Расчет спектрального состава тока в резистивном нелинейном элементе при гармоническом воздействии

За счёт нелинейности ВАХ происходит искажение формы тока, протекающего через нелинейный элемент при воздействии на него гармонического напряжения;
в спектре тока помимо основной составляющей появляются высшие гармоники. Рассмотрим схему усилительного каскада на биполярном транзисторе (рис. 4.17),
на входе которого действует напряжение , состоящее из напряжения смещения и гармонического напряжения с амплитудой . Под действием входного напряжения в цепи коллектора транзистора протекает коллекторный ток . Зависимость коллекторного тока от напряжения на участке «база — эмиттер» является проходной вольт-амперной характеристикой.

Рис. 4.17. Усилитель на биполярном транзисторе

На рис. 4.18 изображены проходная ВАХ транзисторного каскада, зависимость во времени напряжения на входе каскада и зависимость
во времени коллекторного тока . Напряжение смещения и амплитуда гармонического напряжения выбраны на рисунке таким образом, что рабочая точка не выходит за пределы линейного участка ВАХ. В результате коллекторный ток будет содержать постоянную составляющую и гармоническую составляющую с амплитудой .

Рис. 4.18. Линейный режим работы транзисторного усилителя

Иная картина будет наблюдаться, если напряжение смещения уменьшить
и тем самым выбрать рабочую точку на нижнем, нелинейном, участке ВАХ (рис. 4.19). Форма тока исказится, ток перестанет быть гармоническим.
Дальнейшее уменьшение напряжения смещения приведет к еще большему искажению формы тока (рис. 4.20).

Рис. 4.19. Нелинейный режим работы транзисторного усилителя. Искажение формы тока из-за нелинейности ВАХ

Рис. 4.20. Работа транзисторного усиителя в режиме нижней отсечки тока

Рис. 4.21. ВАХ диода

Рис. 4.22. Одностороннее и двухстороннее ограничения напряжения с помощью диодных ограничителей

Из теории спектрального анализа сигналов известно, что любой периодический сигнал может быть представлен рядом Фурье (используя косинусоидальную форму воздействия сигнала (см. п. 3.1.)). Это значит,
что коллекторный ток складывается из постоянной составляющей, основной составляющей с частотой входного сигнала и высших гармоник:

. (4.13)

Искажения формы сигнала из-за нелинейности ВАХ называют нелинейными искажениями. Если перед нами стоит задача усилить сигнал без искажений (например, при воспроизведении речи, музыки, изображения и т.п.), то следует выбирать такой режим работы (напряжение смещения и амплитуды сигналов), чтобы не выходить за пределы линейного участка ВАХ.

Наоборот, стремление преобразовать сигнал с помощью нелинейного элемента, например, не дать мгновенному значению сигнала превысить некоторый заранее установленный порог, приводит к необходимости работать в режиме больших нелинейных искажений.

На рис. 4.21 изображена вольт-амперная характеристика диода. Приближенно можно считать, что при воздействии на диод напряжения в "прямом направлении" (правая полуплоскость рисунка) через него будет протекать ток, т.е. переход диода будет открыт, а при воздействии напряжения в "обратном направлении" (левая полуплоскость рисунка) ток практически протекать не будет, т.е. переход диода будет закрыт.

На практике широко применяются схемы диодных ограничителей напряжения (рис. 4.22). Здесь диод выполняет роль вентиля: в открытом состоянии его сопротивление мало (десятки Ом), в закрытом состоянии — очень велико (сотни МОм). Эти свойства диода позволяют аппроксимировать его ВАХ кусочно-линейной функцией (рис. 4.23). Напряжением смещения регулируют порог ограничения.

Рис. 4.23. Аппроксимация ВАХ диода кусочно-линейной функцией

Состав спектра тока в нелинейном элементе при аппроксимации ВАХ степенным полиномом определяется степенью полинома и его коэффициентами. Ограничимся рассмотрением полиномов со степенью не выше третьей.

