Переходные процессы в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Цель работы

Исследовать переходные процессы в цепи с последовательным соединением R, L, C на физической модели и в среде EWB 5.12. Изучить методы расчета переходных процессов в электрических цепях с сосредоточенными параметрами и их применение для анализа процессов в линейных цепях.

 

Теоретическое введение

Переходным называется процесс, возникающий в электрической цепи при переходе из одного установившегося состояния в другое. В установившихся режимах токи ветвей (i_y) и напряжения (u_y) на элементах схемы при заданной конфигурации линейной электрической цепи определяются только видом источников напряжения и тока. Эти величины рассчитываются методами анализа установившихся режимов и являются частным решением дифференциального уравнения цепи

(1)

 

где х – обычно ток индуктивности или напряжение на ёмкости; n – порядок дифференциального уравнения (определяется конфигурацией цепи и характером её элементов, равен или меньше количества индуктивных элементов и емкостей в схеме), f(t) – воздействие на схему (источник энергии).

Для отыскания переходных токов i(t) и напряжений u(t) необходимо найти полное решение неоднородного дифференциального уравнения (1), которое рассматривается как сумма частного решения (принуждённая составляющая) и решения однородного дифференциального уравнения (свободная составляющая i_св), если принять заданные источники равными нулю

i =i_y + i_св. (2)

Свободный ток возникает вследствие того, что при включении или отключении цепи или любом другом внезапном изменении в ней (коммутации) энергии в магнитных полях индуктивностей и электрических полях конденсаторов предыдущего установившегося режима не соответствуют аналогичным величинам нового установившегося состояния. Электрические цепи обладают активным сопротивлением, следовательно при t → ∞ i_св → 0 и

i → i_y.

Решение однородного дифференциального уравнения

(3)

 

есть сумма экспонент

 

(4)

 

где p_k – корни характеристического уравнения, A_k – постоянные интегрирования, значения которых определяются из физических начальных условий.

Из уравнения (4) следует, что каждому корню в свободной составляющей соответствует собственная функция.

Характеристическое уравнение

(5)

 

получают из однородного уравнения заменой символов дифференцирования сомножителем p, а символов интегрирования – сомножителем 1/p.

Если имеется m кратных корней характеристического уравнения, т.е. p1 = p2 =...= pm, то соответствующие им собственные функции имеют вид

(6)

 

Если имеется пара комплексно сопряженных корней p_k,k+1=-a_k ± jw_k (a_k – собственное затухание, w_k – собственная частота), то соответствующая ей собственная функция принимает вид

 

(7)

 

где y_k, A_k – постоянные интегрирования.

Общее решение дифференциального уравнения представляется как сумма принужденной и свободной составляющих

 

. (8)

 

Основная трудность решения последнего уравнения – определение постоянных интегрирования. Их расчёт основан на знании начальных условий и законов коммутации.

Под коммутацией понимают любое изменение в цепи, приводящее к возникновению переходного процесса или изменению режима её работы. Считается, что эти изменения (включение или отключение приёмника от источника; скачкообразное изменение параметров цепи; амплитуды, частоты или фазы приложенного напряжения; замыкания фаз или обрывы линейных проводов и т.д.) происходят мгновенно. В реальных условиях время коммутации всегда конечно и определяется быстродействием коммутационной аппаратуры (время срабатывания реле или выключателя и т.д.).

 

Начало отсчёта совмещают с моментом коммутации и обозначают

через t = 0- - время до коммутации. Момент времени после коммутации обозначают t = 0+. Анализ электрических цепей для этих моментов времени проводят по до и после коммутационным схемам.

Так как напряжения и токи в реальных электрических цепях всегда конечны, то и мгновенная мощность также конечна. Отсюда следует, что в таких цепях невозможно скачкообразное изменение энергий электрических и магнитных полей, т.е.

∆W = W(0+) - W(0-) = 0 и W(0+) = W(0-). (9)

Энергия магнитного поля одиночной индуктивной катушки и энергия магнитного поля одиночного конденсатора равны, соответственно,

W_M = Li_L²/2 и W_Э = Cu²_C /2. (10)

Это означает, что на интервале времени от t = 0- до t = 0+ должны выполняться равенства

i_L(0+) = i_L(0-),

u_C(0+) = u_C(0 -), (11)

которые называются первый и второй закон коммутации:

- ток индуктивности в первый момент после коммутации равен току индуктивности до коммутации и начинает плавно изменяться с этого значения;

- напряжение на конденсаторе в первый момент после коммутации равно напряжению до коммутации и начинает плавно изменяться с этого значения.

