Метрические задачи на прямую и плоскость

1 Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат, параллельной прямой и перпендикулярной к плоскости .

2 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (-1; 1; 3), параллельной прямой и перпендикулярной к плоскости .

3 Составить уравнения проекции прямой на плоскость ;

П: .

4 Найти расстояние от точки Р (7; 9; 7) до прямой .

5 Найти расстояние между скрещивающимися прямыми: и .

6 Даны две прямые: и .

а) Доказать, что они скрещиваются.

б) Написать уравнения плоскостей, проходящих через каждую из них параллельно второй прямой.

в) Найти расстояние между скрещивающимися прямыми и между плоскостями; убедиться в том, что эти расстояния равны.

7 Найти угол между прямой и плоскостью .

8 Найти угол между следующими прямыми и .

Определить угол между прямой и плоскостью П: .

9 Вычислить расстояние от точки Р (1; -1; -2) до прямой .

10 Убедившись, что прямые и параллельны, вычислить расстояние между ними.

11 Вычислить кратчайшее расстояние между двумя прямыми в каждом из следующих случаев:

а) ; ;

б) ; ;

в) ; .

 

Тема 5 Алгебраические линии и поверхности второго порядка

Теоретические вопросы

1 Дать определение окружности и записать ее уравнения. Как в каждом случае найти центр и радиус окружности?

2 Что называется степенью точки относительно окружности? Каков геометрический смысл степени точки?

3 Что называется радикальной осью двух окружностей? Радикальным центром?

4 Сформулировать геометрические и алгебраические определения эллипса, гиперболы, параболы. Записать канонические уравнения.

5 Основные элементы линий: фокальные радиусы, эксцентриситет, дирекориса, фокуса, асимптоты гиперболы.

6 Равносторонняя гипербола. Сопряженные гиперболы, параболы.

7 Директориальное свойство эллипса, гиперболы, параболы. Теорема Аполлония.

8 Построение эллипса, гиперболы, параболы.

9 Общее уравнение линии второго порядка.

10 Схема приведения общего уравнения линии второго порядка к каноническому виду.

11 Определение поверхности второго порядка. Уравнения.

12 Канонические уравнения поверхностей второго порядка. Классификация.

а) Центральные квадрики: эллипсоиды; гиперболоиды; конусы.

б) Нецентральные квадрики: параболоиды; цилиндры; квадрики, распавшиеся на две плоскости.

13 Линейчатые поверхности второго порядка и их прямолинейные образующие.

14 Поверхности вращения.

 

Задачи

Окружность. Эллипс

1 В прямоугольной декартовой системе координат даны уравнения:

а) ; б) ; в) ;

г) ;

д) .

Выяснить, какие из уравнений определяют окружность. Найти координаты центра и радиус каждой.

2 Определить расположение точки М (2; 7) относительно окружности .

3 Найти уравнение окружности, проходящей через три точки:

а) А (4; 6), В (-2; -2), С (-2; 6); б) А (1; -4), В (4; 5), С (3; -2).

4 Составить уравнение окружности с центром в точке С (5; 2), касающейся прямой .

5 Найти уравнение множества точек, для каждой из которых сумма квадратов расстояний от двух точек А (-1; 2) и В (1; 4) есть величина постоянная, равная 22.

6 Найти множество точек плоскости, имеющих одну и ту же степень относительно данной окружности.

7 Доказать, что радикальная ось двух окружностей есть прямая, перпендикулярная к линии центов.

8 Найти длины полуосей и координаты фокусов:

а) ; б) .

9 Найти точки, принадлежащие эллипсу абсциссы которых равны:

а) 2; б) 3; в) 1.

10 Длина большой полуоси эллипса равна 6, эксцентриситет - , а расстояние точки М эллипса до фокуса равно 7. Найти расстояние и координаты точки М.

11 Составить каноническое уравнение эллипса, если:

а) координаты вершин эллипса - , , , ;

б) фокальное расстояние равно 10; малая полуось – 5;

в) расстояние между фокусами равно 8, а эксцентриситет - ;

г) эллипс проходит через точку М (-3; ) и расстояние между фокусами равно 6.

