M3. Вместо утвержд. «в пространстве дана точка, аксонометрическая проекция которой есть M, а вторичная M3 будем говорить «дана точка(M, M3)». Изобр-ие прямых и плоскостей в аксонометрической проекции. Будем предполагать, что направление проецирования не параллельно рассматриваемым прямым и плоскостям. Тогда изображением прямой будет прямая, а изображение плоскости будет накрывать всю плоскость s. Прямая на плоскости изображений s задаётся двумя своими точками (M, M3) и (N, N3) или аксонометрической проекцией a и вторичной a3. Тогда говорим, что дана прямая (MN, M3N3) или прямая (a, a3). Если прямая не параллельна оси, то её вторичная проекция есть прямая. Если ||, то её вторичная проекция есть точка. В последнем случае, мы подписываем эту точку всё равно, как a3. Сама ось задаётся на изображении как (OE3, O). Если прямая лежит в плоскости, то её аксонометрическая и вторичная проекции совпадают: b=b3. Рассмотрим возможные варианты расположения двух прямых (a, a3) и (b, b3). Как у параллельных прямых, так и у пересекающихся, могут совпадать либо аксонометрические, либо вторичные проекции. Если совпадают и те и др, то совпадают и сами прямые.                 Плоскость может быть задана тремя своими точками, либо двумя своими прямыми, либо прямой и не лежащей на ней точкой. Пусть – прямая, по которой данная плоскость пересекает координатную плоскость, а p – её изображение. Тогда прямая p называется следом плоскости. Пусть – точка пересечения плоскости с координатной осью, (P, O) – её изображение. Наиболее удобным считается способ изображения плоскости именно с помощью этих элементов: следа p и точки (P, O). Можно также говорить о следах данной плоскости на других координатных плоскостях и; на чертеже они изображены пунктиром. Но если не сказано, о каком следе идёт речь, то предполагается, что это след на плоскости. Вар-ты расположения плоск, при которых 1из вышеупомянутых элемен. отсутствует.             Пусть прямая пересекает координатную плоскость в точке. Аксонометрическая и вторичная проекции этой точки совпадают – это точка X. Точка X называется следом прямой. Если прямая параллельна, то след у неё будет отсутствовать. Можно также говорить о следах прямой на других координатных плоскостях. Если говорится просто «след прямой», то подразумевается, что след на плоскости. Ключом к решению зад на построение явл. следующее очевидное утвержд. Если прямая лежит на плоскости, то её след лежит на следе плоскости.   §13. Задачи на построение в аксонометрической проекции. След-е зад мы будем использовать при построении сечений многогранников. Зад 1.Прямая (a, a3) лежит в плоск. заданной тремя точками (A, A3), (B, B3), (C, C3), не лежащими на одной прямой. По заданной прямой a построить a3. Реш.Строим прямые AB, A3B3, AC, A3C3, BC, B3C3. Мы договорились, что направление проецирования не параллельно рассматриваемым прямым и плоскостям. Поэтому точки A, B, C не лежат на одной прямой и прямые AB, AC, BC не совпадают. Прямая a пересекает две из этих прямых в точках M и N. По этим точкам мы можем построить вторичные проекции M3 и N3 (для этого необходимо провести прямые параллельные OE3). Тогда a3=M3N3. И наоборот, если задана прямая a3, мы можем найти M3 и N3, по ним найти M и N. Тогда a=MN. Но здесь возможна ситуация, когда A3, B3, C3 лежат на одной прямой. Тогда задача не имеет решения. Зад 2.Точка (X, X3) лежит в плоскости заданной тремя точками (A, A3), (B, B3), (C, C3), не лежащими на одной прям. По заданной точке X3 построить X. Реш.Точка (X, X3) лежит в одной плоскости с точками (A, A3), (B, B3), (C, C3). Поэтому прямые (XC, X3C3) и (AB, A3B3) лежат в одной плоскости. Пусть они пересекаются в точке (M, M3) (если эти прямые не пересекаются, то пересекаются прямые (XA, X3A3) и (BC, B3C3), и мы рассмотрим их). Строим:1. M3=X3C3IA3B3; 2. m||OE3, M3Îm; 3. ABIm=M; 4. l||OE3, X3Îl; 5. lICD=X. Аналогично по точке X можем найти X3. Задача 4.