Исследование переходных процессов в цепях

ВТОРОГО ПОРЯДКА

 

 

9.1 Цель работы: изучение переходных процессов в последовательном колебательном контуре при воздействии на него прямоугольных импульсов напряжения.

 

9.2 Оборудование и материалы: электрический стенд для исследования переходных процессов, генератор прямоугольных импульсов напряжения, осциллограф CI-72, милливольтметр В3-33.

Принципиальная схема стенда приведена на рисунке 9.1

 

Рисунок 9.1 – Принципиальная схема стенда

 

С помощью гнезд 1-17 и электрических проводников обеспечивается подключение элементов R, L, C к стенду. Схема исследуемой цепи второго порядка (последовательный колебательный контур) представлена на рисунке 9.2.

Рисунок 9.2 – Схема цепи второго порядка

 

С выхода генератора на вход стенда подаются импульсы напряжения прямоугольной формы, период следования которых Т имеет фиксированную величину и в десять раз превышает период Т _св свободных колебаний исследуемой цепи.

 

Сведения из теории

Пусть в момент времени t = 0 к RLC-цепи подключается источник э.д.с. e(t). Уравнение, описывающее переходный процесс, запишется в виде:

(9.1)

Дифференцируя это уравнение, получим:

(9.2)

Соответствующее ему характеристическое уравнение определяется выражением:

Корни этого уравнения:

где – резонансная частота контура.

Свободный ток будет равен:

где А₁ и А₂ – постоянные коэффициенты.

Ток в цепи определяется суммой свободного i_св и установившегося i_у токов:

(9.3)

Для нахождения i_у необходимо знать конкретный вид входного воздействия e(t).

Будем считать, что ко входу цепи подключается источник постоянной э.д.с Е.

Пусть в момент времени t = 0 напряжение на емкости u_C (0) =U₀ и ток цепи i (0)=0. Для определения постоянных A₁ и A₂ наряду с независимым начальном условием i (0)=0 необходимо знать и зависимое начальное условие

Найдем это условие. Уравнение (9.1) для t = 0 имеет вид:

Откуда

(9.4)

При e(t)=Е уравнение (9.2) запишется в виде:

(9.5)

Правая часть уравнения (9.5) равна нулю, поэтому и установившееся значение тока цепи i_y также будет равно нулю. Дифференцируя выражение (9.3) с учетом i_y= 0, получим:

(9.6)

Из выражений (9.3) и (9.6) для t = 0 получим:

Откуда следует:

Окончательно выражение для тока запишется в виде:

(9.7)

Проанализируем полученное решение для трёх возможных случаев:

а) т.е. (процесс апериодический);

б) т.е. (критический случай);

в) т.е. (процесс колебательный).

Для случая а) корни р₁ и р₂ характеристического уравнения являются отрицательными действительными числами (рисунок 9.3). Если то кривая спадает медленнее, чем кривая . Кривые i(t) и u_C(t) показаны на рисунке 9.4.

Рисунок 9.3 – Расположение действительных корней

на комплексной плоскости

 

Рисунок 9.4 – Графики изменения тока цепи и напряжения

на ёмкости в последовательном колебательном контуре при е (t) = E,

когда p ₁ и p ₂ действительны

 

Рассмотрим второй случай (случай б).

При

Подстановка этого значения в выражение (9.7) приводит к неопределенности типа . Раскроем ее по правилу Лоппиталя:

Кривая тока i(t) для этого случая имеет такой же вид, как и на рисунке 9.4.

Рассмотрим третий случай (случай в)).

Корни характеристического уравнения комплексные и сопряженные (рисунок 9.5):

где

Корни уравнения располагаются симметрично относительно действительной оси в левой полуплоскости на полуокружности с центром в начале координат и с радиусом

Рисунок 9.5 – Расположение комплексно сопряжённых корней

на комплексной плоскости

 

Величина называется угловой частотой свободных колебаний в RLC - цепи. Выражение для тока i(t) запишется в виде:

(9.8)

Кривая зависимости i(t) показана на рисунке 9.6.