12 Написать уравнение директрис эллипса и найти расстояние между ними.

13 Составить уравнение эллипса, зная, что:

а) расстояние между директрисами равно 12, а большая ось равна ;

б) директрисы заданы уравнениями х = 12 и х = - 12, а а эксцентриситет равен .

14 Найти эксцентриситет эллипса, зная, что расстояние между его директрисами в 4 раза больше расстояния между фокусами.

15 На эллипсе, определяемом уравнением , найти точки, расстояние от которых до правого фокуса в 4 раза больше расстояния до левого фокуса.

16 Эллипс проходит через две противоположные вершины квадрата ABCD, и его фокусами являются две другие вершины этого квадрата. Написать каноническое уравнение эллипса и уравнение его директрис, если АС = 2 М.

17 Найти длины полуосей и координаты фокусов гипербол:

а) ;

б) .

Гипербола, парабола

1 Составить каноническое уравнение гиперболы по следующим данным:

а) расстояние между вершинами равно 8, а расстояние между фокусами равно 10;

б) длина действительной оси равна 6, гипербола проходит через точку М (9; 4);

в) расстояние между фокусами 6, эксцентриситет равен 1,5;

г) уравнения асимптот , а расстояние между фокусами равно 20;

д) расстояние между директрисами равно , расстояние между фокусами равно 26;

е) эксцентриситет равен 1,5, расстояние между директрисами равно .

2 Составить каноническое уравнение гиперболы, если угол между асимптотами равен 60º, а гипербола проходит через точку М (4 ; 2).

3 Составить уравнение гиперболы, имеющей общие фокусы с эллипсом и проходящей через точку М (4 ; 3).

4 Дана гипербола . Написать уравнение сопряженной с ней гиперболы; найти эксцентриситеты и асимптоты данной и сопряженной гипербол.

5 По данному эксцентриситету в каждом из случаев определить угол между асимптотами гиперболы: а) ; б) .

6 Уравнения асимптот гиперболы . Найти эксцентриситет.

7 Составить уравнение гиперболы, эксцентриситет которой равен 3 и фокусы находятся в точках и .

8 Найти уравнение гиперболы, проходящей через точку М (-5; 3) и имеющей общие фокусы с равносторонней гиперболой .

9 Определить координаты фокуса F и составить уравнение директрисы для каждой из парабол:

а) ; в) ;

б) ; г) .

10 Составить каноническое уравнение параболы по следующим данным:

а) р = 3;

б) парабола проходит через точку Р (1; -4);

в) директриса определяется уравнением х + 3 = 0;

г) фокус имеет координаты (0; 5);

д) директриса имеет уравнение у + 12 = 0.

11 Вычислить фокальный радиус точки М параболы , если ее абсцисса равна 8.

12 На параболе найти точку, фокальный радиус которой равен 9.

13 Составить уравнение параболы по следующим данным:

а) парабола симметрична относительно оси ОУ, фокус помещается в точке

F (0; 2), вершина совпадает с началом координат;

б) вершина находится в начале координат, парабола расположена в нижней полуплоскости, симметрична оси ОУ и р = 0,6;

в) фокус имеет координаты F(5; 0), а ось ординат служит директрисой;

г) парабола симметрична относительно оси ОУ и проходит через начало координат; прямая у = 2 пересекает параболу в точках с абсциссами 3 и -3.

14 Арка моста имеет форму параболы. Определить параметр параболы, зная, что пролет арок равен 24 м, а высота - 6 м.

15 Струя воды, выбрасываемая фонтаном, принимает форму параболы, параметр которой р = 0,1. Определить высоту струи, если известно, что она падает в бассейн на расстоянии 2 м от места выхода.

16 Эксцентриситет эллипса равен , а расстояние от точки М до директрисы равно 12. Вычислить расстояние от М до соответствующего фокуса.

17 Составить каноническое уравнение гиперболы, если уравнения директрис , расстояние от точки, взятой на гиперболе до фокуса, в два раза больше расстояния от этой точки до соответствующей директрисы.

18 Эксцентриситет гиперболы равен 2, фокальный радиус ее точки М равен 16. Найти расстояние от точки М до соответствующей этому фокусу директрисы.