График полинома первой степени

(4.14)

представляет собой прямую , параллельную оси абсцисс, и наклонную прямую с коэффициентом наклона смещенную по оси абсцисс на величину . Регулируя величины , и можно перемещать аппроксимирующую прямую вниз, вправо и влево и менять ее наклон.

Для определения амплитуд гармоник тока подставим в (4.14) выражение
для напряжения, приложенного к нелинейному элементу :

.

Сравнивая это выражение с рядом Фурье

,

видим, что ; ; . Таким образом, при аппроксимации ВАХ полиномом первой степени ток содержит кроме постоянной составляющей только основную (первую) гармонику, совпадающую по частоте с приложенным гармоническим напряжением. Высшие гармоники в спектре тока отсутствуют, нелинейных искажений нет.

График полинома второй степени

(4.15)

содержит в дополнение к графику полинома первой степени квадратичную параболу смещенную по оси абсцисс на величину Квадратичный член служит
для аппроксимации слабой нелинейности ВАХ параболического типа.

Подставляя в (4.15) напряжение , получаем:

Это выражение показывает, что если вольт-амперная характеристика нелинейного элемента имеет нелинейность, описываемую квадратичной параболой, то в спектре тока, протекающего через такой нелинейный элемент, появляется
при воздействии на него постоянного и гармонического напряжений вторая гармоника с частотой .

Для описания нелинейности ВАХ более высокого порядка используется полином третьей степени:

,

в котором добавляется так называемая кубическая парабола , смещенная по оси абсцисс на величину .

Подстановка напряжения в этот полином дает

где постоянная составляющая и амплитуды гармоник , и .

Из приведенных примеров видно, что наличие в ВАХ нелинейностей высокого порядка приводит к появлению высших гармоник в спектре тока.
Количество гармоник в спектре тока равно степени полинома, описывающего нелинейность ВАХ. Постоянная составляющая и амплитуды четных гармоник определяются коэффициентами полинома при четных степенях, а амплитуды нечетных гармоник — коэффициентами полинома при нечетных степенях.
Это означает, что, если ВАХ аппроксимируется полиномом только с четными степенями, в спектре тока будут присутствовать постоянная составляющая и четные гармоники. При аппроксимации ВАХ полиномом с нечетными степенями спектр тока будет содержать только нечетные гармоники.

Спектр тока при кусочно-линейной аппроксимации ВАХ зависит от угла отсечки. При больших амплитудах гармонического напряжения, подводимого
к нелинейному элементу, практически нет смысла учитывать небольшую кривизну ВАХ (так называемую слабую нелинейность). В тех случаях, когда нелинейный элемент работает как вентиль (есть ток или нет тока), используют
кусочно-линейную аппроксимацию ВАХ (рис. 4.24):

(4.16)

График тока при этом имеет вид косинусоидальных импульсов с отсечкой. Половина той части периода в радианах (или градусах), в течение которой протекает ток, называется углом отсечки. Он обозначен на рис. 4.24 буквой .

Из графика на рис. 4.24 можно вычислить угол отсечки .
При напряжение . Откуда

и . (4.17)

Рис. 4.24. Постороение графика тока при кусочно-линейной аппроксимации ВАХ

Рис. 4.25. Функции Берга

Последнее равенство показывает, что угол отсечки можно изменять, меняя напряжение смещения , амплитуду гармонического сигнала или выбирая параметр аппроксимирующей функции (4.16).

Периодическую последовательность импульсов тока на рис. 4.24 можно разложить в ряд Фурье:

Опуская процедуру нахождения коэффициентов ряда Фурье
(см. гл. 13), приведем окончательный результат.

Постоянная составляющая и амплитуды гармоник тока вычисляются
по формуле

, (4.18)

где функции называются функциями Берга (в честь крупного российского радиотехника академика А.И. Берга). Они зависят от угла отсечки, и их значения для разных углов отсечки приводятся в справочниках. Графики нескольких функций Берга представлены на рис. 4.25.

Чтобы получить максимальные амплитуды гармоник, следует выбирать , так как при таких углах отсечки функции Берга принимают максимальные значения.

