Линейные цепи с распределенными параметрами. Длинные линии.

Линейные цепи с распределенными параметрами. Длинные линии.

Электрические цепи можно подразделить на две большие группы:

Цепи с сосредоточенными параметрами – здесь привычные параметры сопротивления, индуктивности и емкости сосредоточены в локальных точках цепи

2) цепи с распределенными параметрами- здесь привычные параметры сопротивления, индуктивности и емкости не сосредоточены в локальных точках цепи, а распределены по ее объему. В таких цепях не применимы непосредственно законы Кирхгофа для токов и напряжений, а следует использовать законы электромагнитного поля (уравнения Максвелла).

Для оценки, к какому типу отнести цепь с сосредоточенными или распределенными параметрами – следует сравнить ее геометрические размеры с длиной электромагнитной волны λ=V▪T=V/f. Если размеры цепи сопоставимы с l>0,1……0,25∙ λ, то цепь следует рассматривать как цепь с распределенными параметрами, так как здесь нельзя пренебречь временем распространения электромагнитного колебания (волны) по цепи.

Если только длина цепи сопоставима с четвертью длины волны, а остальные параметры не сопоставимы, то такую цепь называют длинной линией. Например, для ƒ=5OΓц, т.е. при Т=0.02c и V=3▪10⁸м/c, λ = 6000▪10³м

и λ/4=1500 км. Для ƒ=10⁸Гц λ/4=0,75м, т.е. уже при l=0,5м к цепи следует подходить как к цепи с распределенными параметрами, так как здесь нельзя пренебречь временем распространения волны.

Длинная линия (линия передачи) – устройство, ограничивающее область распространения электромагнитных колебаний и направляющее поток электромагнитной энергии в заданном направлении. Линия называется регулярной, если в продольном направлении неизменны ее поперечное сечение, положение ее в пространстве и электромагнитные свойства заполняющих ее сред. Линия является однородной, если в произвольном поперечном сечении параметры среды неизменны.

Для исследования процессов в цепи с распределенными параметрами (в основном длинных линий) введем дополнительное условие о равномерности распределения вдоль линии ее параметров: индуктивности, сопротивления, емкости и проводимости. Такую линию называют однородной. Линию с неравномерным распределением параметров часто можно разбить на однородные участки.

Уравнения однородной линии в стационарном режиме

Под первичными параметрами линии будем понимать сопротивление R₀ (Ом/м) индуктивность L₀ (Гн/м), проводимость G₀ (g_o) (Cм/м) и емкость C₀ (Ф/м), отнесенные к единице ее длины. Для получения уравнений однородной линии разобьем ее на отдельные участки бесконечно малой длины dх << λ/4 со структурой, показанной на рис. 1, где переменная х показывает расстояние от начала линии. Здесь уже можно применить законы Кирхгофа. Пусть напряжение и ток в начале такого элементарного участка равны u и i, а в конце соответственно и . Здесь используются частные производные, так как ток и напряжение еще функции времени.

Разность напряжений в начале и конце участка определяется падением напряжения на резистивном и индуктивном элементах, а изменение тока на участке равно сумме токов утечки и смещения через проводимость и емкость. Таким образом, по законам Кирхгофа с учетом, что ток и напряжение следует рассматривать функциями двух переменных координаты х и времени t получим

или после сокращения на dx

;

(1)

.

(2)

Эти уравнения называют телеграфными, так как были рассмотрены при исследовании передачи телеграфных сообщений.

Теорию цепей с распределенными параметрами в установившихся режимах будем рассматривать для случая синусоидального тока. Тогда полученные соотношения при ƒ=0 можно распространить и на цепи постоянного тока, а воспользовавшись разложением в ряд Фурье – на линии периодического несинусоидального тока. При гармоническом воздействии, вводя комплексные величины и заменяя ∂⁄∂t на jω, на основании (1) и (2) получаем

-d U ⁄dx=(Ro+jωLo) ∙ I = Ζ o∙ I;

(3)

-d I ⁄dx=(Go+jωCo) ∙ U = Y o∙ U

(4)

Где Ζ _o = R_o+jωL_o и Y _o=G_o+jωC_o - соответственно комплексные продольное сопротивление и поперечная проводимость схемы замещения на единицу длины линии.

Продифференцировав (3) по х и подставив выражение d I ⁄dx из (4), запишем

d² U ⁄dx² = Ζ o∙ Y o∙ U

Откуда

p=± - величина комплексная, обозначаемая γ =α+jβ и называемая постоянная распространения длинной линии; α - коэффициент ослабления (затухания); β - коэффициент фазы длинной линии.

Откуда

И с учетом (9)

.

В соответствии с введенными понятиями прямой и обратной волн распределение напряжения вдоль линии в любой момент времени можно трактовать как результат наложения двух волн: прямой и обратной, перемещающихся вдоль линии с одинаковой фазовой скоростью, но в противоположных направлениях:

,

(10)

где в соответствии с (5) и .

Откуда КПД линии

И ослабление

.

Как указывалось при рассмотрении четырехполюсников, единицей ослабления является непер, соответствующий затуханию по мощности в раз, а по напряжению или току – в е раз. Если рассматривать десятичные логарифмы, то единицы вычислений будут Белл.

Принято использовать 10 часть, то есть децибелы .

