Глава 5. Переходные процессы в линейных электрических цепях

Переходные процессы возникают в электрических цепях при различных воздействиях, приводящих к изменению их режима работы, т.е. при действии различного рода коммутационной аппаратуры, например ключей, переключателей для включения или отключения источника или приемника энергии, при обрывах
в цепи, при коротких замыканиях отдельных участков цепи и т. д.

Существенную роль играют переходные процессы в схемотехнике.
Так в автоматических устройствах управляющей сигнал нельзя подавать
в исполнительные цепи во время действия переходного режима, т.к. будет происходить, сбой в режиме работы автоматики. В цифровой электронике
и схемотехнике ЭВМ переключение " p–n " перехода из режима "0" в "1" и обратно, также вызывает в цепях переходные процессы, проявляющиеся в виде импульсных скачков тока и напряжения — помех в работе цепи. Чем быстрее заканчиваются переходные процессы в цепи тем выше быстродействие схемотехники.

Отметим, что физической причиной возникновения переходных процессов
в цепях является наличие в них катушек индуктивности и конденсаторов,
т.е. индуктивных и емкостных элементов в соответствующих схемах замещения. Объясняется это тем, что энергия магнитного и электрического полей этих элементов не может изменяться скачком при коммутации в цепи (см. п. 1.2).

Переходный процесс в цепи описывается дифференциальным уравнением — неоднородным или однородным, если ее схема замещения содержит или
не содержит источники ЭДС и тока. Заметим, что переходный процесс в линейной цепи описывается линейными дифференциальными уравнениями, а в нелинейной — нелинейными.

В дальнейшем ограничимся расчетом переходных процессов в линейных цепях, содержащих элементы с постоянными параметрами.

Для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными параметрами разработаны различные аналитические методы: классический, операторный, метод интеграла Фурье и другие, которые применяются и для расчета переходных процессов. Ограничимся применением классического метода, как обладающего физической наглядностью и удобством для расчета простых цепей, а название метода "классический" отражает использование в нем решений дифференциальных уравнений с постоянными параметрами методами классической математики.

Расчет переходного процесса в цепи классическим методом содержит следующие этапы.

1. Прежде всего, необходимо составить систему уравнений на основе законов Кирхгофа, Ома, электромагнитной индукции и т.д., описывающих состояние цепи после коммутации, и исключением переменных получить одно дифференциальное уравнение, в общем случае неоднородное относительно искомого тока
или напряжения . Для простых цепей получается дифференциальное уравнение первого или второго порядка, в котором в качестве искомой величины выбирают либо ток в индуктивном элементе, либо напряжение на емкостном элементе.

2. Далее следует составить общее решение полученного неоднородного дифференциального уравнения цепи в виде суммы частного решения неоднородного дифференциального уравнения и общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения.

Применительно к электрическим цепям в качестве частного решения неоднородного дифференциального уравнения выбирают (принужденный) режим, установившийся цепи (если он существует), т. е. постоянные токи и напряжения, если в цепи действуют источники постоянных ЭДС и токов, или синусоидальные напряжения и токи при действии источников синусоидальных ЭДС и токов. Токи
и напряжения установившегося режима обозначают и называют установившимися.

Общее решение однородного дифференциального уравнения описывает процесс в цепи без источников ЭДС и тока, который поэтому
называют свободным процессом. Токи и напряжения свободного процесса обозначают и называют свободными, а их выражения должны содержать постоянные интегрирования, число которых равно порядку однородного уравнения.

Свободный процесс вызывается несоответствием между энергией, сосредоточенной в электрическом и магнитном полях емкостных и индуктивных элементов в момент времени, непосредственно предшествовавший коммутации,
и энергией этих элементов при новом установившемся режиме в момент времени, непосредственно следующий за коммутацией. Энергия элементов не может измениться скачком, и ее постепенное изменение обусловливает переходный
процесс.

3. Наконец, в общем решении , следует найти постоянные интегрирования.

Постоянные интегрирования определяют из начальных условий, т.е. условий в цепи в начальный момент времени после коммутации. Будем считать коммутационные ключи идеальными, т. е. что коммутация в заданный момент времени происходит мгновенно. При таких коммутациях ток в индуктивном элементе и напряжение на емкостном в начальный момент времени после коммутации такие же, как в момент времени, непосредственно предшествовавший коммутации . Эти условия получаются из законов коммутации.

Законы коммутации утверждают, что ток в индуктивном элементе
и напряжение на емкостном элементе не могут изменяться скачком.

