Линейчатые поверхности. Прямолинейные образующие

1 Изобразить цилиндрические поверхности, заданные уравнением:

а) ; б) ; в) .

2 Исследовать поверхность второго порядка, заданную в прямоугольной декартовой системе координат уравнением:

а) ; б) .

3 Составить уравнение поверхности, образованной вращением параболы , вокруг оси OZ.

 

4 В плоскости XOZ дана окружность с центром в точке (4; 0; 0) радиуса . Написать уравнение поверхности вращения, образованной вращением данной окружности вокруг оси OZ.

5 Написать уравнения следующих поверхностей вращения:

а) получающейся при вращении эллипса , вокруг большой (малой) оси;

б) получающейся при вращении гиперболы , вокруг ее действительной (мнимой) оси.

6 Написать уравнения двух систем прямолинейных, образующих однополостного гиперболоида , и определить те из них, которые проходят через точку М (3; ; -1).

7 На гиперболическом параболоиде найти прямолинейные образующие, параллельные плоскости .

 

8 Найти прямолинейные, образующие гиперболоида, заданного уравнением , проходящие через точку А (6; 2; 8).

9 Найти те прямолинейные образующие гиперболического параболоида , которые образуют с прямой угол 45º.

10 Найти прямолинейные образующие однополостного гиперболоида , перпендикулярные оси ОУ.

11 Найти прямолинейные образующие гиперболического параболоида , параллельные плоскости .

Тема 6. Геометрические преобразования на плоскости

 

Теоретические вопросы

 

1Определение движения, основная теорема и свойства. Классификация движений.

2 Виды движений: осевая симметрия, параллельный перенос, центральная симметрия, поворот. Определения, способы задания и построение образов точек, свойства.

3 Сущность метода геометрических преобразований при решении задач на доказательство, построение, вычисление.

4 Преобразования плоскости: гомотетия и подобие. Определения, способы задания и построение образов точек, свойства.

5 Аффинные преобразования: определение, основные свойства, примеры.

Задачи

Метод движений

а) задачи на доказательства

1 На высоте ВД треугольника АСВ взята точка К так, что АК = КС. Доказать, что треугольник АВС равнобедренный.

2 Построить квадрат, две противоположные вершины которого лежали бы на данной прямой, а две другие – на данных окружностях.

3 На стороне АВ параллелограмма АВСД, вне его, построен квадрат АВМК, а на стороне СД в той же полуплоскости, что и параллелограмм, построен квадрат СДРЕ. Доказать, что расстояние между центрами квадратов равно стороне параллелограмма.

4 Две прямые, содержащие точку пересечения диагоналей параллелограмма, пересекают его стороны соответственно в точках М и К, Р и Е. Доказать, что МРКЕ – параллелограмм.

5 Две равные окружности пересекаются в точках А и В. Через Точку А проведена хорда МА одной окружности, а через точку В – хорда ВК другой окружности, причем МА и ВК параллельны. Доказать, что эти хорды равны.

6 Дан правильный шестиугольник ABCDEF, М – середина диагонали АС, N – середина стороны DE. Доказать, что треугольник MNF – правильный.

7 Через центр правильного треугольника проведены две прямые, угол между которыми равен 60⁰. Доказать, что отрезки этих прямых, которые являются их пересечением с треугольником, равны.

б) задачи на построение и вычисление

1 На данной прямой построить такую точку, чтобы сумма расстояний от этой точки до двух данных точек, не лежащих на этой прямой, была наименьшей.

2 Найти площадь трапеции, сумма оснований которой равна 21 см, а диагонали равны 13 см и 20 см.

3Даны две пересекающиеся прямые c и d и две точки А и В, не принадлежащие им. Построить параллелограмм АВСД так, чтобы вершины С и Д лежали соответственно на прямых c и d.

4 Построить биссектрису угла АОВ, вершина О которого не доступна.

5 Земельный участок квадратной формы был огорожен. От изгороди сохранились два столба на параллельных сторонах квадрата. Кроме того остался столб в центре участка. Построить границу участка.

6 Построить параллельные прямые а, b, с, проходящие соответственно через данные точки А, В, С так, чтобы одна из них была средней линией полосы, определяемой двумя другими прямыми.

7 Построить равнобедренный прямоугольный треугольник так, чтобы вершины его острых углов принадлежали данным окружностям, а вершиной прямого угла являлась данная точка.

8 На сторонах АВ и АС треугольника АВС, вне его построены квадраты ABMN и ACPQ. Найти длину отрезка NQ, если длина медианы АЕ треугольника АВС равна m.

Метод преобразований

1 Доказать, что точка пересечения прямых, содержащих боковые стороны равнобедренной трапеции, точка пересечения ее диагоналей и середины оснований трапеции принадлежат одной прямой.

2 Через точку касания двух окружностей проведены две произвольные прямые, которые пересекают эти окружности в точках А, В и С, Д, причем А и В лежат на одной окружности, С и Д – на другой. Доказать, что АВ ׀׀ СД.

3 Даны две окружности и точка М. Построить на окружностях соответственно точки А и В, чтобы М Î АВ и АМ: МВ = 2: 3.

4 Построить равнобедренный треугольник, зная угол при его вершине и сумму длин основания и высоты.

5 Доказать, что отношение площади данного четырехугольника к площади четырехугольника, вершины которого находятся в серединах сторон данного, равно 2: 1.

6 Пользуясь только одной линейкой:

а) построить середину отрезка, лежащего на одной из двух данных параллельных прямых;

б) построить прямую, проходящую через данную точку М и параллельную двум данным параллельным прямым, не содержащим точку М.