Прямые перпендикулярные к плоскости

Прямая перпендик к плоскости если она перпендик к любой прямой лежащей в этой плоскости

Теорема: если одна из двух || прямых перпендик к плоскости то и другая прямая перпендик к этой плоскости

Док-во:
Рассмотрит 2 || прямые а и а1 и плоскость альфа так что а перпендик альфа
Докажем что и а1 перпендик альфа
Проведем какую нибудь прямую х в плоскости альфа. Так как а перпендик альфа то а перпендик х. По лемме о перпендикулярности 2ух || прямых к третьей а1 перпендик х
Таким образом а1 перпендик к любой прямой лежащей в плоскости альфа а1 перпендик альфа
Доказано

Теорема: если 2 прямые перпендик то они ||
Рассмотрим а и b перпендик к плоскости альфа. Докажем что а||b
Через какую нибудь точку М прямой b проведем b1 параллельную а. По предыдущей теореме b1 перпендик альфа. Докажем что b1 совпадает с b
Допустим что они не совпадают тогда в плоскости бета содержащей эти прямые через точку М проходят 2 прямые перпендик с по которой пересекаются альфа и бета это невозможно значит b и b1 совпадают а значит а||b
Доказано

Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Теорема:
Если прямая перпендик к двум пересек прямым лежащим в плоскости то она перпендик к этой плоскости

Там большое докозательство я пишу на телефоне так что позже капельку напишу.

Теорема о прямой перпендикулярной к плоскости

Теорема:
Через любую точку пространства проходит прямая перпендикулярная к данной плоскости и при том только одна

26.Перпендикуляр и наклонная.

Пусть даны плоскость и не лежащая на ней точка.

Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости.

Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.

Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости.

Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной.

Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.

AB – перпендикуляр к плоскости α.
AC – наклонная, CB – проекция.
Угол между прямой и плоскостью.

Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и её проекцией на плоскость.

Если прямая перпендикулярна к плоскости, то её проекцией на эту плоскость является точка персечения этой прямой с плоскостью. В таком случае угол между прямой и плоскостью считается раным 90.

Если прямая параллельна плоскости, то её проекцией на плоскость является прямая,параллельная данной.В этом случае понятие угла между прямой и плоскостью мы не вводим. (Иногда договариваются считать, что угол между параллельными прямой и плоскостью равен 0).

27.Двугранный угол

Двугранным углом называется фигура, образованная прямой a и двумя полуплоскостями с общей граицей а, не принадлежащими одной плоскости.

Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его гранями.

Прямая а- общая граница полуплоскостей- называется ребром двугранного угла.

Двугранные углы измеряются линейным углом.

Линейный угол -это угол образованный пересечением двугранного угла с плоскостью, перпендикулярной к его ребру.

Двугранный угол называется прямым(острым, тупым), если он равен 90(меньше 90,больше 90).

28. Синус и косинус суммы и разности аргументов.

sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny,

cos(x+y)=cosxcosy-sinxcosy.

Эти формулы обычно называют синус суммы и косинус суммы.

Рассмотрим выражение sin(x-y). Если переписать его в виде sin(x+(-y)), то появляется возможность применить формулу суммы для аргументов x и –y:

sin(x+(-y))=sinxcos(-y)+cosxsin(-y). (1)

А теперь воспользуемся тем,что

cos(-y)=cosy, sin(-y)=-siny.

Это позволит правую часть равенства (1) переписать в виде sinxcosy-cosxsiny.

Таким образом, получилась формула синуса разности:

sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny.

Аналогичные рассуждения позволяют вывести формулу косинуса разности:

cos(x-y)=cos(x+(-y))=cosxcos(-y)-sinxsin(-y)=cosxcosy+sinxsiny.

Итак, cos(x-y)= cosxcosy+sinxsiny.

29.Тангенс суммы и разности аргументов.

tg(x+y)=tgx+tgy/1-tgxtgy

tg(x-y)=tgx-tgy/1+tgxtgy.

При этом предполагается, что все тангенсы имеют смысл, т.е. что x≠π/2+πn, y≠π/2+πk,

x+y≠π/2+πm(для первой формулы), x-y≠π/2+πm(для второй формулы).

P.S Там ещё в конце этого параграфа есть док-во, но там пипеец..

 

30. Формулы двойного аргумента

Тригонометрические формулы, позволяющие выразить sin 2x, cos 2x, tg 2x через sin x, cos x, tg x формулами двойного аргумента.

1.Рассмотрим выражение sin 2x, представив при этом 2х в виде х+х (применяя к выражению формулу синуса суммы):

Sin 2x =sin(x+x)=sinx*cosx+cosx*sinx= 2sinx*cosx

Таким образом,

Sin 2x=2sinx*cosx

2.Рассмотрим выражение cos 2x, представив при этом 2х в виде х+х (применяя формулу косинуса суммы):

Cos 2x =cos(x+x)=cosx*cosx-sinx*sinx= cos²x-sin²x

Таким образом,

Cos 2x =cos²x-sin²x

3. аналогично рассмотрим tg 2x:

tg х + tg х 2 tg х

tg 2x = tg (x + х) = —————— = —————

1 – tg х tg х 1 – tg2 х

Таким образом,

Tg х

tg 2x = —————

Tg2 х

Другие формулы двойного аргумента:

sin 2x

=

2tg x

=

2ctg x

=

1 + tg^2 x

1 + ctg^2 x

tg x + ctg x

cos 2x

=

1 - tg^2 x

=

ctg^2 x - 1

=

ctg x - tg x

1 + tg^2 x

ctg^2 x + 1

ctg x + tg x

 

tg 2x	=	2tg x	=	2ctg x	=
1 - tg^2 x	ctg^2 x - 1	ctg x - tg x

 

ctg 2x	=	ctg^2 x - 1	=	ctg x - tg x
2ctg x

31.Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение

Теорема. Для любых и справедливы равенства

Доказательство. Все четыре формулы доказываются преобразованием правой части в сумму

 

 

32 .Преобразование произведения тригонометрических функций в суммы

33. Параллелепипед

Параллелепипед - призма, основанием которой служит параллелограмм, или (равносильно) многогранник, у которого шесть граней и каждая из них — параллелограмм.

Типы параллелепипеда

Различается несколько типов параллелепипедов:

· Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани — прямоугольники;

· Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого 4 боковые грани — параллелограммы;

· Наклонный параллелепипед — это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основаниям.

Основные элементы

Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными, а имеющие общее ребро — смежными. Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называют его измерениями.

Свойства

· Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.

· Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

· Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.

· Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений

Основные формулы

Прямой параллелепипед

· Площадь боковой поверхности S_б=Р_о*h, где Р_о — периметр основания, h — высота

· Площадь полной поверхности S_п=S_б+2S_о, где S_о — площадь основания

· Объём V=S_о*h