Проективная группа плоскости.

Опр. 3.4.1. Группой преобразований некоторого множества X называется совокупность преобразований этого множества (не обязательно всех), которое образует группу относительно операции * – «композиция».

Теорема 3.4.1. Множество всех проективных преобразований плоскости образует группу преобразований, которая называется проективной группой плоскости.

Пусть G – множество всех проективных преобразований плоскости , f Î G, g Î G. Пусть f задается реперами R и R ¢, g задается реперами R ¢ и R ². Тогда g * f переводит M (x ₁, x ₂, x ₃) _R в M ²(x ₁, x ₂, x ₃) _R², а значит, g * f – проективное преобразование. Роль единичного (нейтрального) элемента выполняет тождественное преобразование, которое, очевидно, является проективным. Обратное преобразование f ^–1 действует по правилу:

M ¢(x ₁, x ₂, x ₃) _R¢ ® M (x ₁, x ₂, x ₃) _R, а значит, тоже является проективным. Так же легко показать, что операция * в G является ассоциативной.

Замечание. При выбранном репере каждому проективному преобразованию соответствует матрица. Поэтому алгебраически группа проективных преобразований сводится к группе невырожденных матриц, соответствующих этим преобразованиям. Композиции преобразований соответствует произведение их матриц, обратному преобразованию – обратная матрица.

Принцип Клейна. Любой группе преобразований соответствует своя геометрия, которая изучает те свойства фигур и те понятия, которые сохраняются при всех преобразованиях группы.

Геометрией, которая соответствует проективной группе преобразований, является проективная геометрия. Она изучает те свойства фигур, и те понятия, которые сохраняются при всех проективных преобразованиях плоскости. Такие свойства и понятия называются проективными. Напри-мер, «прямая» является проективным понятием, а «несобственная точка», «параллельность прямых» не являются проективными понятиями

 

 

Определения и свойства.

Опр. 4.1.1. Пусть точки A, B, C лежат на одной прямой. Число l называется простым отношением трех точек A, B, C, если = l . Это

равносильно тому, что точка C делит отрезок AB в отношении l >0, если C лежит между A и B. Если же C лежит за пределами отрезка AB, то будет l < 0. Пишем l = (AB, C) или l = (ABC). Хотя не существует операции деления одного вектора на другой, мы будем писать l = /, если ½½.

Простое отношение трех точек сохраняется при параллельном проецировании. Но легко показать, что оно не сохраняется при центральном проецировании, т.е. оно не является проективным понятием. Поэтому в проективной геометрии вводится сложное отношение 4 точек.

Опр. 4.1.2. Сложным отношением четырех собственных точек A, B, C, D,лежащих на одной прямой, называется число

(ABCD) = =: =.

Будем также использовать такое обозначение сложного отношения: (AB, CD).

Из 4-х букв можно образовать 24 перестановки. Однако различных значений сложных отношений 4 заданных точек одной прямой может быть только шесть.

Теор 4. При перестановке пар A, B и C, D значение сложного отношения сохран-ся.

По определению (CD, AB) = = = (AB, CD).

Свойства сложных отношений. Пусть

1. (AB, CD) = n. Тогда 2. (AB, DC) = 1/n; 3. (AC, BD) = 1 – n;

4. (AD, BC) = 1 – =; 5. (AC, DB) =; 6. (AD, CB) =;

Докажем, например, свойство 2. По определению имеем:

(AB, DC) = = ^–1= =.

В каждом из пунктов 1 – 6 имеется по 4 равных значения для исходного значения сложного отношения. Возможны также частные случаи:

а) D = C Þ (AB, CC) = 1; б) D = B Þ (AB, CB) = 0; в) D = A Þ(AB, CA) = ¥ .

36 Формулы сложных отношений.

1. Пусть точки A, B, C, D лежат на одной прямой и имеют в репере R координаты A (a ₁, a ₂), B (b ₁, b ₂), C (c ₁, c ₂), D (d ₁, d ₂). Требуется найти (ABCD).

Найдем (ABCD) в частном случае, когда R = { A _1¥, A ₂, E }. Тогда a ₁/ a ₂ = a, b ₁/ b ₂ = b, c ₁/ c ₂ = c, d ₁/ d ₂ = d, где a, b, c, d – обычные координаты на прямой. Поэтому

(ABCD) = (/):(/) = : = ––––––: –––––­–. (4.2.1)

 

Можно показать, что по этой формуле выч-ся (ABCD)и в произв-ом репере на.

Лемма. Координаты точки M Î в двух реперах R = { A ₁, A ₂, E } и R ¢= { A ¢₁, A ¢₂, E ¢} на связаны между собой формулами

x ₁ = c ₁₁ x ¢₁+ c ₁₂ x ¢₂,

x ₂ = c ₂₁ x ¢₁+ c ₂₂ x ¢₂.

