Глава 3. Фермы. Равновесие тел с учётом трения

 

В главе рассмотрены методы расчёта ферм, равновесие тел с учётом трения скольжения и трения качения и приведены примеры решения задач с учётом трения.

 

Фермы

 

Фермой называется неизменяемая конструкция, состоящая из стержней (рис. 51).

Основу фермы составляют геометрически неизменяемая фигура – треугольник.

Задача расчёта фермы включает определение опорных реакций и усилий в стержнях фермы.

При расчёте фермы вводятся следующие допущения:

1. Стержни в узлах фермы соединены идеальными шарнирами.

2. Весом стержней либо пренебрегают, либо разносят по узлам фермы.

3. Действующие на ферму силы приложены в узлах фермы.

При выполнении этих условий стержни фермы будут испытывать только сжимающие или растягивающие нагрузки. Причём если реакция стержня на узел направлена к узлу, то стержень сжат, если от узла – растянут (здесь аналогия с реакциями невесомого стержня на рис. 11).

Стержни, усилия в которых при заданных внешних силах равны нулю, называются нулевыми. Можно указать три признака наличия нулевых стержней в плоской ферме (леммы о нулевых стержнях).

1. Если в узле сходятся три стержня, на узел не действуют внешние силы и два стержня находятся на одной прямой, то третий стержень нулевой. По этой лемме усилия в стержнях 3 и 11 фермы на рис. 51 равно нулю.

2. Если в узле сходятся два стержня и узел не загружен внешними силами, то оба стержня нулевые (например, стержни 2 и 3 на рис. 52).

3. Если в узле сходятся два стержня и действующая на узел сила направлена по одному из них, то второй стержень нулевой (стержень 8 на рис. 52).

Справедливость указанных признаков можно доказать, например, используя для определения усилий в стержнях фермы метод вырезания узлов.

Для определения усилий в стержнях фермы обычно применяют метод вырезания узлов и метод Риттера. Рассмотрим эти два метода на примере фермы, изображенной на рис. 51.

Расчёт фермы любым методом начинается с определения опорных реакций.

1. Объект равновесия – ферма (рис. 53).

2. Внешние силы:

Пусть 10 кН, 20 кН.

Реакции связей: .

3. На ферму действует плоская произвольная система сил. Составляем три уравнения равновесия:

Метод вырезания узлов

Вырезаем узел, в котором сходятся два стержня (либо узел I, либо – VIII), например, узел I (рис. 54). Усилия и в разрезанных стержнях 1, 2 направляем вначале от узлов, т.е. считаем, что стержни растянуты. К узлу прикладываем действующие на него усилия и .

Составляем два уравнения равновесия для плоской системы сходящихся сил:

Так как усилие получилось со знаком «минус», то стержень I сжат.

Далее выделяем узел, где имеется два новых стержня – узел II (рис. 55). К узлу II прикладываем усилия (согласно аксиоме действия-противодействия), и . Составляем два уравнения равновесия:

Далее последовательно вырезаем узлы III, IV, V, VI, VII, VIII. Следует oтмeтить, чтo при выделении пocлeднero узла VIII усилия в стержнях 12 и 13 будут уже определены при рассмотрении узлов VI, VII, поэтому два уравнения равновесия для этого узла можно считать проверочными. При правильном определении усилий в стержнях фермы уравнения равновесия для узла VIII должны дать тождество 0=0.

Метод Риттера

Этот метод позволяет определить усилие в любом стержне фермы без определения усилий в других стержнях. В этом преимущество этого метода перед методом вырезания узлов. Усилия в стержнях фермы по методу Риттера определяются после определения опорных реакций. Используя метод Риттера, определим, например, усилия в стержнях 4, 5, 6 фермы на рис. 53.

Для этого разрезаем ферму на две части сечением b-b (рис. 53) так, чтобы были разрезаны стержни, усилия в которых надо определить. Общее число разрезанных стержней не должно превышать трёх (в соответствии с тремя уравнениями равновесия для плоской произвольной системы сил). Для дальнейшего рассмотрения можно взять любую часть фермы, например левую (рис. 56). К выделенной части фермы прикладываем действующие на неё силы .

