Взаимное расположение плоскостей. Пучок плоскостей

1 Установить взаимное расположение следующих пар плоскостей:

а) , ; б) , ;

в) , ; г) , .

2 Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат и параллельной плоскости

а) ; б) ; в) .

3 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (1; -3; 5) и параллельной плоскости:

а) ; б) ; в) .

4 Плоскость в прямоугольной декартовой системе координат задана уравнением . Написать уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения данной плоскости и плоскости Оxz и перпендикулярной плоскости .

5 Через линию пересечения плоскостей , провести плоскость:

а) проходящую через начало координат;

б) проходящую через точку А (1; 1; 1);

в) параллельную оси Оу.

6 В пучке, определяемом плоскостями и найти две перпендикулярные плоскости, одна из которых проходит через точку

М (1; 0; 1).

7 Определить двугранные углы между следующими парами плоскостей:

а) , ;

б) , .

8 Определить, при каких значениях и следующие пары уравнений будут определять параллельные плоскости:

а) , ;

б) , ;

в) , .

9 Определить, при каком значении следующие пары уравнений будут определять перпендикулярные плоскости:

а) , ;

б) , ;

в) , .

 

Расстояние от точки до плоскости. Геометрический смысл знака многочлена

1 Даны точки , , , , ,

и плоскости:

а) ;

б) .

Для каждой из данных плоскостей среди указанных точек выбрать те, которые лежат по ту же сторону от плоскости, что и начало координат.

2 Дана плоскость . Указать, какие из пар точек, приведенных ниже, лежат по одну и ту же сторону от данной плоскости:

а) О (0; 0; 0) и А (2; 1; 0); б) И ; В) И .

3 Две пересекающиеся плоскости и делят множество точек пространства, не лежащих на них, на четыре двугранных угла (области). Составить систему неравенств, определяющих внутреннюю область двугранного угла, которому принадлежит точка М (3; 1; 2).

4 Привести к нормальному виду уравнения плоскостей:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) .

5 Найти расстояние от точки до плоскости в каждом из следующих случаев:

а) , ;

б) , .

6 Установить расположение плоскости относительно сферы в каждом из следующих случаев:

а) ; б) ;

в) ; г) .

7 Вычислить расстояние между следующими парами параллельных плоскостей:

а) ; ;

б) ; ;

в) ; .

8 На оси Оz найти точку, равноудаленную от точки М (1; 1; 4) и от плоскости .

9 Составить уравнения множества точек, отстоящих от плоскости на расстоянии, равном 3.

10 Составить уравнения множества точек, равноудаленных от двух параллельных плоскостей в каждом из следующих случаев:

а) и ;

б) и .

11 Написать уравнение плоскостей, делящих пополам двугранные углы между плоскостями:

а) и ;

б) и .

12 Доказать, что плоскость пересекает отрезок, ограниченный точками и .

13 Две грани куба лежат на плоскостях и . Вычислить объем этого куба.

14 Определить, лежит ли начало координат внутри острого или тупого угла, образованного двумя плоскостями , .

15 Составить уравнение плоскости, делящей пополам тот двугранный угол между двумя плоскостями , , в котором лежит начало координат.

16 Составить уравнение плоскости, делящей пополам тот двугранный угол между двумя плоскостями , , в котором лежит точка М (1; 2; -3).

17 Составить уравнение плоскости, которая делит пополам острый двугранный угол, образованный двумя плоскостями и .

18 Составить уравнение плоскости, которая делит пополам тупой двугранный угол, образованный двумя плоскостями , .

 

Имеет место утверждение:

Пусть плоскости и , заданные в прямоугольной декартовой системе координат уравнениям , , пересекаются, но не перпендикулярны друг другу. Тогда внутренние области двух вертикальных двугранных острых углов, образованных этими плоскостями, характеризуются неравенством , а внутренние области двух вертикальных двугранных тупых углов - неравенством .