Эта лемма д-ся дословно так же, как и аналогичная теорема для плоскости.

Теор 4.2.1. Формула (4.2.1) имеет место в любом проективном репере.

Пусть точки A, B, C, D имеют в репере R = { A _1¥, A ₂, E } координаты A (a ₁, a ₂), B (b ₁, b ₂), C (c ₁, c ₂), D (d ₁, d ₂), а в репере R ¢= { A ¢₁, A ¢₂, E ¢} – A (a ¢₁, a ¢₂), B (b ¢₁, b ¢₂), C (c ¢₁, c ¢₂), D (d ¢₁, d ¢₂). Тогда (ABCD) вычисляется по формуле (4.2.1). Но, в соответствии с (4.2.2)

a ₁ = c ₁₁ a ¢₁+ c ₁₂ a ¢₂,

a ₂ = c ₂₁ a ¢₁+ c ₂₂ a ¢₂.

И это же выполняется для координат других точек. Подст-я(4.2.3) в(4.2.1) получаем

 

· ·

(ABCD) = –––––––––––––––: –––––––­­­––––––––– = ––––––– : –––––––.

· ·

 

2. Пусть на плоскости даны: проективная система координат R = { A ₁, A ₂, A ₃, E }, прямая и на ней 4 точки A (a ₁, a ₂, a ₃), B (b ₁, b ₂, b ₃), C (c ₁, c ₂, c ₃), D (d ₁, d ₂, d ₃). Требуется найти (ABCD). Для этого нам потребуется следующая теорема.

Теор 4.2.2. Сложное отношение сохраняется при центральном проецировании.

Пусть точки A, B, C, D прямой проецируются из центра S в точки A ¢, B ¢, C ¢, D ¢ прямой. Пусть R = { A ₁, A ₂, E } – произвольный репер

на, а A ¢₁, A ¢₂, E ¢ – проекции точек A ₁, A ₂, E из S на. Тогда R ¢= { A ¢₁, A ¢₂, E ¢} – репер на. Тогда согласно п^о 2.1 точки A ¢, B ¢, C ¢, D ¢ имеют в репере R ¢ такие же координаты, что и точки A, B, C, D в репере R. Из теоремы 4.2.1 вытекает, что (ABCD) = (A ¢ B ¢ C ¢ D ¢).

Спроецируем A, B, C, D из центра A ₃ на прямую A ₁ A ₂. Проекции этих точек в репере R ₃= { A ₁, A ₂, E ₃} (E ₃ – проекция точки E) будут иметь

координаты (a ₁, a ₂),(b ₁, b ₂)(c ₁, c ₂), (d ₁, d ₂). Значит,

(ABCD) = () = ––––––: –––––­–.

 

Вместо a ₁, a ₂ можно брать a ₂, a ₃ или a ₁, a ₃ ; это касается и координат других точек.

Теорема 4.2.3. Сложное отношение сохраняется при любом проективном преобразовании плоскости.

Пусть f – проективное преобразование плоскости, которое задается реперами R и R ¢. Пусть точки A, B, C, D на прямой имеют координаты в репере R: A (a_i), B (b_i), C (c_i), D (d_i), и пусть при преобразовании f они переходят в A ¢, B ¢, C ¢, D ¢. Тогда в репере R ¢: A ¢(a_i), B ¢(b_i), C ¢(c_i), D ¢(d_i). Значит, (ABCD) = (A ¢ B ¢ C ¢ D ¢) .

3. Пусть в плоскости даны 4 точки A (a ₁, a ₂, a ₃), B (b ₁, b ₂, b ₃), C (c ₁, c ₂, c ₃), D (d ₁, d ₂, d ₃), лежащие на одной прямой. Тогда

c_i = l₁ a_i + m₁ b_i, d_i = l₂ a_i + m₂ b_i, i = 1, 2, 3,

и из формулы (4.2.1) вытекает

(ABCD) =: (4.2.4)

4. Теорема 4.2.4. Если A, B, C, D Î и точка D в репере R = { A, B, C } имеет координаты u ₁ , u ₂ , то (ABCD) = u ₁/ u ₂ .

A (1, 0), B (0,1), C (1, 1), D (u ₁, u ₂) Þ l₁= m₁ =1, l₂= u ₁, m₂= u ₂ Þ

Þ (ABCD) = u ₁/ u ₂ .

Следствия. 1. " A, B, C Î "lÎ R $! D Î: (ABCD) =l.

2. Проективные координаты не зависят от выбора точки O (см. п^о 2.1).