Усилия в разрезанных стержнях направляем вначале от узлов, т.е. считаем, что стержни растянуты. Составляем три уравнения равновесия для плоской произвольной системы сил, действующих на выделенную часть. Уравнения равновесия в методе Риттера составляем так, чтобы в каждое входило усилие только в одном разрезанном стержне. Это достигается путём выбора в качестве моментных точек Риттера – точек, где пересекаются усилия в двух разрезанных стержнях (точки и ), и соответствующего выбора осей, на которые проектируются силы

 

+

–

 

Трение скольжения

Тело A (рис. 57) весом находится на шероховатой (реальной) поверхности. К телу с помощью нити, перекинутой через идеальный блок, подвешена чашка с разновесками, суммарный вес которых Q. Если Q мал, то тело А будет покоиться. Объясняется это тем, что на тело, кроме силы натяжения нити Q, веса , нормальной реакции поверхности , в месте его контакта с поверхностью действует сила трения . Составим два уравнения равновесия для тела A:

Очевидно, если Q = 0, то и сила трения = 0, поэтому сила трения скольжения . Изучение равновесия тел при наличии трения скольжения базируется на законах Кулона - Амантона.

I. Сила трения направлена по общей касательной к соприкасающимся поверхностям в сторону, противоположную направлению возможного смещения тела.

II. Сила трения не зависит от площади поверхности контакта тел и не превышает некоторое предельное значение , поэтому

.

III. Предельное значение силы трения пропорционально нормальной реакции поверхности N:

,

где – безразмерный коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом трения скольжения.

IV. Коэффициент трения скольжения зависит от материала и физического состояния трущихся поверхностей (шероховатости, влажности, температуры, смазки и т.д.).

Тело A (рис. 58) находится на шероховатой поверхности. На тело действуют силы, указанные на рис. 57. Так как и являются реакциями поверхности, то есть полная реакция опорной поверхности, наклонённая к вертикали под углом . Если сила трения приобретает свое предельное значение (что наблюдается при движении тела относительно опорной поверхности), т.е. , то реакция поверхности приобретает своё максимальное значение , равное .

Угол наклона максимальной реакции поверхности к вертикали называется углом трения. Из рис. 58 следует, что

.

Если описать максимальной реакцией поверхности вокруг вертикали конус, то этот конус будет называться конусом трения (рис. 59). Рассмотрим случаи, когда на тело A действует сдвигающая сила , приложенная внутри конуса трения (угол ее наклона к вертикали ).

Чтобы тело оставалось в покое, необходимо

.

Значит, . Откуда , но , поэтому , т.е. (условие покоя тела при действии силы ). При выполнении условия происходит самоторможение тела: сила, приложенная внутри конуса трения, не может сдвинуть тело с места при любой её величине.

Задачи на равновесие тел с учётом трения скольжения решаются аналогично задачам, в которых на тела действует плоская произвольная система сил. Необходимо только ко всем действующим на тело силам прибавлять силу трения.

 

Пример

Тело весом Р (рис. 60) поднимается вверх по наклонной плоскости под действием силы . Зная углы , и угол трения , определить, при каком угле наклона сила будет минимальной, и найти ее минимальную величину .

 

Решение

1. Объект равновесия – тело.

2. Активные силы: . Реакции связей: .

3. На тело действует плоская произвольная система сил:

FТО

(3.1)

Сила трения

. (3.2)

Подставляем уравнение (3.2) в выражение (3.1)

(3.3)

(3.4)

Подставляем уравнение (3.4) в формулу (3.3)

(3.5)

Очевидно, при Значит, .

Следовательно, при

Из выражения (3.5)

.

 

Трение качения

 

На каток радиусом R и весом P действует горизонтальная сила (рис. 61). В точке контакта катка с поверхностью возникают сила трения скольжения и нормальная реакция , которая в результате деформаций поверхностей контакта смещается на плечо k от линии действия силы тяжести P. Силы и на плече k образуют пару сил (, ), момент которой называют моментом трения качения

,

где k – коэффициент трения качения, измеряется в единицах длины.

На рис. 61 силы образуют пару, которая катит каток.

