Тема 4 Плоскость и прямая в пространстве

 

Теоретические вопросы

1 Какими способами может быть задана плоскость в пространстве?

Обосновать каждый способ.

2 Какие векторы называются направляющим и нормальным вектором плоскости? Сколько направляющих и нормальных векторов имеет плоскость?

3 Какое уравнение плоскости называется общим уравнением? Как находятся координаты нормального вектора из общего уравнения плоскости? Каков геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении плоскости?

4 Назовите уравнения плоскости, заданной:

а) точкой и двумя направляющими векторами (параметрические, детерминантное);

б) тремя точками; отрезками, отсекаемыми плоскостью на осях координат;

в) точкой и нормальным вектором.

5 Как могут располагаться две плоскости в пространстве?

6 Сформулируйте аналитические условия взаимного расположения двух плоскостей, если плоскости заданы общими уравнениями.

7 Как вычислить угол между двумя плоскостями, заданными общими уравнениями?

8 Сформулировать определение и записать уравнение:

а) пучка пересекающихся плоскостей;

б) пучка параллельных плоскостей.

9 Как находится расстояние:

а) от точки до плоскости;

б) между двумя параллельными плоскостями?

10 В чем заключается геометрический смысл знака многочлена ?

11 Каковы условия того, чтобы точки и лежали по разные стороны от плоскости (по одну сторону)?

12 Каковы способы задания прямой в пространстве?

13 Записать:

а) параметрические и канонические уравнения прямой (заданной точкой и направляющим вектором);

б) уравнения прямой, заданной двумя точками.

14 Как найти направляющий вектор прямой и точки, принадлежащие прямой, если прямая задана как линия пересечения двух плоскостей?

15 Как вычислить угол между двумя прямыми, заданными параметрическим или каноническими уравнениями?

16 Каковы случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве?

17 Записать векторные и координатные условия:

а) для двух скрещивающихся прямых;

б) для двух пересекающихся прямых (двух перпендикулярных прямых).

18 Каковы случаи взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве?

19 Записать условия:

а) пересечения (перпендикулярности) прямой и плоскости;

б) параллельности прямой и плоскости;

в) условие, когда прямая линия лежит в плоскости.

20 Как найти точку пересечения прямой и плоскости, если она существует?

21 Как вычислить угол между прямой и плоскостью, если известны направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости?

22 Как вычислить расстояние от точки до прямой в пространстве? (Указать два способа).

23 Как вычислить расстояние между двумя скрещивающимися прямыми?

 

Задачи

Способы задания плоскости. Уравнения плоскости

1 Вычислить площадь треугольника, который отсекает плоскость от координатного угла Оху.

2 Вычислить объем пирамиды, ограниченной плоскостью и координатными плоскостями.

3 Составить уравнения плоскостей:

а) проходящих через точку М (3; 2; 1) и параллельных каждой из координатных плоскостей;

б) проходящих через точку М (1; 2; 3) и через каждую из координатных осей;

в) проходящих через точки М (1; -1; 1) и N (-2; 3; 2) и параллельных каждой из координатных осей;

г) проходящих через ось Оz и равноудаленных от точек А (1; 5; 3) и В (2; -1; 1).

4 Найти уравнение плоскости:

а) проходящей через точку А (2; 0; 3) и параллельной векторам и ;

б) проходящей через точки и и параллельной вектору ;

в) проходящей через точку А (1; 1; 1) и ось Ох;

г) проходящей через точки , и .

5 Даны вершины тетраэдра А (4; 0; 2), В (0; 5; 1), С (4; -1; 3), D (3; -1; 5). Написать:

а) уравнение плоскости, проходящей через ребро АВ и параллельной ребру CD;

б) уравнение плоскости, проходящей через вершину А и параллельной грани BCD.

6 Найти точки пересечения каждой из следующих плоскостей с осями координат:

а) ; б) ; в) ; г) .

Построить на плоскости изображение прямоугольной декартовой системы координат, построить изображение точек пересечения указанных плоскостей с осями координат; построить изображение следов каждой из плоскостей.

7 Указать особенности расположения следующих плоскостей по отношению к системе координат:

а) ; е) ;

б) ; ж) ;

в) ; з) ;

г) ; и) .

д) ;

8 Написать «в отрезках» уравнения следующих плоскостей:

а) ;

б) ;

в) плоскости, проходящей через точки , и .

9 Написать уравнение плоскости:

а) проходящей через точку и перпендикулярной вектору ;

б) проходящей через начало координат и перпендикулярной вектору .

10 Найти множество точек, равноудаленных от точек А (2; -1; 3) и В (4; 5; -3).

11 Составить уравнение касательной плоскости к сфере в точке .

12 Написать уравнение плоскости:

а) проходящей через начало координат и перпендикулярной плоскостям , ;

б) проходящей через вектор и перпендикулярной плоскостям , .