Линия без искажений

Пусть сигнал, который требуется передать без искажений по линии, является периодическим, т.е. его можно разложить в ряд Фурье. Сигнал будет искажаться, если для его гармонических составляющих ослабление и фазовая скорость различны, т.е. если последние являются функциями частоты. Таким образом, для отсутствия искажений, что очень важно, например, в линиях передачи информации, необходимо, чтобы все гармоники распространялись с одинаковой скоростью и одинаковым ослаблением, поскольку только в этом случае, сложившись, они образуют в конце линии сигнал, подобный входному.

Идеальным в этом случае является так называемая линия без потерь, у которой сопротивление R₀ и проводимость G₀ равны нулю.

И фазовой скорости

.

(2)

Из (1) и (2) вытекает, что для получения и , что обеспечивает отсутствие искажений, необходимо, чтобы , т.е. чтобы волновое сопротивление не зависело от частоты.

.

(3)

И ослабление

.

Следует отметить, что у реальных линий (и воздушных, и кабельных) . Поэтому для придания реальным линиям свойств линий без искажения искусственно увеличивают их индуктивность путем включения через одинаковые интервалы специальных катушек индуктивности, а в случае кабельных линий – также за счет обвивания их жил ферромагнитной лентой.

Тогда из (5) и (6) получаем

Откуда

Подставив найденные выражения и в (5) и (6), получим

(7)

(8)

Уравнения (7) и (8) позволяют определить ток и напряжение в любой точке линии по их известным значениям в начале линии. Обычно в практических задачах бывают заданы напряжение и ток в конце линии. Для выражения напряжения и тока в линии через эти величины перепишем уравнения (5) и (6) в виде

;

(9)

.

(10)

Обозначив и , из уравнений (9) и (10) при получим

Откуда

После подстановки найденных выражений и в (9) и (10) получаем уравнения, позволяющие определить ток и напряжение по их значениям в конце линии

;

(11)

.

(12)

Координату обозначают еще как y.

Указанное означает, что к длинным линиям могут быть применены элементы теории четырехполюсников, и, следовательно, как всякий симметричный четырехполюсник, длинная линия может быть представлена симметричной Т- или П- образной схемами замещения.

На основании (13) и (14)

(15)

и

,

Откуда

.

(16)

Выражения (15) и (16) на основании данных эксперимента позволяют определить вторичные параметры и линии, по которым затем могут быть рассчитаны ее первичные параметры , , и .

Линия без потерь

Линией без потерь называется линия, у которой первичные параметры и равны нулю. В этом случае, как было показано ранее, и . Таким образом,

,

откуда .

Раскроем гиперболические функции от комплексного аргумента :

Тогда для линии без потерь, т.е. при , имеют место соотношения: и .

Таким образом, уравнения длинной линии в гиперболических функциях от комплексного аргумента для линии без потерь трансформируются в уравнения, записанные с использованием круговых тригонометрических функций от вещественного аргумента:

;

(17)

.

(18)

Строго говоря, линия без потерь (цепь с распределенными параметрами без потерь) представляет собой идеализированный случай. Однако при выполнении и , что имеет место, например, для высокочастотных цепей, линию можно считать линией без потерь и, следовательно, описывать ее уравнениями (17) и (18).

Как было показано выше, решение уравнений длинной линии можно представить в виде суммы прямой и обратной волн. В результате их наложения в цепях с распределенными параметрами возникают смешанные в том числе и стоячие волны.

Поскольку в узлах мощность тождественно равна нулю, стоячие волны в передаче энергии вдоль линии не участвуют. Ее передают только бегущие волны. Чем сильнее нагрузка отличается от согласованной, тем сильнее выражены обратные и, следовательно, стоячие волны. В рассмотренных предельных случаях ХХ и КЗ имеют место только стоячие волны, и мощность на нагрузке равна нулю.

Поскольку в узлах мощность тождественно равна нулю, стоячие волны в передаче энергии вдоль линии не участвуют. Ее передают только бегущие волны. Чем сильнее нагрузка отличается от согласованной, тем сильнее выражены обратные и, следовательно, стоячие волны. В рассмотренных предельных случаях ХХ и КЗ имеют место только стоячие волны, и мощность на нагрузке равна нулю

Эти уравнения описывают падающие волны, распространяющиеся в линии слева направо. В линии без потерь при согласованном включении существуют только падающие (бегущие) волны. Данный режим работы еще называют режимом бегущей волны.

Иногда на практике используют коэффициент стоячей волны (КСВ).

.

Область изменения данных коэффициентов:

, .

Если КБВ = 0, КСВ = ¥ – стоячая волна, если КБВ = 1, КСВ = 1 – бегущая волна.

Ранее было показано, что

– комплексный коэффициент отражения по напряжению.

Следовательно:

, .

Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами имеют характер блуждающих волн, распространяющихся по цепи в различных направлениях. Эти волны могут претерпевать многократные отражения от стыков различных линий, от узловых точек включения нагрузки и т.д. В результате наложения этих волн картина процессов в цепи может оказаться достаточно сложной. При этом могут возникнуть сверхтоки и перенапряжения, опасные для оборудования.

Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами возникают при различных изменениях режимов их работы: включении-отключении нагрузки, источников энергии, подключении новых участков линии и т.д. Причиной переходных процессов в длинных линиях могут служить грозовые разряды.

Как указывалось, переходный процесс в цепях с распределенными параметрами характеризуется наложением многократно отраженных волн. Рассмотрим многократные отражения для двух наиболее характерных случаев: подключение источника постоянного напряжения к разомкнутой и короткозамкнутой линии.

Линейные цепи с распределенными параметрами. Длинные линии.

Электрические цепи можно подразделить на две большие группы: