Метод непосредственного применения законов Кирхгофа

Идея метода. Законы Кирхгофа (2.6) и (2.7) наиболее общие, универсальные законы, описывающие режим работы электрической цепи, и метода расчета, основанные на этих законах, применимы к расчету режима любой электрической цепи. Однако в практике расчетов их чаще всего применяют для определения токов в ветвях сложных цепей с несколькими источниками электрической энергии.

Порядок расчета. При расчете рекомендуется определенная последовательность решения, которая далее иллюстрируется на примере расчета токов в схеме рис. 2.15 при заданных сопротивлениях и ЭДС.

1. Определяется число ветвей, т.е. число неизвестных токов, и узлов, которые обозначаются буквами или цифрами (1, 2, 3, 0 на рис. 2.15); выбираются произвольно и указывается положительные направления токов.

2. Определяется, сколько уравнений нужно составить по первому закону Кирхгофа и сколько по второму. Общее число уравнений должно быть равно числу неизвестных токов, т. е. числу ветвей . По первому закону составляется уравнений, где -число узлов схемы (уравнение для одного из узлов является следствие остальных, т.е. не является независимым; оно может быть получено суммированием всех остальных уравнений). Число уравнений, которые требуется составить по второму закону Кирхгофа, меньше общего числа уравнений на число уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа нужно составить независимых уравнений.

Для схемы рис. 2.15 число ветвей , число узлов . По первому закону Кирхгофа необходимо составить уравнения, а по второму уравнения.

3. Составляются уравнения. При составлении уравнений по первому закону Кирхгофа токам, направленным от узла, приписывается знак плюс,
а направленным к узлу — знак минус (или наоборот). Уравнения по второму закону составляются для контуров, так, чтобы в каждый следующий контур входила хотя бы одна ветвь, не вошедшая в другие контуры, для которых уже записаны уравнения; выбирается направления обхода каждого контура (произвольно,
но в одном направлении). При обходе контура в выбранном направлении совпадает
с направлением обхода контура, и со знаком минус в противном случае; падение напряжения записывается со знаком плюс, если направление обхода ветви совпадает с положительным направлением тока, и со знаком минус в противном случае.

Для схемы рис. 2.15 составим три уравнения по первому закону Кирхгофа
для узлов 1, 2, 3:

— узел 1;

— узел 2;

— узел 3.

По второму закону Кирхгофа составим три уравнения (направление обхода контуров примем по направлению движения часовой стрелки):

— контур I;

— контур II;

— контур III.

Рис. 2.15. Разветвленная схема ЭЦ

Рис. 2.16. Схема к примеру 2.3

Решив уравнения совместно, найдем искомые токи. Если численное значение какого-либо тока в ветви получается отрицательным, то это означает, что его действительное направление противоположно выбранному положительному (в этих случаях изменять принятое направление тока не рекомендуется).

Пример 2.3. Дана схема рис. 2.16. ЭДС внутренние сопротивления источников Сопротивления Определить токи в ветвях.

Решение. 1. Между точками, и нет включенного сопротивления
или ЭДС, следовательно, их потенциалы одинаковы и их можно объединить
в общий узел. Аналогично объединяются точки и . Следовательно, схема имеет два узла, между которым четыре ветви и число неизвестных токов равно четырем. Выбранные положительные направления токов показаны на схеме.

2. Схема имеет два узла и четыре ветви, поэтому по первому закону Кирхгофа надо составить уравнение, а по второму — уравнения.

3. Составим одно уравнение по первому закону для узла а:
и три по второму, принимая направление обхода контуров по направлению движения часовой стрелки:

— контур I;

— контур II;

— контур III

В полученную систему уравнений подставим численные значения ЭДС
и сопротивлений:

(2.12)

(2.13)

(2.14)

(2.15)

Решим систему уравнений (2.12) − (2.15) методом подстановки.

Из (2.13) из (2.14),
из (2.15),

Подставим значения в (2.12), получим:

откуда затем найдем:

Ток получился отрицательным, значит на рис. 2.16 неправильно выбрали его направление. Меняем направление на рис. 2.16 (пунктир).