Таким образом, амплитуды спектральных составляющих тока в нелинейном элементе при кусочно-линейной аппроксимации его ВАХ зависят от угла отсечки. Количество гармоник при этом бесконечно большое. Чем меньше угол отсечки
(т.е. чем уже импульс), тем медленнее убывают амплитуды гармоник тока.

При воздействии на нелинейный элемент суммы гармонических колебаний возникают спектральные составляющие с комбинированными частотами.
Сигнал, состоящий из суммы двух гармонических колебаний с различными частотами и и амплитудами и :

,

называется бигармоническим воздействием. Спектр бигармонического воздействия изображен на рис. 4.26, а.

Пусть на вход НЭ, ВАХ которого аппроксимирована полиномом второй степени

,

поданы напряжение смещения и бигармонический сигнал .
Подстановка напряжения в выражение для ВАХ позволяет определить ток в цепи НЭ в виде

Используя тригонометрические формулы

а)

б)

Рис. 4.26. Спектры бигармонического напряжения (а) и тока (б) в нелинейном элементе

и

,

получаем

(4.19)

Спектральный состав тока в цепи с НЭ показан на рис. 4.26, б.

Принципиально новым по сравнению с воздействием на НЭ одного гармонического колебания здесь является появление спектральных составляющих с комбинационными частотами и . Если ВАХ нелинейного элемента аппроксимирована в общем случае полиномом степени , то в спектральном составе тока будут присутствовать составляющие с комбинационными частотами , причем , где и — целые положительные числа (0, 1, 2,...). Так, например, при аппроксимации ВАХ нелинейного элемента полиномом третьей степени в составе спектра тока присутствуют комбинационные частоты, приведенные в табл. 4.1.

Таблица 4.1. Комбинационные частоты при аппроксимации ВАХ нелинейного элемента полиномом третьей степени

Значения	Частоты спектральных составляющих при значениях
				–
			–	–
		–	–	–

Основные положения, изложенные в п. 4.2 материалов:

· Форма тока, протекающего через нелинейный элемент при гармоническом воздействии, отличается от гармонической из-за нелинейности ВАХ. Такое искажение формы тока называется нелинейным искажением. · Спектр тока, протекающего через нелинейный элемент при гармоническом воздействии, содержит постоянную составляющую, первую гармонику и высшие гармоники. · При аппроксимации ВАХ нелинейного элемента степенным полиномом количество гармоник в спектре тока равно степени полинома. · При кусочно-линейной аппроксимации ВАХ нелинейного элемента в спектре тока содержится бесконечное количество гармоник. Их амплитуды зависят от угла отсечки. · Спектр тока, протекающего через нелинейный элемент под воздействием суммы гармонических колебаний, содержит постоянную составляющую основную и высшие гармоники, а также спектральные составляющие с комбинационными частотами.

4.3. Вопросы и задания для самопроверки

1. Какие резистивные элементы называются нелинейными?

2. Какие методы используют для расчета нелинейных цепей в режиме постоянного тока?

3. Каким образом формируются уравнения состояния нелинейных резистивных цепей?

4. Каков порядок расчета резистивных цепей с нелинейными четырехполюсниками?

5. Какие существуют методы аппроксимации ВАХ нелинейных элементов?

6. Каков физический смысл действующих значений несинусоидальных токов и напряжений?

7. Определите действующее значение несинусоидального тока:

(Ответ: ).

8. Дайте определения активной, реактивной и полной мощностей несинусоидального тока. Найдите активную и полную мощности цепи, если:

(Ответ: ).

9. Объясните методику расчета тока в линейной цепи (см. рис. 4.3)
при несинусоидальном напряжении:

,

если параметры цепи , и заданы.

10. Покажите, как влияют реактивные элементы с параметрами и
на форму кривых токов в цепи при несинусоидальном напряжении питания.

11. Объясните принцип работы низкочастотного фильтра на примере электрической цепи, приведенной на рис. 4.5.

12. Поясните принцип работы резонансных фильтров и их назначение (рис. 4.8 и рис. 4.9).