В такой формулировке эти законы не выполняются для случая мгновенного изменения индуктивности или ёмкости цепи.

Если токи индуктивностей и напряжения на конденсаторах до коммутации были равны нулю, то имеют место нулевые начальные условия. Следовательно, в первый момент после коммутации индуктивность необходимо рассматривать как участок с бесконечно большим сопротивлением (обрыв), а конденсатор как участок с нулевым сопротивлением (коротко замкнутый участок).

Если токи индуктивностей и напряжения на конденсаторах до коммутации не равны нулю, то имеют место ненулевые начальные условия. Следовательно, в первый момент после коммутации индуктивность необходимо рассматривать как идеальный источник тока (направление источника совпадает с направлением тока ветви), а конденсатор как идеальный источник ЭДС, направление которого противоположно направлению тока ветви.

Рассмотренные начальные условия служат для определения произвольных постоянных интегрирования А_К и ψ_К.

Уравнение (8) справедливо на интервале времени от t= 0+ до t = ∞. Рассматривая это уравнение и его производные до n-1 включительно и подставляя в них начальные значения переходной величины и её производные, получим систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными величинами А_К и ψ_К.

Изложенный метод анализа переходных процессов называется классическим.

Для решения задач на переходные процессы при коммутации в разветвленных линейных цепях любым методом необходимо составить дифференциальное уравнение относительно искомой величины x. Для каждой из ветвей после коммутационной схемы составляется система уравнений по первому и второму законам Кирхгофа, которая исключением промежуточных переменных приводится к одному неоднородному дифференциальному уравнению n -го порядка относительно искомой величины. При этом несколько индуктивностей, включенных последовательно, и несколько конденсаторов, включенных параллельно, целесообразно заменить их эквивалентами.

Можно составлять дифференциальные уравнения для контурных токов и узловых потенциалов, тогда число уравнений будет равно числу независимых контуров или числу узлов цепи без единицы. Это уменьшает порядок дифференциального уравнения. Порядок дифференциального уравнения уменьшается также на число узлов, к которым подходят только ветви с индуктивностями, и на число контуров, ветви которых содержат только конденсаторы (рис. 1).

 

L₁ C₁ C₂

 

 

C₃ C₄

L₂ L₃

 

 

Рис. 1

К дифференциальному уравнению (1) можно применить интегральное преобразование Лапласа (прямое преобразование Лапласа)

 

(12)

 

которое ставит в соответствие оригиналу f(t) его изображение F(p);

р = σ + jη – комплексное число, которое называют оператором.

Условно преобразование Лапласа можно записывать в виде

F(p) = L[f(t)]; F(p) f(t).

Оригинал f(t) должен удовлетворять условиям Дирихле и при t > 0

, σ > α.

Прямое преобразование Лапласа заменяет операции дифференцирования и интегрирования функции времени f(t) алгебраическими операциями умножения и деления на оператор р изображений этих функций:

(13)

Достоинство операторного метода расчёта переходных процессов, заключающегося в алгебраизации дифференциальных уравнений цепи, особенно проявляется при анализе сложных электрических цепей.

Уравнения относительно изображений напряжения и тока произвольной цепи могут быть получены по законам Ома и Кирхгофа в операторной форме записи

(14)

составленных для операторных схем замещения. При составлении операторной схемы замещения произвольной цепи (рис. 2,а) индуктивности заменяются последовательно соединенными операторным сопротивлением pL и совпадающим по направлению с током источником ЭДС Li(0_), где i(0_) – начальное значение тока индуктивности; емкости заменяются последовательным соединением операторного сопротивления 1/pC и направленного встречно с напряжением на емкости источника ЭДС u_C (0_)/p, где u_C (0_) – начальное значение напряжения на емкости (рис. 1,б). При нулевых начальных условиях дополнительные источники ЭДС на операторной схеме отсутствуют.

 

 

 

Рис. 2

 

Система алгебраических операторных уравнений для разветвленных цепей путем исключения промежуточных переменных преобразуется к одному уравнению относительно искомой величины (напряжения или тока), из которого определяется изображение для искомой величины.

Для всех технически реализуемых цепей изображение искомой величины имеет форму рациональной дроби

 

(15)

 

где p₁, p₂,..., p_n – корни характеристического уравнения.

Если корни характеристического уравнения различны, то оригинал определяется выражением

(16)

 

Если имеется один нулевой корень, т.е. F₂(p)=pF₃(p), то оригинал находится по формуле

(17)

 

Если имеются комплексные сопряжённые корни (p_1,2 = -a₁ ± jw₁), то оригинал находится по формуле

(18)