2.3.5. Метод контурных токов

Это широко распространенный метод расчета сложных электрических цепей
с несколькими контурами и несколькими источниками электрической энергии.
В основе метода лежат законы Кирхгофа и два предположения: в каждом контуре протекают независимые друг от друга расчетные токи, называемые контурными,
а ток каждой ветви равен алгебраической сумме контурных токов, замыкающихся через эту ветвь.

При этих предположениях оказывается, что для расчета схемы достаточно ограничиться составление уравнений для контурных токов только по второму закону Кирхгофа, так как для контурных токов только по второму закону Кирхгофа, так как для контурных токов первый закон выполняется в силу принятых
для контурных токов первый закон выполняется в силу принятых для контурных токов предположений (контурный ток в одной из ветвей контура направлен к узлу,
а в другой — от узла). Следовательно, вместо уравнений при непосредственном применении законов Кирхгофа достаточно составить уравнений,
что значительно упрощает расчет.

Порядок расчета токов в ветвях цепи следующий:

1. Произвольно выбирают направления токов ветвях.

2. Выбирают независимые контуры, а затем задают направления условных токов, который называют контурными токами.

3. Для каждого из выбранных контуров составляют систему линейных независимых уравнений по закону напряжений Кирхгофа порядка . Решение этой системы уравнений позволит найти все контурные токи.

4. Определяют токи в ветвях исходной цепи как алгебраическую сумму контурных токов, протекающих по этой ветви.

Поясним метод на примере схемы рис. 2.15. Выше для этой схемы было получено, что . Выделим для этой схемы три независимых контура
(I, II, III) с контурными токами . Направление контурных токов можно выбрать произвольно, но для единообразия последующих формул и расчетов следует (если возможно) задавать контурным токам направления, совпадающие
с направлениями обхода контуров (в данном случае с направлением движения часовой стрелки).

В канонической форме записи составляем систему уравнений для контурных токов порядка :

(2.16)

Определяем коэффициенты системы:

— получил название контурное (собственное) сопротивление,
равное сумме сопротивлений, включенных в контур;

— получил название межконтурное (взаимное) сопротивление,
равное сумме сопротивлений между и контурами;

— получил название контурное ЭДС, равное алгебраической сумме ЭДС включенных в контур.

При составлении уравнений (2.16) пользуются правилами знаков: собственное сопротивление всегда берется со знаком "плюс"; взаимное сопротивление берется со знаком "плюс", если контурные токи протекают через него в одном направлении, и со знаком "минус" — если в разных направлениях; напряжение источника в правой части (2.16) берется со знаком "плюс", если его направление противоположно направлению контурного тока, и со знаком
"минус" — если совпадает с ним.

Подставляем найденные коэффициент в систему (2.16) и получаем

(2.17)

Так как направление обхода контура совпадает с направлением тока в этом контуре, то падения напряжения от этого тока записывается со знаком плюс.
В общих ветвях ток смежного контура направлен противоположно току контура, поэтому падение напряжения от тока смежного контура записывается со знаком минус.

Решив уравнения (2.17), используя найденные меры аппарата алгебраической матрицы, совместно определим контурные токи . Токи ветвей равны алгебраическим суммам контурных токов. При этом знаки у контурных токов определяем по следующему правилу: если направление контурного тока совпадает
с направление тока ветви, то он записывается со знаком плюс, если не совпадает — со знаком минус.

Токи ветвей: ; ; ; ; ; .

Пример 2.4. Решить пример 2.3 методом контурных токов.

Решение. Выберем независимые контуры (рис. 2.16) — внутренние контуры (ячейки) схемы, положительные направления контурных токов примем совпадающими с направлением обхода контуров. Составим уравнения по второму закону Кирхгофа для контурных токов с коэффициентами: ; ; ; ; ; ; ; ; .

Подставим заданные численные значения, получим:

Решив систему уравнений, найдем контурные токи: Токи в ветвях: Меняем направление на рис. 2.16

Составим баланс мощности:

и после подставленных величин получаем:

Баланс мощности сошелся и можем сделать заключение — пример 2.4 решен верно.