Плоскость задана тремя точками (A, A3), (B, B3), (C, C3), не лежащими на одной прямой. Построить её след. Решение. Прямые (AB, A3B3) и (AC, A3C3) лежат на плоскости Þ их следы лежат на следе плоскости. Строим: 1. X=ABIA3B3, Y=ACIA3C3; 2. p=XY – след. Если какая-либо из прямых не имеет следа, то вместо неё рассмотрим прямую (BC, B3C3 §14. Полные и неполные изображения. Пусть s – плоскость изображений. Говорим, что точка задана, если задана её аксонометрическая проекция и одна из вторичных проекций, например, M3. Прямая a считается заданной, если заданы 2её точки или её аксонометрическая и вторичная проекции. Плоскость считается заданной, если заданы элементы, которые её однозначно определяют (например, три точки, которые не принадлежат одной прямой, прямая и точка или две прямые). Пусть на плоск. s дано изображение F некоторой фигуры. Это изобр-ие наз. полным, если к нему можно присоединить изобр-ие R аффинного репера так, что все прямые, точки и плоск, которые определяют фигуру F, будут заданы. Пр1.Данное изображение параллелепипеда является полным. Если к нему присоединить изображение R ={A, B, D, A1} аффинного репера, то все вершины будут заданы, т.е. у каждой вершины можно указать аксонометрическую и вторичную проекции. Напр, у вершины – (A, A), у B1 – (B1, B). Оказывается свойство изображения быть полным или неполным не зависит от выбора присоединённого репера (без д-ва). Если в последнем примере выбрать за изображение репера R ={A, B, D, D1}, то вторичная проекция точки B1 будет отсутствовать, но её можно построить. Для этого нам нужно провести через B1 прямую параллельную AD1 до пересечения с прямой BC Пр 2 изображение шестигранника не явл. полным. Если к нему присоединить изображение R ={A, B, C, S} аффин.репера, то вершины,,, будут заданы, а – нет. У неё есть аксонометрическая проекция D, а в качестве вторичной проекции можем взять любую точку D3, принадлежащую прям.l||AS, проходящей через D, даже если эта точка будет находиться за пределами треуг. ABC. На след-ем чертеже мы выбрали точ. K, а точ. L потом однозначно достраивается. Количество точек, которые необходимо добавить к чертежу, для того, чтобы изображение стало полным, называется коэффициентом неполноты изображения. В последнем примере он равен 1.   Пр3.Данное изображение тетраэдра и прямой имеет коэффициент неполноты равный 2. Для того чтобы оно стало полным, необходимо добавить точки пересечения прямой с гранями пирамиды (и соответственно, часть линии сделать пунктирной). Мы добавляем точки M и N, а точки Mo и No однозначно достраиваются. Задачи на построение на неполном изображении не имеют единственного решения. Недостающие элементы можно добавлять произвольно.   §15. Построение сечений многогранников. Метод соответствия. В дальнейшем, ради удобства изложения, мы не будем отличать оригинал от изобр-ия. Напр, если A – изобр-ие вершины многогранника,то мы наз. её вершиной. Опре. Плоскость называется секущей для многогранника, если по обе стороны от этой плоскости есть точки этого многогранника. Каждая грань многогранника пересекается секущей плоскостью по отрезку. Объединение этих отрезов образует многоугольник, который называется сечением многогранника. Например, сечением тетраэдра может быть треугольник или четы­рёхугольник. Поскольку граней всего 4, то других вариантов быть не может.   Сечением куба может быть трех-, четырёх-, пяти- или шестиугольник. Поскольку граней всего 6, то других вариантов быть не может.           Зад 1.