Описание классического метода расчета параметров переходных процессов в электрических цепях

Название метода «классический» отражает использование в нём решений дифференциальных уравнений с постоянными параметрами методами классической математики. Эти уравнения составляют для схем, полученных после коммутации, основываясь на известных методах расчета электрических цепей, таких как метод непосредственного применения законов Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов. Решение полученной системы уравнений относительно выбранной переменной и составляет сущность классического метода. После того, как получили дифференциальное уравнение относительно одной переменной, следует составить общее решение полученного неоднородного дифференциального уравнения, которое записывается в виде суммы принужденной и свободной составляющих, которая описывает процесс в цепи без источников ЭДС и тока:

Здесь:

1. Х_пр описывает установившиеся (принужденные процессы), определяемые внешним воздействием. По существу, это значение конечных условий при , найденных при

2. и – постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий, при

3. и – корни характеристического уравнения, полученного из однородного дифференциального уравнения для :

Но характеристическое уравнение можно получить, не составляя дифференциального уравнения цепи. Комбинированный метод в том и заключается, что характеристическое уравнение, из которого находятся корни и , получается из уравнения , где – входное операторное сопротивление цепи. Также при расчете переходных процессов в электрических цепях необходимо определить начальные и конечные условия. Когда начальные условия нулевые, напряжение на емкости до начала коммутации и после нее равно нулю, а ток в индуктивности до и после коммутации также равен нулю, согласно законам коммутации:

То есть в цепи будут протекать переходные процессы с нулевыми начальными условиями. В момент включения постоянного напряжения источника Е (при ) напряжение и ток измениться не могут и равны нулю. Остальные величины (, , , ) могут измениться скачком. Следовательно, емкость в эквивалентной схеме для можно заменить коротким замыканием (перемычкой), а индуктивность – разрывом.

Когда начальные условия ненулевые, напряжение на емкости до начала коммутации и после не равно нулю, а ток в индуктивности до и после коммутации так же не равен нулю:

Поэтому до начала коммутации (при ) токи и напряжения в ветвях не будут равны нулю. Так как напряжение на емкости и ток в индуктивности изменяться скачком не могут, то емкость в эквивалентной схеме для можно заменить источником напряжения , а индуктивность источником тока . Анализ эквивалентной схемы необходимо проводить, используя законы Ома и Кирхгофа. Значения искомых величин (токов и напряжений) нужно записать в общем виде (через Е, , , R1, R2), а затем подставить числовые данные и полученные результаты внести в подготовленную таблицу. Далее следует провести проверку полученных результатов. В любой момент времени должны выполняться 1-й и 2-й законы Кирхгофа. Этот контроль позволит избежать ошибок и установит правильность полученных результатов при исследовании переходных процессов.

Данный метод применяют для решения дифференциальных уравнений первого и второго порядка. При более высоких порядках определение постоянных интегрирования и решение характеристического уравнения представляет собой сложный процесс, поэтому в сложных цепях используется операторный метод.

 

РАССЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ С ДВУМЯ РЕАКТИВНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

Определение основных параметров электрической цепи в начале переходного режима и в принужденном режиме

В приведенной схеме, представленной на рисунке 1, были определены начальные и конечные условия для всех токов и напряжений в цепи с нулевыми начальными условиями.

Рисунок 1. Исходная схема для расчета параметров переходного процесса

В таблицу 1 занесены данные для последующий расчётов:

Таблица 1. Данные для расчета

R1, Ом	R2, Ом	С, Ф	С1, Ф	L, Гн	L1, Гн	Е, В
		-	-	1/2

 

В представленной схеме ненулевые начальные условия, а, следовательно, согласно законам коммутации:

 

1) Начальные условия ()

До начала коммутации (при ) в цепи через индуктивность протекает ток . Определим этот ток из эквивалентной схемы для . Так как процесс в цепи был установившемся, то для постоянного тока индуктивность заменим перемычкой (рисунок 2).

Рисунок 2. Эквивалентная схема цепи для времени

Ток равен (по закону Ома):

.

Напряжение на индуктивности , а напряжение на сопротивлении R₁ равно

Контроль вычислений.

– второй закон Кирхгофа выполняется.

Ток и напряжение равны нулю, так как цепь R₂L₁ до начала коммутации отключена.

2) После коммутации () ток в индуктивности скачком измениться не может, поэтому:

.

Индуктивность в эквивалентной схеме для момента времени заменим источником тока .

Так как , то индуктивность в эквивалентной схеме заменяется разрывом (рисунок 3).

Рисунок 3. Эквивалентная схема цепи для времени

 

Для рассматриваемой схемы ГНУ:

По 1-ому закону Кирхгофа:

Отсюда следует, что:

Так как на L₁ обрыв:

Напряжение на индуктивности

Контроль вычислений.

1-й и 2-й законы Кирхгофа выполняются.

3) Конечные условия ()

После окончания переходного процесса все токи и напряжения в схеме (рисунок 4) будут постоянными. Так как , то индуктивность в эквивалентной схеме заменяется перемычкой:

Рисунок 4. Эквивалентная схема цепи для времени

Анализ эквивалентной схемы позволил определить токи и напряжения:

Контроль вычислений.

– 1-й закон Кирхгофа выполняется.

Таблица 2. Результаты вычислений

t	0 –	0+	¥
i1 , A	4	4	6
i2 , A	0	4	4
i3 , A	0	0	2
uR1 , B	8	8	8
uR2 , B	0	0	8
UL, B	0	0	0
UL1,B	0	8	0

 

С учетом НУ и КУ можно качественно построить графики (рисунок 5).

 

Рисунок 5. Качественные графики