Чтобы каток катился, момент движущей пары должен быть больше (либо равен) пары момента трения качения:

, откуда .

Чтобы каток катился без скольжения, сила Q не должна превышать предельного значения силы трения скольжения, значит, . Очевидно, справедливо неравенство

.

Следовательно, существенно меньше f.

Полученное соотношение подтверждает, что каток легче катить, чем перемещать без качения. Так, переход в железнодорожном транспорте от подшипников скольжения на подшипники качения позволяет уменьшить движущую силу, которую должен развивать локомотив, чтобы двигать состав вагонов.

Пример

Какую силу Q (рис. 62) надо приложить к катку радиуса R и весом P, чтобы равномерно катить его по наклонной плоскости, если угол наклона плоскости к горизонтали – a, угол наклона силы к плоскости – , коэффициент трения качения равен k.

 

Решение

1. Объект равновесия – каток.

2. Активные силы: .

Реакции связей: сила трения скольжения , нормальная реакция поверхности .

3. Для определения силы Q составим уравнение равновесия

.

Отсюда .

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Какая конструкция называется фермой?

2. Какие допущения вводятся при расчёте ферм?

3. В чём выражаются методы вырезания узлов и Риттера для определения усилий в стержнях фермы?

4. Что такое нулевые стержни и каковы признаки их наличия в ферме?

5. На каких законах базируется изучение трения скольжения и как читаются эти законы?

6. Что такое коэффициент трения скольжения?

7. Что называется конусом трения?

8. В чём выражается условие самоторможения тела?

9. Какова сущность трения качения? Что такое коэффициент трения качения?

10. Почему круглое тело легче катить, чем перемещать без качения?

 

ГЛАВА 4. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ

 

В главе рассмотрены определения равнодействующей системы параллельных сил и координат их центра, а также центра тяжести тела и приведены примеры на определение координат центров тяжести однородных тел.

 

Центр параллельных сил

 

На тело действует пространственная система параллельных сил (рис. 63). Силы приложены в точках .

Найдём равнодействующую данной системы сил. Для этого сложим вначале силы и . Модуль равнодействующей системы параллельных сил равен их алгебраической сумме, значит

. (4.1)

Равнодействующая приложена в точке С ₁, положение которой определим, воспользовавшись теоремой Вариньона о моменте равнодействующей относительно точки С ₁:

.

Так как , то получим

. (4.2)

Затем найдём равнодействующую сил и

. (4.3)

Применив для сил и теорему Вариньона о моменте равнодействующей относительно точки С ₂ , в которой приложена равнодействующая , получим:

. (4.4)

Продолжая дальше сложение сил, получим, что модуль равнодействующей R системы параллельных сил равен алгебраической сумме их модулей:

. (4.5)

Равнодействующая приложена в точке С, которая называется центром параллельных сил.

Из выражений (4.1) – (4.5) следует, что при повороте в пространстве всех сил системы на один и тот же угол (например, на угол α) получим систему вертикальных сил , модуль равнодействующей и положение точки С, в которой она приложена, не меняются, так как остаются справедливыми все выражения (4.1) – (4.5).

Отсюда вытекает основное свойство центра параллельных сил: его положение в пространстве не меняется при повороте всех сил системы на один и тот же угол.

Центром параллельных сил называется точка С, в которой приложена равнодействующая системы параллельных сил и положение которой не меняется при повороте всех сил системы в пространстве на один и тот же угол.

На рис. 63 показаны координаты центра параллельных сил С и координаты приложения силы .

Для определения координат центра параллельных сил С воспользуемся теоремой Вариньона о моменте равнодействующей. Запишем эту теорему для вертикальных сил относительно оси Oy:

или ,

откуда .

Относительно оси Ох:

или ,

откуда .

Для определения координаты центра параллельных сил воспользуемся основным свойством параллельных сил: поворачиваем (рис. 63) все силы системы на угол до их горизонтального положения. Получим систему сил , параллельных оси Ox. Запишем для этой системы сил теорему Вариньона о моменте равнодействующей относительно оси Оу:

или ,

откуда .