Дано изображение треугольной призмы ABCA1B1C1 и трёх точек M, N, P, которые лежат соответственно на ребре AA1 и гранях ABB1A1, BCC1B1. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через M, N, P. Решение. На чертеже данные точки выделены крупно. Если данному изображению добавить изображение R ={A, B, C, A1} аффинного репера, то все точки будут заданы. Для примера мы показали, как построить вторичную проекцию N3 точки N. Поэтому изображение является полным и задача имеет единственное решение. Точки M и N принадлежат одной грани ABB1A1, поэтому они принадлежат одной стороне сечения. Проводим через нихпрямую линию до пересечения с ребром, но только с тем, которое принадлежит данной грани (на данном чертеже это ребро BB1). Получим точку X. Точки X и P принадлежат одной грани ABB1A1. Проводим через них прямую линию до пересечения с ребром, которое принадлежит данной грани. Получим точку Y. Точки Y и M принадлежат одной грани. Поэтому можем соединить их отрезком. Треугольник MXY – искомое сечение. Возможны варианты, когда MN пересечёт ребро AB, а не BB1. В этом случае нам нужно найти точку, которая лежит в плоскости одной грани с точкой P. 1. MNIBB1=X, MNIAB=D; 2. XPICC1=Y, XPIBC=E; 3. MDEY – искомое сечение. Точно также точка Y может оказаться на продолжении ребра CC1. Этот случай разберите самостоятельно. Зад 3.Дано изображение пятиугольной призмы ABCDEA1B1C1D1E1 и трёх точек M, N, P, которые лежат соответственно на ребрах EE1, DD1 и грани ABB1A1. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через M, N, P. Реш. Мы будем искать пересечение секущей плоскости с рёбрами BB1 и CC1. Строим: 1. BEIP3D=Q3, CEIP3D=R3; 2. поднимаем Q3, R3 до PN и пол-ем т-ки Q и R; 3. MQIBB1=X, MRICC1=Y; 4. XPIAA1=F, XYIBC=G, NYIDC=H; 5. MNHGXF – искомое сечение. Данный путь решения не является единственным. На следующем чертеже показано, как можно было найти пересечение секущей плоскости с ребром AA1. Затем, используя линии FN и AD, мы можем найти пересечение с ребром CC1.   Зад 4.Дано изобр-ие четырёхугольной пирамиды SABCD и трёх точек M, N, P,которые лежат соответственно на ребре SС и гранях SAB, SAD. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через M, N, P. Реш. Строим сначала вторичные проекции данных точек: SPIAD=Po, SNIAB=No. 1. CAIPoNo=Yo;2. SYoIPN=Y; 3. MYISA=X; 4. XPISD=F, XNISB=E; 5. XEMF – искомое сечение §16. Построение сечений многогранников. Метод следов. В этом методе мы первым действием (после нахождения вторичных проекций данных точек) строим след секущей плоскости на плоскости верхнего или нижнего основания призмы или усечённой пирамиды или на основании пирамиды Зад 2.Дано изображение треугольной призмы ABCA1B1C1 и трёх точек M, N, P, которые лежат соответственно на ребре СС1 и гранях ABB1A1, BCC1B1. Построить сечение призмы плоскостью, проходящей через M, N, P. Решение. Мы уже имеем одну точку на верхнем основании призмы, поэтому и след мы будем строить на верхнем основании. Строим вторичные проекции точек N и P на верхнее основание.Затем: 1.NPIN3P3=X; 2.MX=p –след; 3.pIB1C1=D. Дальнейшие действия уже были показаны выше на чертеже.   Зад 3. Реш. Мы будем строить след секущей плоскости на нижнем основании призмы. Строим:1. MNIED=X, MPIEP3=Y; 2. p=XY – след;3. pIBC=G, pIDC=H. Нам нужно найти точку на ребре BB1 или на ребре AA1. В грани ABB1A1 мы уже имеем одну точку P. Поэтому нижнее ребро этой грани, т.е. AB, мы продолжаем до пересечения со следом. 4. ABIp=Z. 5. PZIAA1=F; PZIBB1=K.Дальнейшие действия уже показаны выше. Если окажется, что линия AB не пересекается со следом, то искомая FK тоже будет параллельна следу. Зад4. Реш. 1. PNIPoNo=X; 2. MNICNo=Y;3. p=XY – след; 3. CBIp=Z;4. ZMISB=E; 5. ENISA=G 6. GEMF – иск сечение.   17. Построение сечения цилиндра. Если секущая плоскость задана тремя точками, то мы всегда можем найти её след на плоскости основания цилиндра или конуса и точку (P, O) на его оси. Поэтому считаем, что секущая плоскость задана именно этими элементами. Сначала рас-им случай, когда плоскость пересекает только боковую поверхность цилиндра. Тогда сечением цилиндра будет эллипс и его изображение – тоже эллипс g. Мы знаем способ построения эллипса, если известны два его сопряжённых диаметра. Мы сейчас покажем, как можно найти изображение главных диаметров эллипса. Пусть w и w1 – эллипсы, изображающие нижнее и верхнее основания цилиндра, O и O1 – их центры. Проведём диаметр A3B3 нижнего основания, параллельный следу и сопряжённый ему диаметр C3D3. Для построения C3D3 мы используем хорду K3L3, один конец которой принадлежит контурной образующей. Напомним, что A3B3 и C3D3 изображают перпендикулярные диаметры. Продолжим C3D3 до пересечения со следом. Получим точ X. Прям.PX наз-ём осью сечения. Поднимем точки C3 и D3 до оси сечения. Получим C и D. Отрезок CD является изображением большогодиаметра сечения. Поднимем отрезок A3B3на высоту OP. Получим отрезок AB, который является изображением малого диаметра сечения. Отр-и AB и CD –сопряж-ые диам. эллипса g. Найти ещё точки, в которых эллипс переходит с видимой стороны цилиндра на невидимую, а значит, сплошная линия переходит в пунктир. Это точки пересечения секущей плоскости с контурными образующими. Пусть Y3=K3L3IC3D3. Поднимем Y3 до оси сечения. Получим точку Y. Поднимем хорду K3L3 на высоту YY3. Получим отрезок KL. Мы нашли требуемую точку K, а попутно, ещё одну дополнительную точку L. Точка M, изобр-щая пересечение секущей плоск-и со второй контурной образующей симметрична точкеK относительно точкиP.Допол-но построим точN, симметричнуюL относ-нточки P Покажем способ, как можно найти любое кол-во точек на сечении без испол-ия этих диаметров. выбираем люб. точкуV3 на эллипсе w. Проводим диаметрV3T3 и продолжаем его до пересечения со следом.Получим точкуU. Поднимаем точки V3 и T3 до прямой UP. Получаем две точки V и T на сечении. Выбирая вместо V3 другую точку, получим др. 2 точки на сеч.Если выбрать точку K3, лежащую на контурно образующей, мы найдём точки K и M, в которых сплошная линия на сечении должна перейти в пунктирную. §18. Построение сечения конуса. Опять же считаем, что дан след секущей плоскости на плоскости основания и точка на высоте конуса. Точно так же, как и в случае цилиндра, строим два сопряжённых диаметра AoBo и CoDo основания. При построении используем хорду KoLo, один конец которой лежит на контурной образующей. Продлеваем CoDo до пересечения со следом и находим точку X. PX – ось сечения. Далее строим: SCoIPX=C, SDoIPX=D. Отрезок CD изобр-ет большой диаметр сечения.В отличие от цилиндра, малый диаметр не будет проходить через точку P: он проходит через середину E отрезка CD. Пусть Eo=SEICoDo. Проводим через Eo диаметр основания FoGo||AoBo, а через точку E проводим прямую l||AoBo. Затем, SFoIl=F, SGoIl=G Отрезок FG – изображение малого диаметра сечения. Далее нам нужно найти точки перехода с видимой стороны на невидимую. Пусть Ho=KoLoICoDo, H=SHoICD. Проводим через H прямую h||KoLo. Тогда K=SKoIh и L=SLoIh – две точки на сечении, в точке K сплошная линия должна переходить в пунктирную. Для того чтобынайти вторую такую точку M, надо аналогичным образом воспользоваться хордой MoNo. Для того, чтобы не загромождать изображение, мы покажем только результат. Далее мы покажем другой способ, как можно найти любое количество точек на сечении. Пусть w – эллипс, изображающий основание. Мы выбираем любую точку VoÎw. Проводим диаметр V3T3 и продолжаем его до пересечения со следом. Получим точку U. Построим диаметр VoTo, SVoIUP=V, SToIUP=T. Точки V и T принадлежат сечению. В частности, среди всех точек на w следует выбрать точки, лежащие на контурных образующих. Тогда мы найдём точки K и M, в которых сплошная линия на сечении перех-т в пунктирную. На чертеже показано построение точки M.   §19. Построение сечения шара. Рас-им только сечения шара параллельные или перпендикулярные экватору. Зад 1. Дано очертание сферы g и изображение её экватора – эллипс go. Построить сечение сферы плоскостью параллельной экватору и делящей радиус сферы пополам. Решение. Из условия задачи следует, что сечением сферы будет окружность, центр которой делит отрезок или пополам. Построим сначала изображение полюсов.Пусть AB – это большой диаметр эллипса go, изображающего экватор, CD – малый. Проведём касательную к эллипсу go в точке С. Пусть K – точка её пересечения с очертанием сферы. Тогда ON=OS=CK. Откладываем эти отрезки на прямой CD от точки O и получаем изображение полюсов. Затем находим середины O1 и O2 отрезков ON = OS. Для того чтобы найти длину отрезка A2B2, изображающего большой диаметр сечения, мы воспользуемся вспомогательным чертежом. На нём мы изобразим «оригинал» меридиана, проходящего через точки,,, тем же радиусом, что и очертание сферы. Построим середины и отрезков и, проведём через них хорды и параллельные. Тогда на изображении большие диаметры сечений A1B1 и A2B2 будут иметь такую же длину. Заметим, что их концы ни в коем случае не будут лежать на очертании сферы. Эллипсы g1 и g2, изображающие сечения, будут подобны изображению экватора. Поэтому B2С2||BС. Это позволяет найти вершину С2, а затем и D2. Мы имеем два главных диаметра эллипса g2 и можем применить любой из способов построения дополнительных точек на эллипсе, для того чтобы изобразить эллипс g2. Для того чтобы не загромождать чертёж, мы на первом чертеже изобразили только сечение g2. Этот эллипс касается очертания сферы(точки L и M),и в этих точках видимая часть линии переходит в неви­димую. Изобразим теперь сферу вместе с двумя сечениями без вспомогательных линий, использовавшихся при построении. §20. Смешанные фигуры. К категории задач на смешанные фигуры относятся два типа задач. Первый тип: построить изображение одной пространственной фигуры, вписанной в другую. Второй тип: построить изображение общих точек двух пространственных фигур. Второй тип задач ещё называют позиционными задачами. К ним, в частности, относятся задачи на построение сечений. Задача 1. Дано очертание сферы g и изображение её экватора – эллипс go. Построить изображение правильной четырёхугольной призмы, вписанной в сферу, если её высота равна радиусу и параллельна линии, соединяющей полюсы. Решение. Из условия задачи следует, что основания призмы в оригинале перпендикулярны отрезку и делят отрезки и пополам. Поэтому основания призмы вписаны в окружности, которые получаются в сечении сферы плоскостями, параллельными экватору, и центры и этих окружностей – это середины отрезков и. Такие сечения мы изображали в предыдущем параграфе. Построим изображение PQRT квадрата, вписанное в g2. Для того чтобы найти его вершины, требуется всего лишь провести два сопряжённых диаметра PR и QT эллипса g2. С помощью параллельного переноса на вектор получаем изображение P1Q1R1T1 квадрата, вписанное в g1. Остаётся провести изображения боковых рёбер призмы.     §21. Метрические задачи. Пусть нам известно, что репер = {,,, } явлортонормированным. Пусть на плоскости изображений s дано изображениеR ={O, E1, E2, E3} этого репера и даны две точки (M, M3), (N, N3). Тогда по чертежу мы можем определить координаты оригиналов (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) и найти расстояние между ними о формуле| | =. На самом деле, не обязательно требовать, чтобы репер был ортонормированным. Достаточно знать длины отрезков ||, ||, || и углы между ними. Тогда мы сможем составить матрицу Грамма G=(gij) и вычислить расстояние между точками и. Репер, матрица Грамма которого нам известна, будем называть евклидовым. Для решения многих задач на построение достаточно знать, что репер определён своим изображением с точностью до подобия. Напр, дано изображение куба. Тогда можем ск-ть,что R ={A, B, D, A1}явл изобр-ем репера,подобного ортонорм-ому. Опр. Изобр-ие F фигуры называется евклидово определённым, если нему можно добавить изобр-ие репера, подобного евклидовому, так что изобр-ие станет полным (пространственных фигур, так и плоских). Зад1 Дано изображение ABC прямоугольного треугольника, у которого Ð=30°,Ð =90°. Построить изобр-ие высоты проведённой из вершины прямого угла. 1 сп. Построить оригинал треугольника мы не можем, т.к. не знаем длины сторон, но мы можем построить DAoBoCo подобный оригиналу и в нём построить высоту CoHo. Искомая точка H делит AB в том же отношении, в каком Ho делит AoBo. Более того, можем построить DAoBoCo так, чтобы отрезки AB и AoBo совпадали. Тогда Ho совпадает с H. 2сп. Можем вычислить, что делит в отношении 3:1.Значит и H тоже делит AB в отношении 3:1. Зад 2. Дано изображение ABCDA1B1C1D1 куба. Построить изображение перпендикуляра, проведённого из точки к диагонали 1. Реш. Пусть в оригинале сторона куба равна a. Тогда можем вычислить,что | |=a, |1|=a. Мы строим треугол. A¢C¢C1¢ подобный D1, в нём проводим высоту C¢H¢. Искомая точ H делит AC1 в том же отношении, в каком H¢ делит A¢C1¢.     Мы из точки проводим отрезок, равный C1A Из точки проводим прямую, параллельную AA¢. В пересечении с C1A получаем точку H. Переносим отрезок C1H на основной чертёж. CH есть изображение перпендикуляра. Задача 3. Дано изображение ABCA1B1C1 правильной треугольной призмы у которой высота равна стороне основания. Построить изображение перпендикуляра, проведённого из точки к плоскости 1. Решение. Из соображений симметрии очевидно, что перпендикуляр должен падать на медиану 1 треугольника 1. Значит, он лежит в плоскости треугольника 1. Найдём его стороны, если каждое ребро призмы равно a. | |=a, |1 |===a. Строим теперь DA¢A1¢D¢, подобный оригиналу D1. В нём проводим высоту A¢E¢. Искомая точка E делит отрезок A1D в том же отношении, в каком E¢ делит отрезок A1¢D¢.     22. Расширенная прямая. Пусть a и a¢ – две пересекающиеся прямые, а S – точка, лежащая вместе с ними в одной плоскости, S Ï a, S Ï a¢. Рассмотрим проецирование прямой a на прямую a¢ из точки S. Пусть A Î a, SA ½½ a¢. Тогда точка A не имеет проекции. Догов-ся считать, что на a¢ добавляется новая точка A¢¥, которая одновременно принадлежит прям. SA. Назовем ее несобственной точкой прямых a¢ и SA. Тогда A¢¥ будет проекцией точки A. Обозн-е A¢¥ объясняется так: если точкаM стремится по прямой a к точке A, то ее проекция M ¢ бесконечно удаляется по прямой a¢. Аналогично, если B ¢Î a¢ и SB ¢½½ a, то на a не сущ-ет точки с проекцией B ¢. Выход из этой ситуации такой же: добавим на прямой a несобственную точку B¥ с условием, что она принадлежит также и прям. SB ¢. Тогда B ¢– проекция точки B¥. Таким образом: 1) на каждой прямой добавляется одна точка, которая наз. несобственной и обозн.значком ¥; 2) все параллельные друг другу прямые имеют общую несобственную точку; 3) непараллельные прямые имеют разные несобственные точки. Очевидно, что каждая несобственная точка задается прямой. Обычные точки будем называть собственными. Опр.1.1.1 Прямая,пополненная несобственной точкой наз. расширенной или проективной прямой. Прямую a, расширенную несобственной точкой A¥, будем обозначать; = a U A¥.Центральное проецирование расширенной прямой на расширенную прямую – взаимнооднозначное отображение.

