Гармоническая четверка точек.

Опр. 4.3.1. Упорядоченная четверка точек A, B, C, D прямой называется гармонической, если (ABCD) = –1. При этом точка D называется четвертой гармонической к точкам A, B, C.

Свойства. 1. " A, B, C Î $! D Î: (ABCD) =–1.

2. (ABCD) =–1 Þ (CDAB) =–1, (ABDC) =–1, (BACD) =–1.

3. Если C – середина отрезка AB, то четвертой гармоничной к ABC будет несобственная точка.

4. Для A, B, D _¥четвертой гармонической является середина отрезка AB.

Доказательства опираются на определение 4.3.1 и свойства из п^о 4.1.

Опр. 4.3.2. Полным четырехвершинником наз. фигура, которая состоит из четырех точек расширенной плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и шести прямых, которые про-ходят через все пары этих точек. Точки наз. вершинами, а прямые – сторонами четырехвершинника.

Стороны, которые не имеют общих вершин называются противоположными.

Точки A, B, C пересечения противоположных сторон называются диагональными точками, а прямые, которые проходят через пары этих точек называются диагоналями (AB, AC, BC).

Теорема 4.3.1. На каждой диагонали есть гармоническая четверка точек, состоящая из двух диагональных точек и двух точек пересечения этой диагонали со сторонами, которые проходят через третью диагональную точку.

Д-ем, напр, что A, B, X, Y – гармоническая четверка (см. чертеж). Для этого спроецируем эти точки из точки N на прямую MP; получим M, P, C, Y. Затем спроецируем полученные точки из Q на прямую AB;получим B, A, X, Y.

Поскольку сложное отношение сохраняется при центральном проецировании, то (ABXY ) = (BAXY ) = Þ(ABXY )² = 1Û(ABXY ) = ±1.

Но (ABXY ) = 1 Þ X = Y. Значит, (ABXY ) = –1.

Эта теорема позволяет строить четвертую гармоническую точку.

Пусть даны точки A, B, X; требуется построить четвертую гармоническую к ним точку Y. Строим 1. две произвольные прямые 1, 2, проходящие через A ;

2. произвольную прям 3, проходящую через X ; 3. пересечение прямой 3 с прям-и 1,2 –точки N, Q ; 4. прямые BQ и BN ; 5. точки M, P, прям MP ; 6. MP I AB = Y

38 Определение и типы кривых второго порядка.

Опр. 5.1.1. Кривой второго порядка на проективной плоскости называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

а ₁₁ х ₁² + а ₂₂ х ₂² + a ₃₃ х ₃² + 2 а ₁₂ х ₁ х ₂ + 2 а ₁₃ х ₁ х ₃ + 2 а ₂₃ х ₂ х ₃= 0, (5.1.1)

где а ₁₁, …, а ₂₃ – действительные числа, не все из которых равны нулю.

Коротко это уравнение можно записать так:

а_ijх_iх_j = 0 (а_ij = а_ji). (5.1.1¢ )

Примеры (классы) кривых второго порядка:

1. х ₁² + х ₂² – х ₃² = 0; 2. х ₁² – х ₂² = 0; 3. х ₁² + х ₂² = 0;

4. х ₁² = 0; 5. х ₁² + х ₂² + х ₃² = 0.

Первая кривая называется овальной кривой второго порядка (это эллипс, гипербола или парабола вместе с их несобственными точками). Вторая – пара прямых. Третья – пара мнимых прямых. Четвертая – двойная прямая. Пятая – мнимая кривая.

Можно доказать, что любая кривая второго порядка в соответствующей системе координат имеет одно из пяти уравнений, и, значит, является одной из пяти вышеупомянутых кривых.

Замечание. Уравнение (5.1.1) удобно записывать в матричном виде:

X ^T AX = 0, A ^T = A. (5.1.1² )

 

39 Пересечение кривой второго порядка с прямой.

