Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Проективная группа плоскости.Содержание книги Поиск на нашем сайте
Опр. 3.4.1. Группой преобразований некоторого множества X называется совокупность преобразований этого множества (не обязательно всех), которое образует группу относительно операции * – «композиция». Теорема 3.4.1. Множество всех проективных преобразований плоскости образует группу преобразований, которая называется проективной группой плоскости. Пусть G – множество всех проективных преобразований плоскости , f Î G, g Î G. Пусть f задается реперами R и R ¢, g задается реперами R ¢ и R ². Тогда g * f переводит M (x 1, x 2, x 3) R в M ²(x 1, x 2, x 3) R², а значит, g * f – проективное преобразование. Роль единичного (нейтрального) элемента выполняет тождественное преобразование, которое, очевидно, является проективным. Обратное преобразование f –1 действует по правилу: M ¢(x 1, x 2, x 3) R¢ ® M (x 1, x 2, x 3) R, а значит, тоже является проективным. Так же легко показать, что операция * в G является ассоциативной. Замечание. При выбранном репере каждому проективному преобразованию соответствует матрица. Поэтому алгебраически группа проективных преобразований сводится к группе невырожденных матриц, соответствующих этим преобразованиям. Композиции преобразований соответствует произведение их матриц, обратному преобразованию – обратная матрица. Принцип Клейна. Любой группе преобразований соответствует своя геометрия, которая изучает те свойства фигур и те понятия, которые сохраняются при всех преобразованиях группы. Геометрией, которая соответствует проективной группе преобразований, является проективная геометрия. Она изучает те свойства фигур, и те понятия, которые сохраняются при всех проективных преобразованиях плоскости. Такие свойства и понятия называются проективными. Напри-мер, «прямая» является проективным понятием, а «несобственная точка», «параллельность прямых» не являются проективными понятиями
Определения и свойства. Опр. 4.1.1. Пусть точки A, B, C лежат на одной прямой. Число l называется простым отношением трех точек A, B, C, если = l . Это равносильно тому, что точка C делит отрезок AB в отношении l >0, если C лежит между A и B. Если же C лежит за пределами отрезка AB, то будет l < 0. Пишем l = (AB, C) или l = (ABC). Хотя не существует операции деления одного вектора на другой, мы будем писать l = /, если ½½. Простое отношение трех точек сохраняется при параллельном проецировании. Но легко показать, что оно не сохраняется при центральном проецировании, т.е. оно не является проективным понятием. Поэтому в проективной геометрии вводится сложное отношение 4 точек. Опр. 4.1.2. Сложным отношением четырех собственных точек A, B, C, D,лежащих на одной прямой, называется число (ABCD) = =: =. Будем также использовать такое обозначение сложного отношения: (AB, CD). Из 4-х букв можно образовать 24 перестановки. Однако различных значений сложных отношений 4 заданных точек одной прямой может быть только шесть. Теор 4. При перестановке пар A, B и C, D значение сложного отношения сохран-ся. По определению (CD, AB) = = = (AB, CD). Свойства сложных отношений. Пусть 1. (AB, CD) = n. Тогда 2. (AB, DC) = 1/n; 3. (AC, BD) = 1 – n; 4. (AD, BC) = 1 – =; 5. (AC, DB) =; 6. (AD, CB) =; Докажем, например, свойство 2. По определению имеем: (AB, DC) = = –1= =. В каждом из пунктов 1 – 6 имеется по 4 равных значения для исходного значения сложного отношения. Возможны также частные случаи: а) D = C Þ (AB, CC) = 1; б) D = B Þ (AB, CB) = 0; в) D = A Þ(AB, CA) = ¥ . 36 Формулы сложных отношений. 1. Пусть точки A, B, C, D лежат на одной прямой и имеют в репере R координаты A (a 1, a 2), B (b 1, b 2), C (c 1, c 2), D (d 1, d 2). Требуется найти (ABCD). Найдем (ABCD) в частном случае, когда R = { A 1¥, A 2, E }. Тогда a 1/ a 2 = a, b 1/ b 2 = b, c 1/ c 2 = c, d 1/ d 2 = d, где a, b, c, d – обычные координаты на прямой. Поэтому (ABCD) = (/):(/) = : = ––––––: ––––––. (4.2.1)