Таким образом, координаты центра параллельных сил равны

, , . (4.6)

 

Центр тяжести твёрдого тела

 

Тело А (рис. 64) находится в однородном поле сил тяготения. Разбиваем это тело на бесконечно малые тела , вес которых соответственно равен . Отсюда следует, что на тело действует система параллельных сил. Равнодействующая этой системы сил есть вес тела

.

Точка С, в которой приложен вес тела , называется центром тяжести тела.

 

Согласно основному свойству центра параллельных сил, положение центра тяжести С относительно тела А не меняется при повороте тела в пространстве.

Следовательно, центром тяжести тела называется точка С, в которой приложен вес тела Р и положение которой относительно тела не меняется при повороте тела в пространстве.

Координаты центра тяжести С найдём, используя выражения (4.6) для координат центра параллельных сил:

, , . (4.7)

В общем случае для определения координат центра тяжести тела используют выражения (4.7). Однако если тела однородные, то эти выражения можно упростить.

 

1. Однородный объём

Обозначим через вес единицы объёма тела (удельный вес).

Тогда вес k -го элемента тела с объёмом равен . Вес тела объёмом V равен

.

Подставляя значения Р, Р_К в выражения (4.7), получаем координаты центра тяжести однородного объёма:

, , , (4.8)

где – координаты центра тяжести k -го тела объёмом .

Если тело не разбивается на отдельные тела, координаты центров тяжести которых известны, то разбиваем тело на бесконечно малые объёмы и, переходя в выражениях (4.8) к пределу при , получаем выражение (4.9):

. (4.9)

В выражениях (4.9) интегрирование осуществляется по всему объёму V.

2. Однородная площадь

Совмещаем тело с плоскостью Oxy. В этом случае координата центра тяжести тела .

Пусть – вес единицы площади тела. Вес k -го элемента тела площадью равен , вес тела площадью S равен

.

Подставляя в выражения (4.7), получаем координаты центра тяжести однородного плоского тела:

, . (4.10)

Из выражений (4.10) получаем

, . (4.11)

Выражения (4.11) называются статическими моментами площади относительно осей Oy и Ox соответственно. Если начало отсчёта О системы осей Oxy совместить с центром тяжести – точкой С, то в этом случае координаты центра тяжести тела . Из выражений (4.11) следует, что в этом случае статические моменты тела равны 0:

, .

Следовательно, статический момент площади относительно любой оси, проходящей через центр тяжести тела, равен нулю.

Если плоское тело не разбивается на отдельные тела, координаты центров тяжести которых известны, то в этом случае по аналогии с выражениями (4.9) получаются выражения интегрального вида:

. (4.12)

В выражениях (4.12) интегрирование проводится по площади тела S.

3. Однородная линия

Разбиваем тело на ряд тел, координаты центров тяжести из­вестны. Обозначим через вес единицы длины тела. Тогда вес тела длиной l_k равен , вес тела длиной L равен

.

Подставляя значения , в выражения (4.7), получаем после сокращения на координаты центров тяжести однородной линии:

, , . (4.13)

Если линия не разбивается на отдельные тела, координаты центров тяжести которых известны, то в этом случае по аналогии с выражениями (4.9) и (4.12) получаются интегральные выражения:

. (4.14)

В выражениях (4.14) интегрирование осуществляется по всей длине линии L, т.е. это криволинейные интегралы.

4. Замечание о симметрии тела

Пусть тело имеет плоскость симметрии, которую совмещаем с плоскостью Oxy (рис. 65). Ввиду симметрии каждому элементу тела v_k с координатой z_k (расположенному над плоскостью симметрии) соответствует такой же элемент v_k с координатой z_k, который расположен под плоскостью симметрии. В этом случае в выражениях (4.8) координата

.

Следовательно:

1. Если тело имеет плоскость симметрии, его центр тяжести находится в этой плоскости.

2. Если тело имеет две плоскости симметрии, его центр тяжести находится на линии их пересечения.

3. Если тело имеет три плоскости симметрии, его центр тяжести находится в точке их пересечения.

Рассмотрим примеры определения координат центров тяжести некоторых однородных тел.

 

 

Пример 1

Центр тяжести однородной дуги радиусом R и центральным углом 2 a.