 

Рисунок 9.6 – Графики изменения тока цепи и напряжения на ёмкости

в последовательном колебательном контуре при колебательном

характере переходного процесса

 

Из выражения (9.8) и рисунка 9.6 видно, что при в цепи возникают затухающие синусоидальные колебания, причем огибающими служат кривые . Колебания возникают вследствие периодического преобразования энергии электрического поля в энергию магнитного поля и наоборот, причем, эти колебания сопровождаются потерей энергии в сопротивлении. Чем меньше по сравнению с , тем медленнее затухает колебательный процесс и тем ближе к .

О быстроте затухания колебательного процесса судят по величине называемой декрементом колебания, где Кроме того, для этих же целей используется логарифмический декремент колебания

Величину называют постоянной времени колебательного контура:

Из сопоставления рисунков 9.3 и 9.5 видно, что о характере переходного процесса можно судить по расположению корней характеристического уравнения на комплексной плоскости. Если корни различны и лежат на действительной оси, то имеет место апериодический процесс. Если то имеет место критический случай. Для р₁ и р₂ комплексно сопряженных имеет место колебательный процесс.

 

Подготовка к лабораторной работе

9.4.1 При выполнении расчетов к лабораторной работе следует считать, что параметры колебательного контура L = 50 мГн и С = 0,1 мкФ остаются неизменными в процессе выполнения работы, а сопротивление R принимает четыре значения: 510 Ом, 1 кОм, 1,5 кОм и 3 кОм.

9.4.2 Рассчитать значение критического сопротивления контура: R _кр.

9.4.3 Найти корни характеристического уравнения для R = 510 Ом, 1кОм, 1,5 кОм, 3 кОм.

9.4.4 Найти частоты свободных колебаний исследуемого контура для R = 510 Ом и для R =1 кОм.

 

Порядок выполнения работы

9.5.1 Подключить вход осциллографа к выходу генератора и получить на экране устойчивое изображение 1-2 импульсов напряжения генератора, используя внутреннюю синхронизацию. Период следования импульсов должен быть в 10 раз больше периода свободных колебаний. Определить масштаб изображения.

9.5.2 Подключить генератор ко входу последовательного колебательного контура с R = 510 Ом, а вход осциллографа – к выводам конденсатора С. Зарисовать полученную осциллограмму.

9.5.3 Повторить п.п. 9.5.1, 9.5.2 для R = 1 кОм ().

9.5.4 Повторить п. 9.5.3 для R = 1,5 кОм.

9.5.5 Повторить п. 9.5.3 для R = 3 кОм.

 

Обработка результатов

9.6.1 На основании полученных осциллограмм напряжения найти частоты свободных колебаний , и критическое сопротивление . Сравнить их с расчетными значениями.

9.6.2 Определить корни характеристического уравнения, соответствующие экспериментальным кривым в колебательном режиме. Сравнить их со значениями, найденными расчетным путем.

9.6.3 Вычислить абсолютные и относительные погрешности полученных результатов.

 

Контрольные вопросы:

1. Чем определяется порядок цепи при расчете переходных процессов?

2. В каких случаях свободная составляющая напряжения на конденсаторе имеет колебательный характер, а в каких – апериодический?

3. Чем определяется частота свободных колебаний контура?

4. Как определяется постоянная времени последовательного колебательного контура?

5. Чем определяется декремент затухания и логарифмический декремент затухания колебаний?

6. Можно ли избежать возникновения переходного процесса в последовательном колебательном контуре?

7. В чем заключается преимущество и недостатки классического метода расчета переходных процессов?

8. Как изменится величина , если увеличить:

– сопротивление контура R;

– индуктивность L;

– ёмкость С?

9. Чем определяется длительность переходного процесса в последовательном колебательном контуре?

10. Как связан характер протекания переходного процесса в последовательном колебательном контуре с расположением корней характеристического уравнения на комплексной плоскости?

Рекомендуемая литература

[1, с. 87–295; 2, c. 346–362; 3, c. 427–445].

 

Лабораторная работа № 10