Анализ энергетических процессов в индуктивном элементе приводит
к выводу: изменение тока в индуктивном элементе скачком невозможно
(см. п. 1.2). Этот вывод и является законом коммутации для индуктивного элемента, который можно записать в следующем виде:

(5.1)

где — момент времени, при котором произошла коммутация в цепи.

Анализ энергетического процессов в емкостном элементе приведет к выводу: изменение напряжения на емкостном элементе скачком невозможно (см. п. 1.2). Этот вывод является вторым законом коммутации, который записывается в виде

(5.2)

где — момент времени, в который произошла коммутация в цепи.

Токи в индуктивных элементах и напряжения на емкостных элементах непосредственно перед коммутацией называются начальными условиями.

Если токи в индуктивных элементах и напряжения на емкостных элементах цепи в момент времени равны нулю, т.е. ; , то эти условия называются нулевыми начальными условиями. В противном случае получаются ненулевые начальные условия.

В соответствие с методикой, расчёта переходных процессов классическим методом схематично рассмотрим примеры расчёта.

5.1. Переходные процессы в цепи с последовательным соединением элементов R, L, C (рис. 5.1)

Рис. 5.1. Схема включения R, L, C цепи

При замыкании ключа К, для цепи с последовательным соединением элементов R, L и C, т.е. последовательного контура (рис. 5.1), согласно второму закону Кирхгофа для мгновенных значений имеем

или, так как ,

, (5.3)

т.е. получается линейное дифференциальное неоднородное уравнение второго порядка для напряжения на емкости .

Такого же вида уравнение можно получить и для тока , если подставить выражение , где — постоянная интегрирования.
После подстановки и дифференцирования будем иметь:

(5.4)

Решение любого из уравнений (5.3) или (5.4) даст результат расчёта переходного режима цепи по току и напряжения.

Выберем дифференциальное уравнение цепи

(5.5)

Его решение ищем в виде

,

.

Частное решение:

Если и , то согласно схеме (рис. 5.2)

Рис. 5.2. Схема установившегося режима R, L, C цепи

установившиеся значения будут равны

и .

и .

Общее решение для свободной составляющей .

В этом случае получим схему (рис. 5.3) и дифференциальное уравнение

(5.6)

Рис. 5.3. Схема для свободного режима R, L, C цепи

Решение такого уравнения для напряжения получается в виде

и тогда ток будет

Здесь: и — постоянные интегрирования;

и — корни характеристического уравнения

Полное решение для напряжения на емкости представляет сумму

и для тока

(5.7)

Начальные условия решения уравнений находятся согласно законам коммутации (5.1) и (5.2):

1) Ток в цепи с индуктивностью не может измениться скачком

,

2) Напряжение на емкости не может измениться скачком

Решение для , находим как

,

,

откуда получаем постоянные интегрирования

, .

Однако характер переходного процесса зависит от корней характеристического уравнения , которые находим как

. (5.8)

Рассмотрим три случая по порядку:

1) если , то комплексные сопряженные корни
и процесс будет колебательным (рис. 5.4 кривая а);

2) если , то и действительные разные корни и процесс будет апериодическим (рис. 5.4 кривая б);

3) если , то действительные, равные корни и будем иметь предельный случай апериодического процесса (критический) (рис. 5.4 кривая в).

Рис. 5.4. Графики : колебательный (а), апериодический (б), критический (в) режимы

5.2. Заряд конденсатора через резистор (рис. 5.5)

Рис. 5.5. Схема заряда емкости

Дифференциальное уравнение цепи

(5.9)

и его решение находим в виде

.

Частное решение

Если , то получим

.

Общее решение

В этом случае дифференциальное уравнение будет

(5.10)

и его решение всегда получается в виде

,

где: — постоянная интегрирования;

— единственный корень характеристического уравнения

.

Величина называется постоянной времени заряда. Чем больше ,
тем больше время переходного процесса. Для переходный процесс практически заканчивается.

Полное решение уравнения для напряжения находим как сумма

. (5.11)

Начальное условие согласно закону коммутации определяется формулой:

и тогда

Следовательно

, (5.12)

а ток

, (5.13)

где начальное значение тока.

Таким образом, ток в этой цепи изменяется скачком и затем спадает до нуля,
а напряжение монотонно возрастает до величины ЭДС (рис. 5.6).

Рис. 5.6. Напряжение и ток при заряде емкости

5.3. Разряд конденсатора через резистор (рис. 5.7)

Дифференциальное уравнение будет таким же, как при заряде конденсатора, однако и тогда

(5.14)

Решение уравнения находим в виде

Рис. 5.7. Схема разряда емкости

Частно Частное решение

Если , то получим

.