Пусть кривая второго порядка w задана уравнением (5.1.1) и A (a_i), B (b_i) – две точки. Найдем пересечение прямой AB с кривой w. Уравнение прямой AB (п^о2.7):

х_i = l a_i + m b_i. (5.2.1)

Подставим (5.2.1) в (5.1.1¢ ):

а_ij (l a_i + m b_i)(l a_j + m b_j) = 0,

l² а_ija_ia_j + 2lm а_ija_ib_j + m² а_ijb_ib_j = 0, (5.2.2)

Это уравнение вида al² + 2blm + gm² = 0. (*)

Возможны следующие случаи.

1. a = b = g = 0; тогда l и m любые, AB Ì w.

2. a = g = 0, b ¹ 0; тогда l = 0 или m = 0; это значит AB I w = { A, B }.

3. a ¹ 0 или g ¹ 0; пусть g ¹ 0, тогда разделим (*) на l²:

g(m/l)² + 2b(m/l) + a = 0; (5.2.3)

Это уравнение относительно неизвестного m/l имеет два корня (различные или совпадающие действительные, или комплексно-сопряженные). Под-ставляем l₁, m₁ и l₂, m₂ в (5.2.1) и получаем две точки пересечения (действительные или комплексные, а, может быть, совпадающие).

5.3. Касательная к кривой второго порядка.

Опр. 5.3.1. Касательной к кривой 2 порядка w называется прямая, которая имеет с w одну (двойную) общую точку.

Пусть w задана уравнением (5.1.1) и A (a_i)Î w. Составим уравнение касательной l к w в точке A . Поскольку A Î w, то

а_ija_ia_j = 0. (5.3.1)

Пусть B (b_i)Î l. Тогда уравнение прямой AB: х_i = l a_i + m b_i. Пересечение AB с w находится из уравнения (5.2.2). Поскольку AB – касательная, то это уравнение должно свестись до m² = 0. С учетом (5.3.1) остается потребовать

а_ija_ib_j = 0.

Это условие принадлежности B касательной l . Обозначим, как обычно, координаты B через x_i; тогда уравнение касательной к w в точке A (a_i):

(а_ija_i) x_j = 0, (5.3.2) или

(а ₁₁ а ₁+ а ₁₂ a ₂ + а ₁₃ a ₃) х ₁ + (а ₁₂ а ₁+ а ₂₂ а ₂+ а ₂₃ a ₃) х ₂ + (а ₁₃ а ₁+ а ₂₃ а ₂+ а ₃₃ a ₃) х ₃= 0. (5.3.2¢)

40Полюс и поляра.

Опр. 5.4.1. Пусть кривая 2 порядка w задана в плоскости Ур-ем (5.1.1), и A (a_i) – произвольная точка плоскости . Полярой точки A относительно w наз множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

(а_ija_i) x_j = 0 Û u_j x_j = 0, (5.4.1)

где мы обозначили u_j = а_ija_i. Мы видим, что поляра – это прямая (если не все u_j = 0). Точка A называется полюсом этой прямой. Уравнение (5.4.1) совпадает с (5.3.2), и поэтому, если A Î w, то полярой к A будет касательная к кривой в точке A

5.5. Геометрический смысл поляры.

Опр. 5.5.1. Точка B называется сопряженной с точкой A относительно кривой w, если (ABM ₁ M ₂) = –1, где { M ₁, M ₂} = AB I w.

Очевидно, что

1. если B сопряжена с A , то A сопряжена с B;

2. на каждой прямой, которая проходит через A, существует единственная точка B, сопряженная с A (четвертая гармоническая к M ₁, M ₂, A).

Пусть заданы точки A (a_i), B (b_i) и кривая w с помощью уравнения (5.1.1). По определению (ABM ₁ M ₂) = –1. Поскольку { M ₁, M ₂} Î AB, то координаты M ₁, M ₂ можно записать так: l₁ a_i + m₁ b_i, l₂ a_i + m₂ b_i, где m₁/l₁ и m₂/l₂ – корни уравнения (5.2.2). В соответствии с (4.2.2)

(ABM ₁ M ₂) =:.

Поэтому

: = –1 Û + = 0.

По теореме Виета для Ур-ия (5.2.2) получаем а_ija_ib_j = 0, (5.5.1)

Это и есть условие сопряженности точек относительно кривой w.

Сравним теперь (5.5.1) и (5.4.1). Мы видим, что справедлива следующая теорема.

