Переходные процессы в цепях первого порядка

 

 

8.1 Цель работы: изучение переходных процессов в последовательных RL- и RC-линейных цепях при воздействии на них прямоугольных импульсов напряжения.

 

8.2 Оборудование и материалы: электрический стенд для исследования переходных процессов в последовательных RL и RC линейных цепях, генератор прямоугольных импульсов, осциллограф CI-72 или CI-73.

Принципиальная электрическая схема стенда приведена на рисунке 8.1. С помощью гнёзд 1-17 и электрических проводников между входом и выходом стенда обеспечивается включение цепи, состоящей из резистора R и конденсатора С или из резистора R и индуктивности L. Упрощенные принципиальные схемы стенда, необходимые для выполнения работы, приведены на рисунках 8.2, 8.3. Схема рисунка 8.2а образуется путём соединения электрическими проводами гнезд 6 и 8, 7 и 9, 12 и 13. Схема рисунка 8.3а образуется соединением между собой гнёзд 8 и 10, 9 и 11, 12 и 13. Для получения схемы рисунка 8.3б соединяются гнезда 8 и 10, 9 и 11, 3 и 13.

Гнезда 1, 2 (вход стенда) предназначены для подключения генератора импульсов, гнезда 18, 17 (выход стенда) – для подключения входа «У» осциллографа.

 

Рисунок 8.1 – Принципиальная схема стенда

 

Рисунок 8.2 – Упрощенные принципиальные схемы стенда (RC-цепь)

 

 

Рисунок 8.3 – Упрошенные принципиальные схемы стенда (RL-цепь)

 

Рисунок 8.4 – Временная диаграмма напряжения на выходе генератора

 

С выхода генератора на вход стенда подаются импульсы напряжения прямоугольной формы, период следования которых превышает время практического затухания переходных процессов в исследуемых цепях.

Длительность импульсов принимает два значения t_u = 10 c и t_u = 0,5´10 c. Временная диаграмма напряжения на выходе генератора изображена на рисунке 8.4.

 

Сведения из теории

В цепи, содержащей реактивные элементы, при переходе от одного стационарного состояния к другому появляются так называемые переходные процессы. Возникновение переходных процессов связано с тем, что изменение энергии электромагнитного поля в реактивных элементах при переходе к новому стационарному состоянию происходит во времени плавно, без скачков. И в результате выходной ток и напряжение будут отличаться по форме от внешнего воздействия.

При изучении многих импульсных устройств приходится исследовать переходные процессы в цепях, содержащих один реактивный элемент (С или L), которые описываются неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка:

(8.1)

где х (t) – искомая функция времени (напряжение или ток);

– постоянная времени цепи;

у (t) – напряжение (ток) внешнего источника.

Решение уравнения (8.1) имеет вид:

Характер частного решения зависит от вида внешнего воздействия, т.е. представляет собой вынужденный режим, задаваемый в цепи внешним источником.

В решении уравнения (4.1) функция характеризует электрические явления, обусловленные изменением начального энергетического состояния цепи в отсутствии вынужденного воздействия, называемые собственными (или свободными) процессами.

Таким образом, переходный процесс в общем случае представляет собой совокупность свободной и вынужденной составляющих токов и напряжений, которые должны быть связаны между собой посредством начальных условий.

Переходные процессы в цепи с одним реактивным элементом – конденсатором С, т.е. в RC- цепи (рисунке 8.2а) описываются уравнением:

(8.2)

где u_R (t) – напряжение на резисторе R; u (t) – напряжение на входе цепи; – постоянная времени цепи.

При подаче на вход RC-цепи (рисунок 8.2а) прямоугольного импульса напряжения (рисунок 8.5а) в момент времени происходит скачкообразное изменение входного напряжения от 0 до Е.

В течение времени ёмкость заряжается, и напряжение на ней в процессе заряда возрастает по экспоненциальному закону, стремясь к величине Е (рисунок 8.5б):

(8.3)

Скорость заряда ёмкости зависит от постоянной времени цепи: чем больше величины емкости С и активного сопротивления R, тем медленнее растет напряжение u_c.

Напряжение на активном сопротивлении (рисунок 8.5в) в момент времени изменяется скачком от нуля до максимума, а далее в течение времени убывает по экспоненциальному закону:

(8.4)

В момент времени напряжение на входе RC-цепи скачкообразно изменяется от Е до 0. При напряжение на входе цепи равно нулю и в RC-цепи будут наблюдаться только свободные явления: емкость С, заряженная до какого-то напряжения , разряжается на активное сопротивление R по экспоненциальному закону:

(8.5)

 

Рисунок 8.5 – Переходные процессы в RC-цепи при подаче

на вход прямоугольных импульсов

 

 

В случае, если постоянная времени цепи меньше длительности прямоугольного импульса , переходные процессы в цепи практически успевают затухнуть за время длительности импульса, и временные диаграммы напряжений на резисторе и на конденсаторе имеют вид, изображенный на рисунке 8.6, где Е – высота входного импульса; – длительность входного импульса; – длительность выходного импульса на уровне 0,1 Е.

При достаточно малом значении , получаем:

и тогда уравнение (8.2) принимает вид:

(8.5)

То есть напряжение на резисторе пропорционально первой производной входного напряжения. Поэтому цепь, изображенную на рисунке 8.2а, называют дифференцирующей, если RC < t_u.

 

 

Рисунок 8.6 – Временные диаграммы напряжений на резисторе

и ёмкости при <

 

В случае, если постоянная времени цепи больше длительности импульса , переходные процессы не успевают закончиться за время длительности импульса, поэтому напряжения на конденсаторе и сопротивлении будут иметь вид, изображенный на рисунке 8.7.

В установившемся режиме напряжение u _c(t) колеблется около среднего значения входного напряжения u (t) и в данном случае представляет собой отрезок нарастающей и убывающей экспонент.

Рисунок 8.7 – Временные диаграммы напряжений на резисторе

и ёмкости при τ > t _и

 

Во время действия импульса, в соответствии с формулой (4.3), u _c(t) нарастает от U ₁ до U ₂ по закону:

Во время паузы напряжение u _c(t) падает от U ₂= Е по закону (8.5):

Если достаточно велико, то и уравнение (8.2) принимает вид:

или

, (8.6)

т.е. переменная составляющая напряжения на сопротивлении, повторяет форму переменной составляющей напряжения на входе. Поэтому цепь, изображенную на рисунке 8.2а, называют неискажающей, если .

Нетрудно показать, что напряжение на емкости неискажающей цепи (рисунке 8.2б) пропорционально интегралу входного напряжения u (t).

Известно, что

. (8.7)