Совмещаем ось Ох (рис. 66) с осью симметрии дуги АВ. Тогда координата . Для определе-ния координаты воспользуемся выражением из формулы (4.14)

(4.16)

 

 

Выделяем на центральном угле j бесконечно малую дугу dl с центральным углом . Тогда

и длина дуги .

Подставляя эти значения в выражение (4.15), получаем:

.

Следовательно, координата центра тяжести однородной дуги оп­ределяется выражением

, (4.16)

где a – половина центрального угла дуги в радианах.

 

Пример 2

Центр тяжести треугольника.

Разбиваем треугольник (рис. 67) на бесконечно тонкие полоски, параллельные стороне АД. Так как полоски имеют бесконечно малую ширину, можно считать, что их центры тяжести находятся на середине длинных сторон полосок. Следовательно, центры тяжести таких полосок находятся на меридиане ВК.

Разбивая треугольник на тонкие полоски параллельные стороне ВД, получим, что их центры тяжести лежат на медиане AN. Следовательно, центр тяжести треугольника C находится в точке пересечения его медиан.

 

При этом очевидны соотношения:

Пример 3

Центр тяжести однородного сектора с центральным углом 2a и радиусом R.

Сектор (рис. 68) симметричен относительно биссектрисы централь-ного угла, с которой совмещаема ось Ox. В этом случае координата .

Выделяем из сектора элементар-ный сектор с бесконечно малым углом . Этот элементарный сектор можно считать треугольником, центр тяжести которого находится на расстоянии , поэтому центры тяжести элементарных секторов находятся на дуге .

Используя выражение (4.16) для центра тяжести дуги, получаем координаты центра тяжести однородного сектора:

. (4.17)

В выражении (4.17) α – половина центрального угла сектора, выражается в радианах.

 

Пример 4

Определить координаты центра тяжести однородного плоского тела (рис. 69), которое получается, если из квадрата 1 со стороны вырезана четвёртая часть круга 2 радиусом R и присоединён треугольник 3.

Задачу решаем методом отрицательных площадей.

Разбиваем тело на три элемента. Определяем площадь и координаты центров тяжести каждого элемента.

1. Квадрат без выреза

2. Четверть круга с отрицательной площадью

–

3. Треугольник

Находим координаты центра тяжести тела

 

;

.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Что называется центром параллельных сил? Каково его основное свойство?

2. По каким формулам вычисляются координаты центра параллельных сил?

3. Что называется центром тяжести тела?

4. Как определяются координаты центра тяжести тела в общем случае?

5. По каким формулам вычисляются координаты центров тяжести однородных объёмных тел, плоских фигур и линий?

6. Что называется статическим моментом площади плоской фигуры относительно оси? Как он вычисляется? Какую размерность имеет?

7. В чём сущность метода отрицательных площадей при определении координат центров тяжести плоских тел?

РАЗДЕЛ II. КИНЕМАТИКА

 

Во втором разделе пособия излагаются основные положения теории кинематики и методика решения задач по кинематике.

Как и в первом разделе пособия "Статика", в разделе «Кинематика» объём изложенной в пособии теории соответствует тому объёму знаний по кинематике, который должны иметь студенты для решения задач и выполнения расчётно-графических работ по данному разделу, поэтому основные теоремы кинематики излагаются без вывода и даются пояснения по практическому применению этих теорем. Некоторые разделы кинематики излагаются в пособии достаточно подробно и могут быть рекомендованы для самостоятельного изучения.

Кинематика – раздел теоретической механики, в котором изучается движение материальных объектов без учёта их масс и действующих на них сил.

В нём изучается простейшая форма движения материи – механическое движение, то есть происходящее во времени изменение положения одного материального объекта относительно другого, с которым связывается система отсчёта.

В кинематике рассматриваются две основные задачи. Первая задача – установление закона движения объекта, т.е. такого математического описания движения, которое определяет положение движущегося объекта в пространстве. Вторая задача – определение по известному закону движения объекта основных кинематических характеристик движения.

В зависимости от вида рассматриваемых объектов различают кинематику точки, кинематику твёрдого тела и кинематику сплошной среды.

 

ГЛАВА 1. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

 

В главе изложены основные положения теории и методика решения задач по кинематике точки.