Теорема 5.5.1. Поляра точки A Ïw относительно кривой второго порядка w есть множество точек, сопряженных к A относительно w.

 

 

41 Принцип взаимности поляр.

Теорема 5.6.1. Если точка B принадлежит поляре точки A, то A принадлежит поляре точки B.

Пусть кривая w имеет уравнение (5.1.1), а точки A и B – координаты a_i и b_i. Пусть p (A) и p (B) – поляры точек A и B. Ур-ие p (A):(а_ija_i) x_j = 0; Ур-ие p (B): (а_ijb_i) x_j = 0; B Î p (A) Û а_ija_ib_j = 0 Û а_ijb_ia_j = 0 Û A Î p (B).

Из этой теоремы вытекает удобный способ построения поляры. Необходимо рассмотреть два случая:

1)из точки A можно провести 2 касат-ые к кривой w;

2) из A нельзя провести ни одной касат-ой к w.

1. Пусть l ₁и l ₂ – касательные к w, проведенные из точки A, а P и Q – точки касания. Тогда l ₁= p (P), l ₂= p (Q). Значит, A Î p (P) и A Î p (Q) Þ P Î p (A) и Q Î p (A) Þ PQ = p (A).

Тот же рисунок показывает, как построить полюс прямой PQ, если она пересекает w.

2. Проведем через точку A две произвольные прямые a и b. Построим полюсы этих прямых: K ₁и K ₂. Тогда

A Î a = p (K ₁) Þ K ₁Î p (A)

A Î b = p (K ₂) Þ K₂ Î p (A)

 

 

 

И обратно, если дана прямая K ₁ K ₂, мы можем построить ее полюс A.

Пример. Дано уравнение кривой w: х ₁² – х ₂² + 2 х ₃² + 4 х ₁ х ₂– 2 х ₂ х ₃ = 0 и точка B (0: 2: –1) Ï w.

Уравнение поляры запишем в матричном виде: B ^T AX = 0, или

1 2 0 х ₁ х ₁

0 2 –1 2 –1 –1 х ₂ = 0; Þ 4 –1 –4 х ₂ = 0; Þ

0 –1 2 х ₃ х ₃

4 х ₁ – х ₂– 4 х ₃ = 0

5.7. Полярное соответствие.

Поляра точки A (a_i), относительно кривой w, заданной уравнением (5.1.1), определяется уравнением (5.4.1), которое расписывается в виде (5.3.2¢ ). Это будет прямая, если не все из следующих чисел равны нулю:

u ₁= а ₁₁ а ₁+ а ₁₂ a ₂ + а ₁₃ a ₃,

u ₂= а ₁₂ а ₁+ а ₂₂ а ₂+ а ₂₃ a ₃, (5.7.1)

u ₃= а ₁₃ а ₁+ а ₂₃ а ₂+ а ₃₃ a ₃

Теорема 5.7.1. Если

а ₁₁ а ₁₂ а ₁₃

D = а ₁₂ а ₂₂ а ₂₃ ¹0,

а ₁₃ а ₂₃ а ₃₃

то каждая точка A (a_i) имеет, и притом только одну поляру относительно кривой w.

Из алгебры известно, что система (5.7.1) при u ₁= u ₂= u ₃= 0 и D ¹ 0 имеет, и притом, только единственное решение a ₁= a ₂= a ₃= 0. Но проективные координаты точки не могут быть такими. Значит, числа u ₁, u ₂, u ₃ не могут быть все нулевыми, а значит, каждая точка A имеет определенную поляру.

Теорема 5.7.2. Если D ¹ 0, то каждая прямая имеет, и притом, только один полюс относительно кривой w.

Пусть прямая p имеет уравнение u ₁ x ₁+ u ₂ x ₂+ u ₃ x ₃= 0 . Тогда при D ¹ 0 система (5.7.1) имеет (и притом, только одно) решение a ₁, a ₂, a ₃.

Следствие. Если для кривой w выполняется D ¹ 0, то она порождает взаимнооднозначное соответствие между множеством всех точек и множеством всех прямых на проективной плоскости.

Это соответствие называется полярным соответствием. В частности, каждая овальная кривая (эллипс, гипербола, парабола) порождает полярное соответствие, т.к. для овальной кривой D ¹ 0.

