Расчет линейных цепей при несинусоидальных напряжениях и токах

Для расчета режима линейной цепи периодического несинусоидального тока (цепи, у которой параметры элементов R, L, C не зависят от тока и напряжения) применим метод наложения (см. 2.3.3): каждую из гармонических составляющих
и постоянную составляющую (если она есть) определим отдельно (независимо).

В качестве примера рассмотрим расчет тока в цепи по рис. 4.2
при заданном напряжении источника периодической несинусоидальной ЭДС:

Ток в этой цепи

Рис. 4.1. Графики периодического несинусоидального тока	Рис. 4.2. Схема RC цепи

где по закону Ома для первой гармоники , для пятой гармоники и используя (3.31) найдем фазовый сдвиг :

; .

При определении каждой из гармонических составляющих можно применять любые методы расчета цепей синусоидального тока, в том числе и символический (комплексный).

На практике для выбора и оценки различных электротехнических устройств, при расчетах и измерениях в электрических цепях с периодически изменяющимися токами и напряжениями любой формы в качестве одной из основных характеристик пользуются действующим значением.Действующее значение любой периодической функции, как в частном случае и синусоидальной (см. п.3.1.2) — это среднеквадратичное значение, например, действующие значения несинусоидальных токов, напряжений и ЭДС

(4.3)

или учитывая (4.1) можно показать

(4.4)

Таким образом, действующее значение периодического несинусоидального тока (напряжения, ЭДС) равно корню квадратному из суммы квадратов постоянной составляющей и квадратов действующих значений всех гармонических составляющих , где k = 1, 2... Следует обратить внимание на то, что действующее значение несинусоидальных периодических величин не зависят от начальных фаз гармонических составляющих

Так же определяется действующее значение периодического несинусоидального напряжения:

(4.5)

Действующее значение несинусоидальной величины может быть измерено при помощи электроизмерительных приборов электромагнитной, электродинамической, тепловой и других систем (см. гл. 10).

Важной характеристикой цепей несинусоидального тока является мощность.

Активная мощность цепи несинусоидального тока определяется так же,
как в цепи синусоидального тока. Это среднее значение мгновенной мощности () за период.

(4.6)

После подстановки в (4.6) напряжения (4.5) и тока (4.4) в виде рядов активной мощности будем иметь

(4.7)

т.е. активная мощность периодического несинусоидального тока равна сумме активных мощностей всех гармонических составляющих и мощности постоянных составляющих напряжения и тока (мощности постоянного тока).

Реактивной мощностью периодических несинусоидальных токов можно условно считать величину

(4.8)

Полная мощность цепи несинусоидального тока равна произведению действующих значений несинусоидальных напряжений и тока, т.е.

(4.9)

Методика расчета линейных цепей при несинусоидальных напряжениях
и токах, заключается в примененииметода наложения для каждой составляющей отдельно.

Производится наложение мгновенных значений токов (напряжений) всех учитываемых гармонических составляющих и постоянной составляющей. Определяются действующие значения мощность по вышеприведенным выражениям.

Для постоянной составляющей рассчитывается цепь постоянного тока методами, рассмотренными в гл. 2. При этом учитывается, что индуктивное сопротивление , а емкостное бесконечно велико (для постоянной составляющей ). Следовательно, нужно участок с индуктивным элементом закоротить, а с емкостным — отключить.

При расчете отдельных гармонических составляющих с частотами можно пользоваться символическим (комплексным) методом учитывая, что сопротивления реактивных элементов цепи для отдельных гармоник будут различными. Для k -й гармонической составляющей с частотой индуктивное сопротивлении , а емкостное , т.е. с ростом порядка гармоники и угловой частоты индуктивное сопротивление увеличивается в k раз, а емкостное уменьшается в k раз по сравнению
с соответствующими реактивными сопротивлениями на частоте первой гармоники Активное сопротивление, если нет дополнительных указаний, можно считать
не зависящим от частоты (т.е. ).

