Тема 7.1 Элементы конструктивной геометрии. Методы изображений.

Теоретические вопросы

 

1 Схема решения задач на построение.

2 Общие аксиомы и аксиомы инструментов.

3 Простейшие построения и простейшие задачи на построение.

4 Суть метода ГМТ и алгебраического метода при решении задач.

5 Центральное и параллельное проецирование. Изображение плоских фигур в параллельной проекции (изображение треугольника в параллельной проекции, четырехугольника, правильных многоугольников).

6 Изображение окружности в параллельной проекции. Построение многоугольников, вписанных в окружность и описанных около неё.

7 Изображение многогранников в параллельной проекции. Теорема Польке – Шварца, теорема Польке.

8 Изображение тел вращения в параллельной проекции. Комбинации многогранников и тел вращения.

9 Построение сечений многогранников: а) метод внутреннего проецирования;

б) метод следа секущей плоскости; в) метод параллельных прямых.

10 Методы решения метрических задач: а) использование оригинала;

б) алгебраический метод; в) метод соответствия.

11 Применение аксонометрии и метода Монжа для решения задач.

Задачи

 

Задачи на построение, решаемые ограниченными средствами

1 Построить середину отрезка, заданного своими концами А и В, используя линейку и циркуль.

2 Построить середину отрезка, заданного своими концами А и В, используя двустороннюю линейку.

3 Построить середину отрезка, заданного своими концами А и В, используя прямой угол.

4 Построить середину отрезка, заданного своими концами А и В, используя циркуль.

5 Разделить данный угол пополам, пользуясь только двусторонней линейкой.

6 Определить центр начерченной окружности, используя только прямой угол.

7 Через данную точку провести прямую, параллельную данной, пользуясь только острым углом.

8 Через данную точку провести прямую, параллельную данной, пользуясь только двусторонней линейкой.

9 Удвоить данный отрезок, пользуясь только прямым углом.

10 Дан острый угол. Удвоить его с помощью двусторонней линейки.

Применение метода ГМТ к решению задач

1 Постройте треугольник по стороне, медиане, проведенной к этой стороне, и радиусу описанной окружности.

2 Постройте треугольник по стороне и проведенным к ней медиане и высоте.

3 Постройте треугольник по стороне и медианам, проведенным к другим сторонам.

4 Постройте ромб по углу и диагонали.

5 Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, опущенной на одну из них.

6 Постройте треугольник по двум углам, прилежащим к основанию и периметру.

 

Алгебраический метод

1 Построить треугольник АВС, если даны высота BH и радиусы окружностей, описанных около треугольников АВН и СВН.

2 В данную окружность вписать прямоугольник, равновеликий данному квадрату.

3 Построить квадрат, площадь которого в два раза больше площади данного квадрата.

4 Построить круг, площадь которого равна площади кольца, между двумя концентрическими окружностями.

5 Построить квадрат, равновеликий данному треугольнику.

6 Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и биссектрисе прямого угла.

Изображение плоских фигур

1 Построить изображение правильного шестиугольника различными способами.

 

2 Построить касательную к эллипсу: а) параллельную данной хорде,

б) проходящую через данную на эллипсе точку.

 

3 Построить изображение правильного треугольника, вписанного в окружность и описанного около неё.

 

4 Построить изображения: а) прямоугольного треугольника; б) трапеции; в) равнобедренного треугольника; г) правильного шестиугольника, вписанных в окружность.

 

5 Построить изображения описанных около окружности: а) прямоугольного треугольника; б) равнобедренной трапеции; в) правильного шестиугольника.

 

6 Построить описанный около окружности равнобедренный прямоугольный треугольник.

 

7 Построить описанный около окружности ромб с острым углом в 60º.

 

8. Построить вписанную в окружность трапецию, основания которой видны из центра окружности под углами в 60º и 120º.

 

9 На изображении круга построить изображение: а) сектора с углом 15º; б) сегмента с дугой 75º; в) сектора с углом 135º; г) сегмента с дугой 135º;

д) сектора с углом 75º.