Теорема Дезарга.

Опр. 2.8.1. Трехвершинником на плоскости наз. фигура, которая состоит из трех точек, которые не лежат на одной прямой, и трех прямых, которые проходят через эти точки. Точки наз. вершинами, а прямые – сторонами трехвершинника.

Пусть ABC и A ¢ B ¢ C ¢ – два трехвершинника. Будем наз. соответственными вершины A и A ¢, B и B ¢, C и C ¢, а также стороны a = BC и a ¢ = B ¢ C ¢, b = AC и b ¢ = A ¢ C ¢, c = AB и c ¢ = A ¢ B ¢.

Теорема Дезарга. Если соответственные стороны трехвершинников ABC и A ¢ B ¢ C ¢ пересекаются в точках M, N, P, лежащих на одной прямой, то прямые, соединяющие соответственные вершины, сходятся в одной точке.

Обратная теорема Дезарга. Если прямые, соединяющие соответственные вершины трехвершинников ABC и A ¢ B ¢ C ¢, сходятся в одной

точке, то соответственные стороны этих трехвершинников пересекаются в точках, лежащих на одной прямой.

Эти теоремы двойственные друг другу. Согласно принципу двойственности достаточно доказать одну из них, и тогда другая тоже будет верна. Мы докажем вторую теорему.

Пусть прямые AA ¢, BB ¢, CC ¢ имеют общую точку S. Пусть M = a I a ¢, N = b I b ¢, P = c I c ¢. Необходимо доказать, что M, N, P лежат на одной прямой. Для этого выберем на плоскости проективную систему координат, и запишем координаты точек A (a_i), B (b_i), C (c_i), A ¢(a ¢ _i), B ¢(b ¢ _i), C ¢(c ¢ _i), S (s_i), i =1, 2, 3. Поскольку S лежит на AA ¢, BB ¢, CC ¢, то

s_i = l a_i +l¢ a ¢ _i, s_i = m b_i + m¢ b ¢ _i, s_i = n c_i + n¢ c ¢ _i, i =1, 2, 3. Þ

l a_i – m b_i = m¢ b ¢ _i – l¢ a ¢ _i = p_i,

Þ m b_i – n c_i = n¢ c ¢ _i – m¢ a ¢ _i = m_i,

n c_i – l a_i = l¢ a ¢ _i – n¢ c ¢ _i = n_i, i =1, 2, 3,

где p_i, m_i, n_i – координаты точек P, M, N. Сложив эти равенства, получим p_i + m_i + n_i = 0. Это значит, что P, M, N лежат на одной прямой s.