 

42 Теоремы Паскаля

Опр. 5.8.1. Шестивершинником называется фигура на расширенной плоскости, которую образуют упорядоченная шестерка точек M ₁, M ₂, M ₃, M ₄, M ₅, M ₆ и шесть прямых M ₁ M ₂, M ₂ M ₃, M ₃ M ₄, M ₄ M ₅, M ₅ M ₆, M ₆ M ₁. Точки называются вершинами, а прямые – сторонами шестивершинника. Стороны M ₁ M ₂ и M ₄ M ₅; M ₂ M ₃и M ₅ M ₆; M ₃ M ₄и M ₆ M ₁ называются противоположными.

Теор 5.8.1.(Паскаля) Три точки пересечения противоположных сторон любого шестивершинника, вписанного в овальную кривую, лежат на одной прямой.

Теорема 5.8.2. (обратная). Если три точки пересечения противоположных сторон шестивершинника (у которого никакие три вершины не лежат на одной прямой) лежат на одной прямой, то данный шестивершинник вписан в овальную кривую второго порядка.

Следствие 1. Овальная кривая определяется пятью своими точками.

Действительно, если задать произвольно 5 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, то опираясь на теорему 5.8.2. можно (и притом, одной линейкой) построить шестую точку этой кривой (а, затем, седьмую, и.т.д.).

Пусть даны M ₁, M ₂, M ₃, M ₄, M ₅. Находим точку P; затем через M ₁ проводим произвольно прямую, которая пересечет M ₃ M ₄ в точке Q; затем проводим PQ, которая в пересечении с M ₂ M ₃ даст точку R; и, наконец, M ₅ R I M ₁ Q = M ₆.

Замечание 1. Из 6 букв (и точек) можно составить P ₆ = 720 перестановок. Различных же шестивершинников, составленных из данных шести точек, имеется только 60, т.к. каждый из них может считаться, начиная из любой своей вершины, причем, как в прямом, так и в обратном направлении.

Замечание 2. Теорема Паскаля имеет место и для предельных (частных) случаев: 5-ти, 4-х и 3-х вершинников. Если, например, M ₁= M ₂, то прямая M ₁ M ₂ будет касательной к овальной кривой.

Опр. 5.8.2. Шестисторонником называется фигура, двойственная шестивершиннику.

Значит, это фигура, образованная шестеркой прямых m ₁, m ₂, m ₃, m ₄, m ₅, m ₆ и шестью точками N ₁= m ₁I m ₂, N ₂= m ₂I m ₃, N ₃= m ₃I m ₄, N ₄= m ₄I m ₅, N ₅= m ₅ I m ₆, N ₆= m ₆ I m ₁. Прямые называются сторонами, а точки – вершинами. Вершины N ₁ и N ₄, N ₂ и N ₅, N ₃ и N ₆ наз. Противоположными

43 Теорема (Брианшона)

Опр. 5.8.1. Шестивершинником называется фигура на расширенной плоскости, которую образуют упорядоченная шестерка точек M ₁, M ₂, M ₃, M ₄, M ₅, M ₆ и шесть прямых M ₁ M ₂, M ₂ M ₃, M ₃ M ₄, M ₄ M ₅, M ₅ M ₆, M ₆ M ₁. Точки называются вершинами, а прямые – сторонами шестивершинника. Стороны M ₁ M ₂ и M ₄ M ₅; M ₂ M ₃и M ₅ M ₆; M ₃ M ₄и M ₆ M ₁ называются противоположными.

Теорема 5.8.1. (Брианшона) Если шестисторонник описан вокруг овальной кривой второго порядка, то три прямые, которые проходят через противоположные вершины, проходят через одну точку.

Имеет место и обратная теорема.Теорема Брианшона и обратная ей теорема вытекают из теоремы Паскаля и обратной к ней теоремы по принципу двойственности.

Следствие 2. Теорема Брианшона позволяет по пяти касательным к произвольной кривой второго порядка строить сколько угодно новых касательных к кривой. Ход построения аналогичен тому, который рассматривался в следствии 1.

Доказательство теорем Паскаля и Брианшона можно найти в [1]