Пример 4.1. На входе цепи (рис. 4.3) периодическое несинусоидальное напряжение Активное сопротивление При основании частоте индуктивное сопротивление , емкостное Определить мгновенные значения всех токов, активную и полную мощности, показания амперметров, измеряющих действующее значение токов.

Рис. 4.3. Схема к примеру 4.1

Решение. Токи определим методом наложения (цифровой индекс у всех величин — номер гармоники). На схеме показаны выбранные положительные направления токов.

Постоянная составляющая тока отсутствует в ветви с конденсатором. Поэтому по закону Ома А (здесь учтено, что для постоянной составляющей индуктивное сопротивление равно нулю).

Суммарное комплексное сопротивление для первой гармоники тока

Ом.

Ток первой гармоники в неразветвленной части цепи

A.

Напряжение первой гармоники на участке ab

В.

Токи первой гармоники в параллельных ветвях:

A;

A.

Общее комплексное сопротивление для третьей гармоники тока

,

где Ом; Ом, т.е. Ом.

Напряжение третьей гармоники на участке ab

B.

Токи третьей гармоники в параллельных ветвях:

A;

A.

Мгновенные значения токов:

Действующие значение токов (показания амперметров):

A;

A;

A.

Активная мощность цепи

Полная мощность

ВА.

Пример 4.2. Катушка с активным сопротивлением
и индуктивностью подключена к источнику питания, ЭДС которого изменяется по несинусоидальному закону B.

Записать выражение для мгновенного тока и составить баланс активной мощности цепи, если частота основной гармоники .

а) б) в) г)

Рис. 4.4. Схема замещения к примеру 4.2

Решение. На рис. 4.4, а изображена схема замещения рассматриваемой цепи,
в которой осуществлена эквивалентная замена источника несинусоидальной ЭДС тремя источниками ЭДС, соединенными последовательно. Расчет схемы 4.4, а,
по принципу суперпозиции сводится к определению токов и мощностей трех частичных схем, представленных на рис. 4.4, б-г. В частичной схеме рис. 4.4, б являющейся схемой замещения по постоянной составляющей (), сопротивление определяется только резистивным элементом , сопротивление индуктивного элемента равно нулю. Комплексные сопротивления частичных схем:

Ом;

Ом; ;

Ом;

Ом; ;

Постоянная составляющая и амплитудные значения гармоник тока
в частичных схемах:

A;

A;

A;

Действующие значения гармонических составляющих ЭДС и тока:

B; B.

A; A.

Активная мощность источников энергии

Активная мощность приемника электроэнергии

Вт.

Баланс мощностей:

; 20,4 Вт 20,3 Вт

4.1.2. Электрические фильтры

При воздействии несинусоидального напряжения на индуктивный элемент L высшие гармонические составляющие тока в элементе подавляются, причем чем выше номер гармоники, тем сильнее, так как

.

Для емкостного элемента, наоборот, высшие гармонические составляющие тока усиливаются, так как

В цепях несинусоидального периодического тока возможны резонансы напряжений или токов при частотах отдельных гармоник. Условия возникновения
и особенности резонансов аналогичны условиям возникновения и особенностям резонанса на основной гармонике, а именно резонанс напряжений наблюдается
при , а резонанс токов при , где k — номер гармоники. В режиме резонанса угол сдвига фаз между напряжением и током контура при частоте этой гармоники равен нулю, напряжения (или токи) на отдельных участках цепи могут резко возрастать и быть больше, чем общее напряжение или ток контура.

На зависимости индуктивных и емкостных сопротивлений от частоты основан принцип работы электрических фильтров — устройств, с помощью которых гармонические составляющие токов и напряжений определенной частоты
или в пределах определенной полосы частот значительно уменьшаются или увеличиваются.

Сглаживающие фильтры. Сглаживающие фильтры служат для уменьшения процентного содержания на сопротивлении нагрузки гармонических составляющих выпрямленного напряжения или снижения процентного содержания высших гармоник в кривой переменного напряжения.