Общее решение

В этом случае решение получается в виде

.

Полное решение уравнения для напряжения находим как сумма

.

Начальное условие согласно закону коммутации определяется формулой:

и тогда

Следовательно

, (5.15)

а ток

(5.16)

 

где начальное значение тока.

То есть как и в предыдущем случае ток в этой цепи изменяется скачком
и затем спадает до нуля, однако напряжение монотонно спадает до нуля (рис. 5.8).

Рис. 5.8. Напряжение и ток при разряде емкости

5.4. Подключение индуктивности к источнику постоянной ЭДС через резистор (рис. 5.9)

Рис. 5.9. Схема включения индуктивности цепи

Дифференциальное уравнение электрического состояния такой цепи будет

(5.17)

и его решение для тока получим в виде

Частное решение

Если , то получим

.

Общее решение

В этом случае дифференциальное уравнение будет

(5.18)

и его решение всегда получается в виде

,

где: — постоянная интегрирования;

— единственный корень характеристического уравнения

Величина называется постоянной времени процесса.

Полное решение уравнения для тока находим как сумма

.

Начальное условие согласно закону коммутации определяется формулой:

и тогда

Следовательно

(5.19)

Напряжение на резисторе определим по закону Ома

(5.20)

а на индуктивности —исходя из формулы

. (5.21)

На рисунке 5.10 представлены кривые тока и напряжений на резисторе
и индуктивности, из которых видно, что напряжение в этой цепи изменяется скачком и затем спадает до нуля, в то время как ток и напряжение монотонно возрастают.

Рис. 5.10. Напряжение и ток в цепи при включении индуктивности

Постоянная времени определяет скорость переходного процесса нарастания тока или напряжения цепи. Одним из способов определения является аналитический, когда этот параметр вычисляют по формулам (см. пп. 5.2, 5.4). Другим способом является геометрический, когда определяют по касательной, проведенной к точке начала графика изменения тока или напряжения (рис. 5.10). Переходный процесс часто считают практически закончившимся через интервал времени с момента коммутации, когда величины достигают своего максимального изменения.

В заключение отметим, что расчёт переходных процессов в более сложных вариантах электрических цепей и разными методами приведен в работах [1, 3, 4, 10].

Основные положения, изложенные в гл. 5 материалов:

· Мгновенные подключения или отключения источников энергии либо мгновенные изменения параметров цепи, содержащей реактивные элементы, приводят к возникновению переходных процессов. · Ток в индуктивности и напряжение на емкости не могут изменяться скачком. В первый момент времени непосредственно после коммутации они сохраняют те же самые значения, которые были до коммутации, а затем плавно изменяются. · Ток или напряжение в переходном режиме имеют принужденную и свободную составляющие. · Принужденная составляющая тока или напряжения определяется в результате расчёта цепи в установившемся режиме · Свободная составляющая тока или напряжения в цепях первого порядка изменяется по экспоненциальному закону. · Скорость убывания (или нарастания) экспоненты зависит от постоянной времени цепи , определяемой параметрами цепи. Переходный процесс можно считать закончившимся за время равное .

5.5. Вопросы и задания для самопроверки

1. Объясните, что понимается под переходным процессом в электрической цепи и каковы причины его возникновения.

2. Приведите примеры использования переходных процессов
в электротехнике и схемотехнике.

3. Составьте для цепи, представленной на рис. 5.9 (в режиме отключения ), дифференциальное уравнение, с током и проанализируйте его.

4. Объясните, какой метод расчета называется классическим и что понимается под установившейся и свободной составляющими переходного процесса
в электрической цепи.

5. Сформулируйте законы коммутации. Поясните, почему ток конденсатора может изменяться скачком, почему напряжение на индуктивности может изменяться скачком.

6. Поясните, какие условия называются начальными и как они определяются.

7. Дайте определение постоянной времени и укажите, как она связана
с длительностью переходного процесса.

8. Определите затухание, постоянную времени и длительность переходного процесса при включении последовательной R, L -цепи на постоянное напряжение
10 В, если Ом, Гн; переходный процесс можно считать законченным, когда ток достигает значения .

(Ответ: ).

9. Объясните, как, вычислив корни характеристического уравнения, можно определить характер переходного процесса. Поясните это
на примере последовательного R, L, C -контура, если Ом, Гн,
мкФ.

(Ответ: характер процесса — колебательный).