Можно показать, что по этой формуле выч-ся (ABCD)и в произв-ом репере на. Лемма. Координаты точки M Î в двух реперах R = { A 1, A 2, E } и R ¢= { A ¢1, A ¢2, E ¢} на связаны между собой формулами x 1 = c 11 x ¢1+ c 12 x ¢2, x 2 = c 21 x ¢1+ c 22 x ¢2. Эта лемма д-ся дословно так же, как и аналогичная теорема для плоскости. Теор 4.2.1. Формула (4.2.1) имеет место в любом проективном репере. Пусть точки A, B, C, D имеют в репере R = { A 1¥, A 2, E } координаты A (a 1, a 2), B (b 1, b 2), C (c 1, c 2), D (d 1, d 2), а в репере R ¢= { A ¢1, A ¢2, E ¢} – A (a ¢1, a ¢2), B (b ¢1, b ¢2), C (c ¢1, c ¢2), D (d ¢1, d ¢2). Тогда (ABCD) вычисляется по формуле (4.2.1). Но, в соответствии с (4.2.2) a 1 = c 11 a ¢1+ c 12 a ¢2, a 2 = c 21 a ¢1+ c 22 a ¢2. И это же выполняется для координат других точек. Подст-я(4.2.3) в(4.2.1) получаем
· · (ABCD) = –––––––––––––––: –––––––––––––––– = ––––––– : –––––––. · ·
2. Пусть на плоскости даны: проективная система координат R = { A 1, A 2, A 3, E }, прямая и на ней 4 точки A (a 1, a 2, a 3), B (b 1, b 2, b 3), C (c 1, c 2, c 3), D (d 1, d 2, d 3). Требуется найти (ABCD). Для этого нам потребуется следующая теорема. Теор 4.2.2. Сложное отношение сохраняется при центральном проецировании. Пусть точки A, B, C, D прямой проецируются из центра S в точки A ¢, B ¢, C ¢, D ¢ прямой. Пусть R = { A 1, A 2, E } – произвольный репер на, а A ¢1, A ¢2, E ¢ – проекции точек A 1, A 2, E из S на. Тогда R ¢= { A ¢1, A ¢2, E ¢} – репер на. Тогда согласно по 2.1 точки A ¢, B ¢, C ¢, D ¢ имеют в репере R ¢ такие же координаты, что и точки A, B, C, D в репере R. Из теоремы 4.2.1 вытекает, что (ABCD) = (A ¢ B ¢ C ¢ D ¢). Спроецируем A, B, C, D из центра A 3 на прямую A 1 A 2. Проекции этих точек в репере R 3= { A 1, A 2, E 3} (E 3 – проекция точки E) будут иметь координаты (a 1, a 2),(b 1, b 2)(c 1, c 2), (d 1, d 2). Значит, (ABCD) = () = ––––––: ––––––.
Вместо a 1, a 2 можно брать a 2, a 3 или a 1, a 3 ; это касается и координат других точек. Теорема 4.2.3. Сложное отношение сохраняется при любом проективном преобразовании плоскости. Пусть f – проективное преобразование плоскости, которое задается реперами R и R ¢. Пусть точки A, B, C, D на прямой имеют координаты в репере R: A (ai), B (bi), C (ci), D (di), и пусть при преобразовании f они переходят в A ¢, B ¢, C ¢, D ¢. Тогда в репере R ¢: A ¢(ai), B ¢(bi), C ¢(ci), D ¢(di). Значит, (ABCD) = (A ¢ B ¢ C ¢ D ¢) . 3. Пусть в плоскости даны 4 точки A (a 1, a 2, a 3), B (b 1, b 2, b 3), C (c 1, c 2, c 3), D (d 1, d 2, d 3), лежащие на одной прямой. Тогда ci = l1 ai + m1 bi, di = l2 ai + m2 bi, i = 1, 2, 3, и из формулы (4.2.1) вытекает (ABCD) =: (4.2.4) 4. Теорема 4.2.4. Если A, B, C, D Î и точка D в репере R = { A, B, C } имеет координаты u 1 , u 2 , то (ABCD) = u 1/ u 2 . A (1, 0), B (0,1), C (1, 1), D (u 1, u 2) Þ l1= m1 =1, l2= u 1, m2= u 2 Þ Þ (ABCD) = u 1/ u 2 . Следствия. 1. " A, B, C Î "lÎ R $! D Î: (ABCD) =l. 2. Проективные координаты не зависят от выбора точки O (см. по 2.1).
|
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-14; просмотров: 403; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.135.201.101 (0.006 с.) |