Рассмотрим работу простейшего сглаживающего фильтра (рис. 4.5) представляющего собой пассивный линейный четырехполюсник, к выходным выводам которого подключен приемник с сопротивлением нагрузки . Коэффициент передачи напряжения фильтра, цепь которого вместе
с приемником представляет собой цепь со смешанным соединением ветвей, равен

.

а) б)

Рис. 4.5. RC-сглаживающий фильтр (а) и его АЧХ (б)

Рис. 4.6. Графическое изображения сглаживания	Рис. 4.7. LR -сглаживающий фильтр

Соответствующая амплитудно-частотная характеристика фильтра

приведена на рис. 4.5, б. Чем выше частота гармоники напряжения на входе фильтра, тем меньше ее процентное содержание в напряжении на его выходе (рис. 4.6). Аналогичными свойствами обладает сглаживающий фильтр по схеме
на рис. 4.7

Резонансные фильтры. В резонансных фильтрах используются явления резонансов напряжений и токов в электрических цепях (см. пп. 3.3.5, 3.3.6)
для выделения или исключения в кривой напряжения на приемнике определенной полосы частот. Соответствующие фильтры называются полосовыми
и заградительными.

На рис. 4.8, а приведена схема простейшею полосового фильтра
на основе явления резонанса напряжений, а на рис. 4.8, б — его
амплитудно-частотная характеристика, найденная по формулам (см. пп. 3.3.5)

.

а) б)

Рис. 4.8. Схема резонансного фильтра (а) и его АЧХ (б)

 

а) б)

Рис. 4.9. Схема заградительного фильтра (а) и его АЧХ (б)

Ширина полосы частот , выделяемая фильтром, на уровне тем меньше, чем больше добротность цепи

В заградительном фильтре по схеме на рис. 4.9, а используется
явление резонанса токов. Его амплитудно-частотная характеристика

приведена на рис. 4.9, б. Ширина полосы частот , заграждаемых
фильтром, определяется на уровне .

Комбинации явлений резонансов напряжений и токов в различных ветвях фильтра позволяют создавать полосовые и заградительные фильтры высокого качества.

Избирательные RС-фильтры. Фильтры, содержащие только резисторы
и конденсаторы, называются RC-фильтрами. Отсутствие в них индуктивных элементов делает их привлекательными для реализации в виде интегральных микросхем. Примером полосового RC-фильтра может служить четырехполюсник (рис. 4.10, а) называемый мостом Вина, с коэффициентом передачи напряжения
при разомкнутой цепи нагрузки

(4.10)

где и — комплексные сопротивления.

 

а) б)

Рис. 4.10. Схема фильтра с мостом Вина (а), его АЧХ и ФЧХ(б)

Рис. 4.11. Схема фильтра с двойным Т-образным мостом

Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики моста Вина приведены на рис. 4.10, б. Максимальное значение амплитудно-частотной характеристики равно и достигается при угловой частоте

. (4.11)

При этом фазочастотная характеристика равна нулю.

Заградительный RС-фильтр можно реализовать с помощью двойного
Т-образного моста (рис. 4.11). При разомкнутой цепи нагрузки минимуму его амплитудно-частотной характеристики соответствует угловая частота . Доказательство этого условия достаточно трудоемкое и здесь не приводится.

Возможны и другие схемотехнические решения избирательных
RС-фильтров [1].

Основные положения, изложенные в п. 4.1 материалов

· Расчет цепей несинусоидального тока выполняется теми же методами, что и расчет цепи синусоидального тока, отдельно для каждой гармоники тока (напряжения) в разложении в ряд Фурье. · Характеристики реактивных сопротивлений L и C цепи зависят от частоты, что позволяет разрабатывать схемы фильтров, обеспечивающие подавление или выделение гармоник нужного диапазона частот их АЧХ.