 

32 Определение проективного преобразования.

Опр. 3.1.1. Пусть и – две проективные плоскости, R – проективный репер в, R ¢ – в. Проективным отображениемна назы-вается отображение, действующее по правилу: точка M Î c координатами (x ₁, x ₂, x ₃) в репере R переходит в точку M ¢Î с теми же координатами в репере R ¢.

Отсюда, в частности, вытекает, что A ₁ переходит в A ¢₁ , A ₂– в A ¢₂, A ₃– в A ¢₃, E – в E ¢, т.е R переходит в R ¢.

Можно показать, что проективным отображением будет перспективное отображение на, которое возникает при центральном проецировании на, а также любая композиция перспективных отображений плоскости на плоскость.

Опр. 3.1.2. Проективным преобразованием плоскости называется проективное отображение на себя. Оно задается двумя реперами R и R ¢ в плоскости.

Движение, подобие и аффинное преобразование плоскости являются частными случаями проективных преобразований.

3.2. Формулы проективного преобразования.

Пусть f : ® – проективное преобразование, которое задается двумя реперами R и R ¢, а С – матрица перехода от первого репера ко второму. Пусть M ¢ = f (M). Найдем связь между координатами M и M ¢ в одном репере, например, в R. Пусть M (x ₁, x ₂, x ₃) _R, тогда M ¢ имеет такие же координаты, только относительно R ¢. Пусть M ¢(x ¢₁, x ¢₂, x ¢₃) _R. Мы видим, что задача сводится к нахождению связи между координатами одной и той же точки M ¢ в разных реперах R и R ¢, а эта связь задается формулами (2.6.1). Значит,

l x ¢ _i = c_ikx_k, i = 1, 2, 3. (3.2.1)

Еще раз подчеркнем, что здесь x_k – это координаты точки до преобразования, а x ¢ _i – координаты образа этой точки.

Замечание. Проективное преобразование точек прямой определяется аналогично, т.е. с помощью двух реперов R = { A ₁, A ₂, E }, R ¢= { A ¢₁, A ¢₂, E ¢} на этой прямой и состоит в том, что точка M (x ₁: x ₂) _R переходит в M ¢(x ₁: x ₂) _{R ¢}. Формулы преобразования имеют вид (3.2.1), где i, k = 1, 2.

Формулы проективных преобразований записываются в матричном виде: l X ¢= CX. И каждому проективному преобразованию соответствует своя невырожденная матрица C.

 

33 Основное свойство проективных преобразований.

Теор 3.3.1. При проективном преобразовании плоск-и прям переходит в прямую.

Пусть преобразование задано реперами R и R ¢, а прямая имеет уравнение относительно R: u ₁ x ₁+ u ₂ x ₂ + u ₃ x ₃ = 0. Образ этой прямой будет удовлетворять такому же уравнению относительно R ¢, а значит, это тоже будет прямая.

Опр. 3.4.1. Гомологией называется нетождественное проективное преобразование плоскости, имеющее точечно неподвижную (инвариант-ную) прямую, называемую осью гомологии.

Свойства гомологии.

1. Прямая, проходящая через две несовпадающие соответственные точки,

преобразуется в себя (является неподвижной).

2. Прямые, проходящие через несовпадающие соответственные точки (не

принадлежащие одной прямой), проходят через одну неподвижную

(инвариантную) точку, называемую центром гомологии.

3. Прямая, не проходящая через центр гомологии, и ее образ Перес-ся

на оси гомологии.

Опр. 3.4.1. Гомология, центр которой не принадлежит оси, наз. гиперболической. Гомология, центр которой принадлежит оси, наз. параболической.

Гомология задается осью s, центром S и парой соответственных точек, лежащих на прям, проходящей через центр. Обозн.такую гомологиюG(S, s; A, A ¢).

Соответственны