2.3.6. Метод узловых напряжений

Метод узловых напряжений (потенциалов) основан на законе токов Кирхгофа и законе Ома и позволяет уменьшить количество уравнений в системе до . Порядокрасчета токов в ветвях цепи следующий:

1. Произвольно выбирают направление токов в ветвях;

2. Заземляют один из узлов (любой, называемый базисным); его потенциал поэтому становится равным нулю.

3. Составляют систему линейных независимых уравнений для узлов цепи
по I закону Кирхгофа порядка . Решение данной системы позволяет найти напряжения (разность потенциалов) между узлами.

4. Используя законы Ома для пассивного и активного участков цепи, находят токи в ветвях исходной схемы.

Рассмотрим применение метода узловых напряжений для расчета токов ветвях цепи, изображенной на рис. 2.15 (на этой схеме, также изображенной на рис. 2.15, рассмотрены примеры расчета методами непосредственного применения законов Кирхгофа и контурных токов).

Направление токов в ветвях выбираем произвольно. Заземляем любой узел, например, «0» (базисный узел). Это означает, что его потенциал равен нулю: .

Для узлов 1, 2 и 3 составляем систему независимых уравнений по I закону Кирхгофа порядка .

В канонической форме записи система уравнений имеет вид

(2.18)

В уравнениях (2.18) использованы обозначения: , , — потенциалы узлов 1, 2 и 3 цепи;

Определяем коэффициенты системы:

— получил название собственная проводимость узла,
равная сумме проводимости ветвей, примыкающих к узлу;

— получил название взаимная проводимость узлов,
равная сумме проводимостей ветвей, включенных между и узлами;

— получил название узловой ток, равный сумме произведений ЭДС
на проводимость ветвей .

При составлении уравнений пользуются правилами знаков: собственные проводимости всегда берутся со знаком «плюс», взаимные проводимости всегда берутся со знаком «минус», узловые токи источников берутся со знаком «плюс», если ЭДС направлены к узлу, и со знаком «минус» — если от узла.

Подставляем найденные коэффициенты в систему (2.18) и получаем уравнения по первому закону Кирхгофа:

(2.19)

Решив уравнения (2.19) совместно используя, например, аппарат алгебраической матрицы, определяем электрические потенциалы , и .

Зная потенциалы узлов, находим токи в ветвях цепи рис. 2.15, Используя законы Ома (2.1) и (2.5) находим токи в ветвях

Если использование закона Ома для пассивных цепей не вызывает вопросов, то закон Ома для активных ветвей требует комментариев из возможной разнонаправленности

На рис. 2.17 приведена схема активной ветви. Используя II закон Кирхгофа имеем:

откуда

(2.20)

Рис. 2.17. Активная ветвь	Рис. 2.18. Схема к примеру 2.5

Выражение (2.20) и есть закон Ома для активной цепи, при использовании которого следует учесть, что в виде (2.20) закон записан для направлений векторов рис. 2.17. При изменении направления какого-либо из векторов, необходимо менять знак перед соответствующей величиной в (2.20).

Пример 2.5. Выбрать метод и рассчитать схему рис. 2.18.

Дано: .

Решение. Выбираем метод, учитывая сложность расчета. Число ветвей число узлов . Метод непосредственного применения законов Кирхгофа требует расчета уравнений; метод контурных токов – уравнения; метод узловых напряжений – уравнения.

Используем для расчета метод узловых напряжений, как наиболее простой. Выберем произвольное напряжение токов в ветвях. Заземлим потенциал узла 3
и запишем систему уравнений второго порядка.

Вычислим коэффициенты системы:

 

Подставив выше найденные коэффициенты в систему и вычислим потенциалы узлов:

Найдем токи в ветвях, используя законы Ома:

Меняем направления токов , , на рис. 2.18 на противоположное (стрелки пунктиром) и делаем вывод по режиму работы ЭДС: — потребитель энергии; — источник энергии; — источник энергии; — потребитель энергии.

Составим баланс мощности:

Баланс сошелся, и задача решена правильно.