Аналитические методы анализа нелинейных электрических цепей

Графические методы анализа НЭЦ наглядны, но они носят индивидуальный характер, т.е. не позволяют проводить обобщенный анализ НЭЦ при произвольных нелинейных элементах и видах воздействий.

Аналитические методы свободны от этого недостатка, но требуют аналитической аппроксимации ВАХ НЭ. Наиболее часто используются два вида аппроксимации ВАХ НЭ:

• полиномиальная;

• кусочно-линейная.

При полиноминальной аппроксимации ВАХ НЭ аппроксимируется полиномом вида

Коэффициенты аппроксимирующего полинома могут быть определены путем решения системы уравнений, полученной из ВAX НЭ.

Пример 2.13. Для полинома по заданной ВАХ НЭ
(рис. 2.40) для трех точек ВАХ получим и два уравнения:

Из этих уравнений находим значения и .

При кусочно-линейной аппроксимации ВАХ НЭ аппроксимируется совокупностью линейных участков (кусков) вблизи возможных рабочих точек.

Рис. 2.40. ВАХ при полиноминальной аппроксимации

Пример 2.14.

Для двух участков нелинейной ВАХ (рис. 2.41) получим:

— крутизна первого участка линеаризации,

— крутизна второго участка линеаризации.

Рис. 2.41. ВАХ при кусочно-линейной аппроксимации

Пример 2.15. Пусть требуется линеаризировать участок ВАХ между точками и , который используется в качестве рабочей области около рабочей
точки (рис. 2.42).

Рис. 2.42. ВАХ к примеру 2.15

Участок ВАХ НЭ заменяем "куском" прямой линии с крутизной

Тогда уравнение линеаризированного участка ВАХ вблизи рабочей
точки будет:

Очевидно, что аналитическая аппроксимация ВАХ верна только
для выбранного участка линеаризации.

Пример 2.16. На рис. 2.43 представлена схема соединения НЭ, ВАХ которых заданы аналитически:

для НЭ1: (2.27)

для НЭ2: (2.28)

Рис. 2.43. Схема к примеру 2.16

Определить в аналитической форме зависимость , если считать напряжение на входе схемы рис. 2.43 заданной величиной.

Решение. При последовательном соединении НЭ выполняются условия

(2.29)

Решаем совместно уравнения (2.27) и (2.28),

которое с учетом (2.29) примет вид квадратичного уравнения:

или

Решение последнего уравнения:

Из (2.28) найдем искомый ток в схеме

Пример 2.17. Имеется схема стабилизации напряжения рис. 2.44.

Рис. 2.44. Схема к примеру 2.17

Определить в аналитическом виде зависимость отношения (коэффициент стабилизации напряжения) от параметров балансного резистора
и стабилитрона .

Рис. 2.45. ВАХ стабилитрона

Решение. Воспользоваться методом линеаризации. В режиме стабилизации напряжения стабилитрон работает на линейном участке его ВАХ: (рис. 2.45),
при этом схема рис. 2.44 может быть заменена эквивалентной линеаризованной схемой рис. 2.46 (параметры и схемы определяется графически
для линейного участка ВАХ стабилитрона).

Рис. 2.46. Эквивалентная схема стабилитрона

Для схемы рис. 2.46 справедливо уравнение так как можно записать . Продифференцировав полученное выражение по выходному напряжению, находим .

Так как в схеме стабилизации напряжения выполняется неравенство , окончательно имеем .

Коэффициент стабилизации напряжения в схеме рис. 2.44 возрастает
с увеличением сопротивления балластного резистора и уменьшением дифференциального сопротивления стабилитрона.

Основные положения, изложенные в п. 2.5 материалов:

· Нелинейные двухполюсные резистивные элементы (полупроводниковые и электронные диоды) характеризуются нелинейной вольтамперной характеристикой — зависимостью тока (реакции) от приложенного напряжения (воздействия). · Нелинейные четырехполюсные резистивные элементы (транзисторы, электронные лампы, тиристоры) описываются семействами нелинейных вольтамперных характеристик. Сопротивление нелинейного резистивного элемента постоянному току называется статическим. Оно зависит от величины приложенного к нелинейному резистору постоянного напряжения. · Сопротивление нелинейного элемента переменному току малой амплитуды называется дифференциальным или динамическим. Оно зависит от амплитуды приложенного переменного напряжения. · Часто используют понятие динамической крутизны (проводимости) — это величина, обратная динамическому сопротивлению. · Для определения токов в ветвях и напряжений на элементах нелинейной цепи при постоянном воздействии используют графоаналитические методы: составляют систему аналитических уравнений и решают ее графически. · Часто для расчета цепей с одним нелинейным элементом используют метод эквивалентного генератора. Ток и напряжений на нелинейном элементе определяются в точке пересечения ВАХ и нагрузочной прямой эквивалентного генератора. · Аналитический метод расчета нелинейных цепей требует аппроксимации ВАХ элементов, например, полиноминальный или кусочно-линейной. · Если вольтамперные характеристики нелинейных элементов заданы аналитически, то для расчета цепи составляют систему уравнений состояния цепи и решают ее аналитически или численными методами.

2.6. Вопросы и задания для самопроверки

1. В чем заключается задача анализа цепи?

2. Как рассчитываются линейные резистивные цепи с одним источником постоянного действия?

3. Найти показания амперметра в цепи, изображенной на рис. 2.47, а,
если Сопротивление амперметра

4. Как преобразовать соединение сопротивлений звездой в соединение треугольником наоборот?

5. Сформулируйте законы Кирхгофа и Ома.

6. Используя законы Ома и Кирхгофа, определить показания вольтметра
в цепи, изображенной на рис. 2.47, б. Значения и всех сопротивлений приведены в задании 3.

Рис. 2.47. Схемы к заданиям 3 (а) и 6 (б) самоконтроля

7. Объясните, в чем состоит сущность метода наложения. Каков порядок расчета линейных резистивных цепей методом наложения?

8. В чем суть расчета цепей методом непосредственного изменения законов Кирхгофа?

9. Каков порядок расчета цепи методом контурных токов?

10. Каков порядок расчета цепи методом узловых напряжений (потенциалов)?

11. При помощи законов Кирхгофа рассчитайте токи в ветвях цепи
при указанных положительных направлениях (рис. 2.48), если

Рис. 2.48. Схема к заданию 11

Рис. 2.49. Схема к заданию 5

12. Для схемы рис. 2.49 определите число уравнений, которые необходимо составить по первому и второму законам Кирхгофа, и запишите эти уравнения.

Указание: точки, соединенные на схеме проводником, считайте одним узлом, вольтметр — идеальным (т.е. имеющим бесконечно большое сопротивление), поэтому при составлении уравнений его можно не принимать во внимание.

13. В схеме рис. 2.49 определите показания вольтметра.

Указание: вольтметр измеряет напряжение между точками, к которым
он подключен.

14. Поясните, чем отличается метод контурных токов от метода непосредственного применения законов Кирхгофа.

15. Для схемы рис. 2.49 составьте уравнение по методу контурных токов.

16. Для схемы рис. 2.49 составьте уравнение по методу узловых напряжений (потенциалов).

17. Сделайте вывод каким методом по п.п. 15, 16 предпочтительнее (легче) расчитать схему рис. 2.49?